Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài I: Bài toán thiết diện

www.truongthi.com.vn Môn Toán HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trong phần này, đề nghị người đọc xem lại các định nghĩa và định lý trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, hai chương, quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Trong chương này, chúng tôi nêu lên một số dạng toán cơ bản thường gặp, giúp ích cho kỳ thi đại học của học sinh. BÀI I BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Thiết diện là giao của một mặt phẳng với một khối đa diện hoặc một khối tròn. Bài toán thiết diện là bà toán tìm hoặc dựng giao đó. Để tìm thiết diện của một mặt phẳng vớ m phẳng đó với các mặt của h một đa giác. I. Ví dụ luyện tập. Ví dụ 1: Cho hình lập phương của cạnh BC, I là trung điểm c a) Hãy dựng thiết diện tạo bởi b) Tính diện tích thiết diện the e) Tìm tỷ số thể tích của hai cắt hình lập phương, biết tỷ số Lời giải C’ B’ J B K P L a) Nối AK kéo dài cắt DC kéo M. Nối AM và KL. Tứ giác AK hình thang (KL // AM). b) Do K là trung điểm của BC 1 2 AD = 1 2 a; LC = 1 2 MD. 2 i ột khối đa d n, ta tìm giao tuyến của mặt ối đ diện. Thiết diện thu được thường là ABC ủa c mặt o a. khối đó b C dài LM , nên aDA’B’C’ ạnh C’D. phẳng (A đa diện é hơn m A’ A I H tại J. Nối là tứ giác C là tru 1iệ i kD’ cạnh a. Gọi K là trung điểm KI) với hình lập phương. tạo thành do mặt phẳng (AKI) ột. D’ M D N IJ cắt CC’ tại L và cắt DD’ tại phải dựng. Dễ thấy AKLM là ng điểm của JD, Từ đó: KC = www.truongthi.com.vn Môn Toán Từ I hạ IH ⊥ CD, H là trung điểm của CD và IH = 1 2 CC’ = 1 2 a. Do IH là đường trung bình trong hình thang CLMD, nên ta có: 2. IH = a = CL + DM = 3CL ⇒ CL = a 3 , DM = 2 3 a. Như vậy: KL = 2 2 2 2 a a 13KC CL a 4 9 6 + = + = AM = 2.KL = 2 13 a 6 . Từ J hạ JN ⊥ AM trong mặt phẳng (AKI). Ta có DN ⊥ AM, do JD vuông góc với mặt phẳng ADD’A’. JN cắt KL tại điểm P. PN chính là chiều cao của hình thang thiết diện. Ta có PN = 1 2 JN. Xét tam giác vuông ADM, ta có DN.AM = AD. DM. Như vậy DN = 2 a. aAD.DM 2a3 AM 2 13 13 a 6 = = . Xét tam giác vuông JDN, vuông tại D. Ta có JN2 = JD2 + DN2 = 4a2 + 2 24a 56a 13 13 = Vậy JN = 2 14 a 13 và PN = 14 a 13 . Do vậy, diện tích thiết diện là: S = 1 2 (KL + AM). PN = 1 13 2 13 14 a a . 2 6 6 13   +    a 214S 4 = a (đơn vị diện tích). c) Thiết diện chia hình lập phương thành hai phần, trong đó, phần nhỏ hơn là chóp cụt tam giác ADM.KCL. 1 chãp côt 1 V V h.(B B ' BB ') 3 = = + + ; ở đây h = CD = a, B là diện tích tam giác ADM. B’ là diện tích tam giác KCL. Ta có: B = 1 2 AD. DM = 1 2 . a. 2 3 a = 2a 3 B’ = 1 2 KC. CL = 21 a a a . . 2 2 3 12 = 4 2 www.truongthi.com.vn Môn Toán V1 = 2 2 21 a a a 7a a. 3 3 12 6 3   + + =    3 6 Vì thể tích hình lập phương cạnh a bằng a3, nên thể tích phần còn lại 3 2 29 V 36 = a . Do đó 1 2 V 7 V 2 = 9 . Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao bằng h. M là điểm nằm trên đường chéo AB1 của mặt ABB1A1 sao cho AM: MB1 = 5: 4. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng A1C và BC1. 1) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình lăng trụ. 2) Giả sử mặt phẳng (α) cắt CC1 tại điểm N. Hãy tính tỷ số 1 CN C N ? Lời giải 1) Kẻ CJ // BC1. Ta thấy mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (A1CJ). Vì vậy các giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (A1CJ) với các mặt bên và mặt đáy của lăng trụ là song song với nhau. Nối A, J cắt AB tại I; Ta có I là trung điểm của AB. Như vậy cách dựng thiết diện cần tìm là: A1 L C1 D B1 N M A C I G • Qua M kẻ đường thẳng song song với A1I, cắt AB tại E và cắt A1B1 tại D. Từ E kẻ EG // IC (G ∈ BC); từ G kẻ GN // BC1 (N ∈ CC1), từ N kẻ NL // A1C, L ∈ A1C1. Nối DL, Thiết diện thu được là ngũ giác DEGNL. BE 2) Do cách dựng, ta có 1 CN CG IE (1) C N BG EB = = Theo giả thiết, ta có 1 MA 5 MB 4 = 6 3 www.truongthi.com.vn Môn Toán ⇒ 1 1 1 1 1 a IE5 MA AE AI IE 2 4 MB B D A B A D a IE ++ = = = = − − Từ đó 5 4 (a - IE) = a 2 + IE hay 5a - 5IE = 2a + 4IE ⇒ IE = a 3 , do đó EB = a a a 2 3 6 − = . Như vậy 1 CN IE 2 C N EB = = . II. Bài tập tự giải 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 4a, BD = 2a. Đường cao SO = h, O = AC × BD. Từ A hạ mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. a) Hãy dựng thiết diện của (P) với chóp. b) Tìm quan hệ giữa h, a để tam giác B’C’D’ là tam giác đều. Gợi ý: mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến B1C1 qua A, B1 ∈ (BC), C1 ∈ (AD). Ta có B1C1 // B’C’. Do vậy tam giác B’C’D’ đều khi và chỉ khi tam giác B1C1D’ đều. Đáp số h = 2 3a . 2. Đề thi Đại học Luật Hà nội (1999) Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao h và đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Qua cạnh đáy AB dựng mặt phẳng vuông góc với cạnh SC. Hãy tính diện tích thiết diện tạo thành theo a và h. Đáp số: S = 2 2 2 3a h 4 a 3h+ 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. 1) Giả sử I là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Giả sử M là điểm thuộc cạnh AB. Qua M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác (MNPQ) lớn nhất. Đáp số: 1) I là trung điểm CD. 2) MNPQ là hình bình hành; M là trung điểm của AB. 4. Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh (2000). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy của hình chóp một góc 60o. Mặt phẳng 8 4 www.truongthi.com.vn Môn Toán (P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) với mặt đáy hình chóp là 30o. 1) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a. 2) Tính thể tích hình chóp SABMN theo a. Đáp số: 1) ABMN là hình thang cân, đối tượng ABMN = 23a 3 8 (đơn vị diện tích). 2) VSMNAB = 33a 16 (đv thể tích). 10 5