Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài phương pháp về tọa độ trong không gian

A.MẶT PHẢNG I.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VỚI CÁC YẾU TỐ XÁC ĐỊNH 1. Đi qua ba điểm Bài 1.1: a.Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1,1,0) B( 1,0,0) C(0,1,1) b. Viết phương trình đi qua điểm M(1,2,3) cắt Ox,Oy,Oz tại A(a,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c) với abc>0 để cho OABC có thể tích nhỏ nhất Bài giải: a. tự giải b. Đẳng thức xẩy ra khi 2. Đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó: Bài 1.2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và (d) a. Cho A(1,2,-1) và b. Cho điểm A(1,2,1) và (d) viết phương trình (P) đi qua A và (d) 3. Đi qua 2 đường thẳng song song hoặc cắt nhau + Hoặc hệ phương trình tọa độ giao điểm có nghiệm duy nhất + + Bài 1.3 Cho (d) và (d’). Chứng minh rằng (d) cắt (d’). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (d) và (d’) Bài giải Bài tập tương tự Bài 1.4 a. b. c. Bài 1.5 Chứng minh rằng d//d’ . Viết phương trình mặt phằng đi qua (d) và (d’) a. b. c. II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG QUA CÁC YẾU TỐ SONG SONG 1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm song song một mặt phảng 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm song song với hai đường (chứa một đường hoặc đi qua 2 điểm và song song với một đường) Bài1.6 CMR d chéo d’ Viết phương trình của mặt phẳng đi qua (d) và song song (d’)\ Bài giải Vậy d chéo d’ + Bài tập tương tự Bài 1.7 Cho hai đường thẳng có phương trình Chứng minh rằng (d) chéo (d’) Lập phương trình mặp phẳng chứa (d) và song song với (d’) Bài 1.8 Cho hai đường thẳng có phương trình Chứng minh rằng (d) chéo (d’) Lập phương trình mặp phẳng chứa (d) và song song với (d’) Bài 1.9 Cho hai đường thẳng có phương trình a. Chứng minh rằng (d) chéo (d’) Lập phương trình mặp phẳng chứa (d) và song song với (d’) Bài1.10 Cho hai đường thẳng d và d’ Chứng minh rằng (d) chéo (d’) Viết phương trình của hai mặt phẳng đi qua d và d’ song song với nhau Bài 1.11 Cho hai đường thẳng d và d’ Chứng minh rằng d chéo d’ Viết phương trình mp chứa M và song song d;d’ III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG QUA YẾU TỐ VUÔNG GÓC 3.mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với một đường a. b.Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB 4.Mặt phẳng đi qua một đường vuông góc với một mặt phẳng Bài 1.12 Cho đường thẳng (d): . Viết phương trình của (Q) chứa (d) và vuông góc với (P) Bài giải Bài tập tương tự Bài1.13 Cho Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P) IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG MANG YẾU TỐ LƯỢNG 5. Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng chéo nhau + xác định mặt phẳng (P) song song với d và d’ : + xác định khoảng cách của d tới P bằng khoảng cách của d’ tới P Hoặc M0 trung điểm của M1 M2 : M0 thuộc P d1 M1 o d2 o M2 o M0 P Hoặc d(M1,P) =d(M2;P) Bài 1.14 Cho đường thẳng (d’) Chứng minh rằng d chéo d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều d và d’ Bài giải Vậy d chéo d’ + Hoặc Tìm M0 + Hoặc tìm theo khoảng cách Bài tập tương tự Bài 1.15 Cho hai đường thẳng 1.Chưng minh rằng d chéo d’ 2.Viết phương trình mặt phẳng song song với d và d’ cách đều hai đường thẳng 6.Mặt phẳng đi qua một đường thẳng cách điểm cho trước một khoảng cho trước + Định nghĩa mp R theo chùm (m;n) +Tính khoảng cách từ M tới R suy ra (m; n) Bài 1.16 Cho M( 4,1,-3) và hai mặt phẳng P: 2x-y+z-4=0 Q: x+y-3z-1=0 Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai giao tuyến của P,Q và cách M một khoảng Bài giải Bài tập tương tự Bài 1.17 Cho đường thẳng (d): a. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cách M môt khoảng bằng 1 Bài 1.18 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (Δ) cách M một khoảng lớn nhất Bài giải Gọi mf(Q) đi qua M vuông góc với Δ tại A Phương trình Q: . Tọa độ A: A hình chiếu của M trên Δ P M A o Δ P0 H Vậy phương trình mặt phẳng (P) Bài tập tương tự Bài 1.19 a.Cho M(1;2;-1) và b. c. Lập phương trình của mặt phẳng P đi qua (Δ) cách M một khoảng lớn nhất 7.Mặt phẳng đi qua một đường tạo với một mặt (đường ) một góc cho trước Bài 1.20 Cho (d) Lập phương trình mf (Q) đi qua (d) tạo với (P) một góc + Lập phương trình mp(Q) chứa (d) theo (m;n) +Tìm Bài giải Bài tập tương tự Bài 1.21 Lập phương trình mf(Q) chứa (d) tạo với (d’) một góc 600. Biết Chú ý : Lập phương trình của mặt phẳng đi qua một đường tạo với một mặt (hoặc một đường) một góc nhỏ nhất Bài 2.22 Cho Lập phương trình mf(R) chứa (∆) tạo (P) một góc nhỏ nhất Bài giải Ta có Gọi góc của hai mặt phẳng (P) và (R) B.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Khái niệm chung: a.Cho M(x0, y0, z0) và b. Giao tuyến của hai mặt phẳng Chu ý: I. ĐƯỜNG THẲNG QUA ĐIỂM 1.Đường thẳng qua hai điểm phân biệt Cho A(x1, y1 , z1) và B(x2, y2 , z2) Vậy 2. Đường thẳng thuộc mặt phẳng cắt 2 đường +Tìm giao điểm A1 và A2 của (P) với d1 và d2 +Lập phương trình của đường thẳng đi qua A1A2 Bài 2.1 Lập phương trình của đường thẳng thuộc (P) cắt (d1) và (d2) A ◦ ◦ B d1 d2 Bài giải: Gọi A giao điểm của P cắt d1. Tọa độ A Gọi B giao điểm của P cắt d2. Tọa độ B Vậy phương trình d0 Bài tập tương tự Bài 2.2 3. Đường thẳng đi qua một điểm cắt 2 đường thẳng chéo nhau +Lập phương trình mf(P) chứa M và (d1) +Tìm giao điểm M0 của (P) và (d2) +Lập phương trình (d0) qua MM0 + nhận xét Bài 2.3 a.Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d1) và (d2 ) Bài giải: ◦ M d1 d2 ◦ M1 ◦ M2 Giao điểm của (P) và d2 là vì d0 và d1 đồng phẳng và nên d0 cắt d1 Bài tập tương tự Bài 2.4 Viết phương trinh đường thẳng đi qua M cắt d1 và d2 II. ĐƯỜNG THẲNG CÓ TÍNH SONG SONG 4. Đường thảng đi qua một điểm song song với một đường ( hoặc vuông góc với một mặt phẳng) Bài 2.5 a.Lập phương trình đường thẳng đi qua M song song (d) Bài giải Bài tập tương tự Bài 2.6 b.Cho M( 1,1,2) Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua M song song c.Lập phương trình của (d) đi qua M(1,1,1) vuông góc với (P): x+2y+3z-12=0 5.Lập phương trình song song với một đường thẳng ( vuông góc vói một mặt phẳng) cắt cả hai đường thẳng đã cho Cho d1;d2;d3 viết phương trình đường thẳng song song d1 cắt d2;d3 + Viết phương trình (P) chứa d2 và song song d1 + Tìm giao điểm A của (P) với d3 + Lập phương trình d0 đi qua A và + Nhận xét Bài 2.7 Lập phương trình của đường thẳng song song với (d1) cắt (d2 và (d3) Bài giải d1 d2 d3 d0 A o B o Gọi A là giao điểm của (P) với d3. Tọa độ A P vì d0; d2 đồng phẳng nên d0 và d2 phải cắt nhau vì d0 và d1 có cùng VTCP nên chúng song song Bài tập tương tự Bài 2.8 P d2 d1 ◦ A d0 B ◦ Q Bài 2.9 Lập phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (d1); (d2) Bài giải: Goi Q mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với P Vì d0 cắt d1; d0 vuông góc với P nên d0 thuộc Q Gọi d2 cắt Q tại A. Tọa độ A Vì d0 cắt d2 và d0 vuông góc với P nên d0 đi qua A. Vậy d0 có phương trình Vì d0; d1 đồng phẳng vậy d0 phải cắt d1 Và d0 vuông góc với P Bài tập tương tự Bài 2.10: Viết phương trình đường thẳng vuông góc (P) và cắt d2;d3 III.ĐƯỜNG THẲNG CÓ TÍNH VUÔNG GÓC 6. Đi qua một điểm ; thuộc ( hoặc song song ) một mặt phẳng và vuông góc với một đường thẳng + Tìm tọa độ A +Lập phương trình của mpQ đi qua A và vuông góc với d + Lập giao tuyến của P và Q Hoặc +Lập phương trình d0 qua A và Bài 2.11 Cho (P) và d có phương trình Tìm tọa độ giao điểm A của d và P b. Lập phương trình của đường thẳng d0 thuộc (P) đi qua A và vuông góc với d Bài giải (d) cắt P tại A . Tọa độ A là nghiệm của hệ Gọi mp Q đi qua A vuông góc với d. Vậy d0 thuộc mf Q A o d P Q d0 Vậy d0 là giao tuyến của P và Q Hoặc: Gọi Bài tập tương tự Bài 2.12 Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và d b. Lập phương trình của d0 thuộc (P) đi qua A và vuông góc với d Bài 2.13 Lập phương trình đường thẳng (d0) đi qua M song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d): + P Q M o A o d1 Lập phương trình đường thẳng d0 song song với P đi qua M cắt đường thẳng d1 đã cho Bài giải Vì d0 chứa M; d0 //P nên d0 thuộc Q Gọi A là giao điểm của d1 và Q. Tọa độ A là: Vì d0 cắt d1 d0 thuộc Q nên d0 đi qua A Vậy d0 chính là AM Hoặc Gọi là VTCP (d) Gọi là VTCP (d0) Bài tập tương tự Bài 2.14 7.Đi qua một điểm vuông góc với hai đường thẳng Bài 2.15 Lập phương trình của (d) đi qua một điểm M vuông góc với 2 đường thẳng Bài giải Bài tập tương tự Bài 2.16 8. Đi qua một điểm cắt một đường thẳng và vuông góc với một đường thẳng đã cho( hoặc véc tơ đã cho) +Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuong góc với đường thẳng +Tìm giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng đã cho + Lập phương trình của đường thẳng đi qua 2 điểm đã xác định Bài 2.17 a.Lập phương trình đường thẳng(d) đi qua M vuông góc với (d1) và cắt (d2) Bài giải P A o M o d d1 d2 Gọi A là giao điểm của d2 với P. Tọa độ A Vì d thuộc P; d cắt d2 vậy A thuộc d Nên d: AM Bài tập tương tự Bài 2.18 b.Lập phương trình đường thẳng(d) đi qua M vuông góc với và cắt (d2) 9.Hình chiếu của một đường thẳng trên mặt phẳng a. Lập phương trình của mf(Q) chứa (d) và vuông góc với (P) Tìm giao tuyến của (P) và (Q) Chuyển giao tuyến về phương trình đường thẳng b. Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và (P) M thuộc (d) tìm M’ hình chiếu của M trên (P) Xác định AM hình chiếu của (d) trên (P) c. M’(x;y;z) thuộc (d’) vậy có M (t) thuộc (d) Bài 2.19 Cho đường thẳng (Δ) và mặt phẳng (P) có phương trình: Lập phương trình (Δ’) hình chiếu của (Δ) trên (P) Bài giải: a. Theo tọa độ giao điểm Gọi I là giao điểm của (Δ) với (P). Tọa độ I Gọi M(2;-1;1) thuộc (Δ). M’ hình chiếu của M trên (P). Ta có: Tọa độ M’ là nghiệm : Vậy (Δ’) chính là IM’ có phương trình là b. Theo giao tuyến của 2 mặt phẳng: Gọi mf (Q) chứa (Δ) và vuông góc với (P) có VTPT Vì (Δ) là giao của (P) và (Q) c. Theo tập hợp điểm: Bài tập tương tự Bài 2.20 Lập phương trình hình chiếu vuông góc của (Δ) trên mf (P) 10.Đường vuông góc chung Cho (Δ) chéo (Δ’) Lập phương trình của (d) vuông góc và cắt cả (Δ)và(Δ’) + Hoặc Bài 2.21 Lập phương trình đường vuông góc chung Δ;Δ’ Bài giải Cách 1 Vì d vuông góc Δ;Δ’ nên Gọi (P) mặt phẳng chứa Δ;d Vì d cắt Δ’ tại J nên P phỉ cắt Δ’ tại J. Tọa độ J Vậy d chứa J và nên có phương trình là Cách 2 Bài tập tương tự: Bài 2.22 Lập phương trình đường vuông góc chung của a. b. c. Chú ý: +Dựng mf (P) chứa (Δ) vuông góc với (Δ’) +Tìm giao điểm I của (P) với (Δ’) +Tìm hình chiếu vuông góc J của I trên (Δ) + IJ là đường vuông góc chung của (Δ) và (Δ’) Bài 2.23 Gọi (P) đi qua M1(2;0;1) vuông góc với Δ’ tại I. phương trình (P): Vậy tọa độ I là nghiệm của hệ Gọi J là một điểm bất kì trên (Δ) Vậy đường vuông góc chung chính là JI 9.Lập phương trình đường thẳng song song mf(P) cắt 2 đường thẳng chéo nhau (Δ;Δ’) tại MN để MN đạt min Bài 2.24 Viết phương trình đường thẳng (d) //P cắt Δ;Δ’ tại MN MN có độ dài nhỏ nhất Bài giải: Ta có Gọi giao điểm của (Δ) cắt (P) là A. Tọa độ A: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (Δ’) song song với (Δ): Gọi (Δ1) là giao của P,Q . Vậy (Δ1) hình chiếu của (Δ’) trên (P) Gọi H là hình chiếu của A trên (Δ1) Vậy H thuộc mp (R) (R) đi qua A vuông góc với (Δ1) Δ Δ’ A o o H o N M o P Gọi (W) mặt phẳng chứa (Δ) và AH. Phương trình (W): Gọi (d0) đường thẳng đi qua H và song song (Δ) Vậy (d0) thuộc (W) Nếu (W) cắt (Δ’) tại N thì (d0) cắt (Δ’) tại N Tọa độ N là nghiệm Trong (W) dựng MN //AH cắt (Δ) tại M. Phương trình MN 10.Các đường trong tam giác Cho A(x1;y1;z1) B(x2;y2;z2) C(x3 ;y3 ;z3). a.Đường trung tuyến Lập đường trung tuyến AM b.Đường cao + Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc BC +Tìm giao điểm H của P và BC +Lập phương trình đường AH c.Đường trung trưc +Tìm + Tìm trung điểm M của BC + Tìm +Tìm VTCP của Mt Bài 2.25 A(1;2;5) B(1;4;3) C(5;2;1) Lập phương trình a. Đường trung tuyến AM b. Lập phương trình đường cao AH c. Lập phương trình đường trung trực Mt Bài giải: a.Đường trung tuyến đỉnh A b.Đường cao AH Gọi (P) đi qua a vuông góc với CB. Vậy AH thuộc (P) (P) cắt CB tại H.Tọa độ H Vậy đường cao AH c.Đường trung trực Mt Gọi mp(P) chứa (ABC) có VTPT . Vì Mt thuộc (P) và vuông góc với BC. Ta có Đường trung trực đi qua M(3;3;2) VTCP Bài tập tương tự Bài 2.26 A(3;1;0) B(2;2;4) C(-1;2;1) Lập phương trình a. Đường trung tuyến AM b. Lập phương trình đường cao AH c. Lập phương trình đường trung trực Mt C. CÁC BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN I. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM 1.Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng (Cho điểm A và mf(P).Tìm điểm M thuộc (P) để AM ngắn nhất) Cho mf (P) và điểm A . H hình chiếu của A trên (P) Bài 3.1 Cho A(3;3;0) và (P): x+2y-z-3=0. Tìm tọa độ H hình chiếu của A trên (P) Cách 1: Gọi (d) đường thẳng đi qua A vuông góc (P) Vậy H là giao điểm của (d) và (P) Cách 2: Gọi H(x;y;z) là hình chiếu của A trên (P). Ta có 2.Tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng ( Cho A và đường thẳng (Δ). Tìm M thuộc (Δ) để AM ngắn nhất) Bài 3.2 Cho A và đường thẳng (Δ). Tìm tọa độ điểm H hình hiếu vuông góc của A trên (Δ) Bài giải: Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (Δ) H hình chiếu vuông góc của A trên (Δ). Tọa độ H: Cách 2: Gọi H bất kì thuộc (Δ) H hình chiếu của A trên (Δ) Bài tập tương tự Bài 3.3 Cho điểm M và hai đường thẳng (Δ1) và (Δ2): Viết phương trình của (P) chứa (Δ1) và song song (Δ2) Tìm điểm N thuộc (Δ2) để MN ngắn nhất Tìm H thuộc (P) để MH ngắn nhất II.TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG TRONG KHÔNG GIAN a. Điểm A đối xứng với B qua tâm II trung điểm AB b. Điểm A đối xứng với B qua (Δ) c. Điểm A đối xứng với B qua (P) Bài 3.4 Cho M(1;2;-1) đường thẳng (Δ) và mf (P) có phương trình Tìm tọa độ M1 đối xứng với M qua (Δ) Tìm tọa độ của M2 đối xứng với M qua (P) Tính diện tích của tam giác MM1M2 Bài giải a.Gọi H hình chiếu vuông góc của M trên (Δ) Gọi M1 đối xứng M qua (Δ) Gọi K hình chiếu của M trên (P). Ta có Gọi M2 đối xứng với M qua PK trung điểm của MM2 Tự làm Bài tập tương tự Bài 3.5 Cho A( 2;-4;-2) và hai đường thẳng (d);(d’) có phương trình Gọi B;C lần lượt là điểm đối xứng của A (d) và (d’). Tính tọa độ B;C Tính diện tích của tam giác ABC III. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM Tìm điểm M trên đường thẳng (Δ) để (x2+y2+z2) đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3.6 Tìm điểm M trên đương thẳn (Δ) có phương trình để đạt Min Bài giải: Tìm điểm trên (Δ) để khoảng cách tới (P) bằng một số cho trước (Tìm tâm của mặt cầu thuộc đường thẳng; R=a>0 và tiếp xúc Một mặt phẳng đã cho) Bài 3.7 Cho đường thẳng (Δ) và mặt phẳng (P) có phương trình Tìm M thuộc (Δ) để d(M;P)=1 Bài giải: Khoảng cách từ M đến (P): Muốn khoảng cách từ M đến (P) bằng 1 khi Bài tập tương tự Bài 3.8 Tìm điểm M thuộc (Δ) sao cho d(M;P) =r Tìm điểm thuộc đường thẳng ; cách đều hai mặt phẳng đã cho (Tìm tâm của mặt cầu thuộc đường thẳng tiếp xúc với hai mặt phẳng cho trước) Bài 3.9: Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) và (Δ) có phương trình là: Tìm một điểm I trên (Δ) sao cho d(M;P) = d(M;P’) Bài giải: Gọi M (x0;y0;z0) sao cho (M;P)= d(M;P’) ta có Vì M thuộc (Δ) Nên ta có Bài tập tương tự Bài 3.10 Tìm điểm M trên (Δ) sao cho d(M;P)=d(M;P’) biết: Tìm điểm thuộc mặt phẳng : khoảng cách tới O (x2+y2+z2) nhỏ nhất Bài 3.11 Cho mặt phẳng (P) có phương trình . Tìm M thuộc (P) Để cho () nhỏ nhất Bài giải Gọi H hình chiếu vuông góc của O trên P. Vậy điểm H là điểm cần tìm Bài tập tương tự Bài 3.12 Bài giải Xét hệ tọa độ trong không gian {Oxyz}. Gọi (P) là mặt phẳng có phương trình Gọi H hình chiếu vuông góc của O trên P. Vậy Bài 3.13 Cho mặt phẳng (P) có phương trình x+2y+3z-6=0. Tìm một điểm M trên (P) để (x2+y2+z2) nhỏ nhất 5. Tìm điểm thuộc mặt phẳng, tổng khoảng cách đến hai điểm cho trước nhỏ nhất Bài 3.14 Cho A(-1;3;-2); B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): Tìm M thuộc (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất Bài giải: Gọi A1 đối xứng với A qua (P). M là giao điểm BA1 với (P) Với mọi N bất kì thuộc (P) Ta có Gọi H hình chiếu của trên (P) Vì A1 đối xứng với A qua (P) nên H trung điểm AA1 Đường thẳng A1B có phương trình Đường thẳng A1B cắt (P) tại M. Tọa độ M: Bài tập tương tự Bài 3.15 Cho A;B và (P). Tìm trên (P) điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất Chú ý: Tìm điểm thuộc mặt phẳng để tạo hai điểm cho trước một tam giác đều Bài 3.16 Cho Tìm C thuộc (P) để tam giác ABC là tam giác đều Bài giải: đều mặt phẳng trung trực AB Muốn tam giác ABC đều CB=CA=AB Vậy Bài tập tương tự Bài 3.17 Cho A(2;0; 1) B(0;2;3) (P): x+y+z+1=0 Tìm điểm M thuộc (P0 để tam giác ABC là tam giác đều 6. Tìm điểm trong tam giác +Trọng tâm G + Trực Tâm H Hoặc + Tâm đường tròn ngoại tiếp Hoặc Gọi J(x;y;z) là tâm cầu (S) ngoại tiếp ABC I hình chiếu của J trên (ABC) Bài 3.18 Cho tam giác ABC Biết A(1;2;0) B(0;-1;2) C(-1;0;1) Tính tọa độ trọng tâm G Tính tọa độ trực tâm H Tính tọa độ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài giải a.trọng tâm G b. Trực tâm H Vậy phương trình (ABC): Gọi H(x;y;z) là trực tâm của ABC Vì H thuộc (ABC) Nên ta có Tâm I đường tròn ngoại tiếp(ABC) I (x;y;z) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nếu + thuộc (ABC) tọa độ thỏa mãn (*) + IA=IB thuộc mặt phẳng trung trực AB + IA=IC thuộc mặt phẳng trung trực AC Gọi (Q) mặt phẳng trung trực của AB. Ta có phương trình (Q) : Gọi (R ) mặt phẳng trung trực AC Ta có phương trình (R ): Vậy tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình Bài tập tương tự Bài 3.19: Cho tam giác ABC biết A(;2;5) B(1;4;3) C(5;2;1) (P) x-y-z-3=0 Tính tọa độ trọng tâm G Tính tọa độ trực tâm H CMR M thuộc (P) có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A;B;C nhỏ nhất là M hình chiếu vuông góc của G trên (P) D. TÌM TÂM MẶT CẦU-PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Khái niệm Hoặc: (P) tiếp xúc với (S) (∆) tiếp xúc (∆) I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng Bài4.1 Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm Bài giải: Theo phương trình tổng quát của (S). Ta có Hoặc: I(x0;y0;z0) tâm (S) vậy IA=IB=IC=ID Gọi (P) mặt phẳng trung trực AB Gọi (Q) mặt phẳng trung trực BC Gọi (R) mặt phẳng trung trực BD Vậy I là giao của (P)(Q)(R) Bài tập tương tự Bài 4.2 Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Biết 2.Mặt cầu đi qua 3 điểm tâm thuộc mặt phăng Bài 4.3: Lập phương trình của mặt cầu . Biết Tâm I thuộc (P): Bài giải: Gọi I(a;b;c) Vậy phương trình (S) có dạng: Hay: Vì I thuộc (P) nên ta có Vậy ta có Hoặc vuông tại C Gọi I tâm cầu hình chiếu H của I trên (P) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC . Vậy H trung điểm của AB Vậy Từ I là giao điểm của (∆) và (P) ta có Bài tập tương tự Bài 4.4 Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua ABC tâm I thuộc (P) a. b. 3. Mặt cầu đi qua 2 điểm tâm thuộc một đường thẳng Bài 4.5 Lập phương trình của (S) đi qua A;B tâm thuộc (∆) a. b. Bài giải: Câu a Cách1 Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng trung trực của AB ta có I thuộc (P) Vậy I giao điểm của (P) và Ox 4. Mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài 4.6: Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0 a. Lập phương trình (S) tâm O tiếp xúc với (P) b. Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và (P) Bài giải: (S) tiếp xúc (P) (S): x2 +y2 +z2 = 9 b. Gọi (∆) đi qua I vuông góc với (P) tại M; M tiếp điểm Vậy M tiếp điểm của (S) và (P)M hình chiếu của I trên (P) Bài tập tương tự Bài 4. 7 Lập phương trình cảu (S) tâm I(1;2;3) tiếp xức (P) 3x-4y-10=0. Tìm tọa độ tiếp điểm 5. Mặt cầu tâm thuộc đường thẳng,R cho trước tiếp xúc mặt phẳng cho trước Bài 4. 8: Lập phương trình (S) tâm I thuộc (∆) tiếp xúc (P) R=1. Tìm tọa độ tiếp điểm a. b. Bài giải( Xem bài 3.7) a. Tương tự 6. Tâm thuộc đường thẳng tiếp xức với hai mặt phẳng: Bài 4.9 Lập phương trình của mặt cầu (S) tâm thuộc(∆) tiếp xúc (P) và (Q) a. b. Xem cách giải của bài 3.9 7. Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xức với đường thẳng(∆) Bài 4.10: Lập phương trình (S) có tâm I tiếp xúc (∆) Biết a. b. Bài giải Gọi S(I;R) tiếp xúc với (∆) tại M Hay M hình chiếu của I trên (∆) 8. Lập phương trình (S) tiếp xức (∆) tại H ; tâm thuộc (∆0) Bài 4.11: Lâp phương trình của (S) tiếp xúc (∆) tại H tâm thuộc (∆0). Biết a. b. Bài giải a. Vì (S) tiếp xúc với (∆) tại H nên tâm I của (S) thuộc (P) (P) vuông góc (∆) tại H. Phương trình (P): Vì I thuộc (∆0) . Tọa độ I thỏa mãn hệ phương trình (S) tiếp xức với (∆) (S): b. Tương tự II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN 1. Đường tròn xác định bởi mặt cầu và mặt phẳng Bài 4.12: Cho (P) và (S) có phương trình a.CMR (S) cắt (P) theo giao tuyến là một đường tròn b. Xác điinhj tọa độ tâm J của đường tròn giao tuyến Bài giải a. .Vậy (P) cắt (S) theo giao tuyến (C ) thuộc (P) b. Gọi J là tâm của (C ) Vậy J hình chiếu của I trên (P) Vậy J là giao điểm (∆) với (P). Tọa độ J Bài 4.13 Cho đường tròn (C ) có phương trình Xác định tọa độ tâm J và r của (C ) 2. Đường tròn xác định bởi ba điểm không thẳng hàngthuộc cầu Bài 4.14 Trong không gian {Oxyz} cho hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0); B(1;0;0); D(0;2;0) ; A’(0;0;3) Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua các định của hình hộp chữ nhật Xác định tâm J và r của đường tròn ngoại tiếp tam giác (A’BC) Bài giải: Gọi I trung điểm của AC’I tâm của mặt cầu (S) R bán kính của (S) a. b. Gọi J tâm đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác A’BC Vậy J hình chiếu vuông góc của I trên (A’BC) Vậy tọa độ J là nghiệm của hệ phương trình Gọi r bán kính của (C ) ta có r2=JB2