Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài tập :Hình đa diện – khối đa diện

BÀI TẬP :HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN: BÀI 1: Chứng minh các tính chất liên quan đến số đỉnh , số cạnh và số mặt của một khối đa diện : Phương Pháp : Sử dụng các tính chất : _ Hai mặt phân biệt của khối đa diện chỉ có thể không có điểm chung , hoặc có một đỉnh chung , hoặc có một cạnh chung. _Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt . Thí dụ 1: Chứng minh rằng :Nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt của nó phải là một số chẵn. Chứng minh : Gọi n là số mặt và p là số cạnh của khối đa diện . Do các mặt của khối đa diện là tam giác nên số cạnh của n tam giác đó là 3n . Nhưng mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt => 2p = 3n. Nếu n là só lẻ => 2p = 3n là số lẻ vô lý Vậy n phải là số chẵn . Thí dụ 2 : Chứng minh rằng một khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh của nó phải là một số chẵn. GIẢI: Gọi k là số đỉnh và p là số cạnh của khói đa diện . Gọi A1 ; A2 ; ..; Ak là số đỉnh và c1 ; c2 ; ..; ck là số cạnh qua các đỉnh tương ứng Vậy số cạnh qua k đỉnh là :c1+c2 +.+ck (Với c1 ; c2 ;;c3 là số lẻ). Nưng mỗi cạnh lại qua 2 đỉnh => Số cạnh là 2p = c1 + c2 + c3+..+ck Do 2p là số chẵn =>k là số chẵn. Thí dụ 3: Chứng minh rằng một khối đa diện có ít nhất 4 mặt. GIẢI : Gọi M1 là một mặt của khối đa diện , do M1 là đa giác nên M1 có ít nhất 3 cạnh c1 , c2 , c3 Gọi M2 có chung cạnh c1 với M1 và M2 ≠ M1 . Gọi M3 có chung cạnh c2 với M1 và M3≠ M1, vì c1 thuộc M2 và không thuộc M3 nên M2 ≠ M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1 và M4≠ M1 vì M4 không chứa c1 và c2 nên M4 khác M2và M3 .Vậy khối đa diện có ít nhất 4 mặt . TD4. Chứng minh một khối đa diện có số các mặt của nó là số lẻ và là những đa giác có p cạnh thì p phải là số chẵn. CHỨNG MINH Gọi m là số mặt của đa giác , do đa giác có p cạnh nên số cạnh của các mặt là pm , mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng 2 mặt nên số cạnh của khối đa diện là c = , do m là số lẻ => p là số chẵn. Thí dụ 5: Chứng minh rằng một hình đa diện có các mặt là là những đ giác có số cạnh là một số lẻ. Chứng minh đa diện đó có tổng số mặt là số chẵ. Chứng minh: Giả sử hình đa diện (H) có k mặt M1;M2;;Mk và mỗi đa giác M1 có số cạnh là c1 ;M2có số cạnh là c2;; Mk có số cạnh là ck . Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của 2 mặt =>Tổng số cạnh của hình đa diện là c => c = Do c là số nguyên dương và ci (i=1,2,k) là những số lẻ=>k là số chẵn. BÀI TẬP: 1.Chứng minh với mỗi số nguyê k ³ 3 luôn luôn tồn tại một hình đa diện có 2k cạnh. Giải : Xét hình chóp có đáy là đa giác có k cạnh . Số cạnh cỉa hình chóp bằng với số cạnh đáy công với số cạnh bên . Hình chóp có k cạnh bên => Mọi hình chóp đáy là đa giác có k cạnh thì hình chóp đó có 2k cạnh. 2.Chứng minh rằng với mọi số k ³4 tồn tại một hình đa diện có 2k+1 cạnh. GIẢI : Xét hình chóp S.A1A2Ak-1 có 2k –2 cạnh Lấy một điểm B bên ngoài hình chóp , nối B với 3 đỉnh S , A , Ak-1 ta được một hình đa diện có số cạnh là 2k– 2 +3 =2k+1 cạnh. 3.Chứng minh rằng không tồn tại hình đa diện có số mặt lớn hơn hoạc bằng số cạnh. GIẢI: Gọi số cạnh và số mặt của hình đa diện là c và m Do mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 mặt => 2c ³ 3m =>c ³=>Không tồn tại hình đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh. 4.Chứng minh rằng không tồn tại hình đa diện có số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh . GIẢI: Gọi đ và c lần lựợt là số dỉnh và số cạnh . Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh và qua 2 đỉnh có đúng một cạnh nên 2c ³ 3đ =>c >d 5.Chứng minh rằng nếu một hình đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. GIẢI: Gọi đ là số đỉnh và c là số cạnh . Vì mỗi đỉnh là cạnh chung của đúng 3 mặt và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 mặt => 3đ = 2c=>đ= =>đ là số chẵn II.PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN : Phương pháp : Chọn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện . Muốn chứng minh khối đa diện (H) được ghép thành từ các khối đa diện (H1) ; (H2).ta chứng minh có thể phân chia (H) thành (H1) ; (H2) Thí dụ 1: Chia một hình hộp thành 5 khối tứ diện. Giải Dựng 4 mặt chéo BDA’;BDC’ ;A’C’B ; và A’C’D . 4 mặt chéo nầy tạo với 4 đỉnh A ; C ; B’ và D’ tạo thành 4 tứ diện ABDA’ ; CBDC’ ; B’A’C’B và D’A’C’D . Tứ diện còn lại là tứ diện BDA’C’. Thí dụ 2: Chia một khối tứ diện thành 4 khối tứ diện bang cách dung 2 mặt phẳng. Giải: Cho khối tứ diện ABCD , gọi M là điểm thuộc canh AB và N là điểm thuộc cạnh CD . Cắt tứ diện bởi 2 mặt phẳng MCD và NAB ta có 4 tứ diện AMCN ;AMND ; BMCN ; BMND Thí dụ 3: Cho 3 đường thẳng (a) ; (b) và (c) không Cùng na82m2 trong mặt phẳng và song Song với nhau.Trên A(a) ;(b) ;(c) ta lần Lượt lấy AA’ ;BB’ CC’ sao cho AA’<BB’<CC’ Hãy chia khối đa diện thành một hình lăng trụ Và một hình tứ diện BB’ và CC’ lần lượt lấy B” và C” sao cho AA’=BB”=CC” =>ABC.A’B”C” là một hình lăng trụ tam giác. Cắt hình đa diện ABCA’B’C’ bằng mp(A’B”C”) ta đươc hình lăng trụ ABC.A’B”C” và hình chóp A’.B’C’B”C” III.CHỨNG MINH HAI HÌNH ĐA DIỆN BẰNG NHAU: Phương pháp : Chứng minh tồn tại một phép dời hình biến hình nầy thành hình kia Thí dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Chứng minh : a)Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’ABCD bằng nhau b)P=mp(DAC’B’) ĐP(A)=A ; ĐP(B)=A’ ĐP(C)=D’; ĐP(A’)=B ĐP(B’)=B’; ĐP(C’)=C’ Phép đối xứng mp(P) biến hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thanh hình lăng trụ :AA’D’.BB’C’ Vậy 2 hình lăng trụ bằng nhau. a)Gọi O là tâm của hình lập phương . ĐO(A) = C’ ĐO(A’) = C ĐO(B’) = D ĐO(C’) = A ĐO(D’) = B=>ĐO(A.A’B’C’D’) = C’.CDAB Vậy hai hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.CDAB bằng nhau b)Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.