Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài 3. Phương trình đường thẳng (tiếp)

Bài 3. Phương trình đường thẳng KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng D đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương , có phương trình tham số là : Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng D là: Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (b): (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có vtpt (b): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có vtpt Điểm M (x ; y ; z) Î D Û Tọa độ M thỏa hệ phương trình : Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên D. Khi đó D có một vectơ chỉ phương là: Thường kí hiệu đường thẳng D: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng: D1 đi qua A và có vectơ chỉ phương . D2 đi qua B và có vectơ chỉ phương . Ta có các trường hợp sau: D1 và D2 cùng nằm trong một mp Û [,]. = 0 D1 và D2 cắt nhau Û D1 và D2 song song với nhau Û D1 và D2 trùng nhau Û D1 và D2 chéo nhau Û [,]. ≠ 0 Nếu và thì số giao điểm của hai đường thẳng trên là số nghiệm của hệ : Hệ vô nghiệm Û D1 và D2 song song với nhau hoặc chéo nhau. Hệ có một nghiệm Û D1 và D2 cắt nhau Hệ có vô số nghiệm Û D1 và D2 trùng nhau Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho hai đường thẳng vàthì : có vectơ chỉ phương lần lượt là : và : Chú ý: Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cho đường thẳng D đi qua điểm M0(x0; y0; z0), có vectơ chỉ phương và điểm M1(x1 ; y1 ; z1). Khi đó : Cho hai đường thẳng vàthì : Trong đó D1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương và D2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương : PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳng- Viết phương trình tham số của đường thẳng D trong mỗi trường hợp sau: Qua M(1 ; 2; 3) và có VTCP = (1 ; – 4 ; – 5). Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0). Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (a): x + y – x + 5 = 0. Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d: . Đs: a) b) c) d) Viết phương trình tham số của đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của d: lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz). Đs: a) b) c) Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (b): x + 3y – 2z + 3 = 0. Đs: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α). Đs: Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (a): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0. Đs: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: và mp (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d. Đs: Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2). Đs: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): 2x +y + z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng D trên mặt phẳng (P). Đs: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Đs: Dạng 2. –Vị trí tương đối. Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau: d: và d¢: Đs: d cắt d¢ d: và d¢: Đs: d // d¢ d: và d¢: Đs:d chéo d¢ d: và d¢: Đs: d º d¢ Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau: d: và d¢: Đs: m = 0 d: và d¢: Đs: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho D: và mặt phẳng (a): mx + 3y – 5z + 1 = 0. Xác định m để D cắt (a). Đs: m ≠ –1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mặt phẳng (a), (β) với: (a): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0, (β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0 Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). Đs: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 4z + 13 = 0 và đường thẳng d đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chì phương = (1; m; –2). Biện luận theo m số giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng d. Đs: : d không cắt (S). : d tiếp xúc (S). : d cắt (S) tại 2 điểm. Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2. Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 song song với nhau. Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2. Đs: b) y – z + 4 = 0 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2. Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0 Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1, d2: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. Lập phương trình đường thẳng D Ì (P) đồng thời cắt cả d1 và d2. Đs: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: d1: và d2: Lập phương trình đ.thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2. Đs: