Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài tập về hình học giải tích trong không gian

BÀI TẬP HèNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN. Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình: . Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1. Giải. Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ làm véctto pháp tuyến có PT: Từ giả thiết: tìm được a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P1): x + y – z – 4 = 0 và (P2): 7x – 17y + 5z – 4 = 0 Bài 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đ/thẳng(d): Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đếnlớn nhất. Giả sử cắt d tại M nên Ta có Xét hàm BBT ...Từ BBT ta thấy Giải. Khi đó đường thẳng có PT: Bài 3. Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d cú phương trỡnh . Tỡm trờn d những điểm M sao cho tổng khoảng cỏch từ M đến A và B là nhỏ nhất. Giải. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t), AB//d. Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB A’B (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB MA=MB M(2 ; 0 ; 4) Bài 4. Trong khụng gian tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm Tỡm tọa độ của điểm M thuộc (P) sao cho đạt giỏ trị nhỏ nhất. Giải. +) Gọi I là trung điểm AB. Khi đú và +) Ta cú đạt giỏ trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất (do khụng đổi). M là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P). +) Chọn phương trỡnh . Thay vào phương trỡnh (P) suy ra Bài 5. Trong khụng gian tọa độ cho đường thẳng và cỏc điểm Tỡm tọa độ điểm M thuộc d sao cho đạt giỏ trị lớn nhất. Giải. +) +) Suy ra , đạt khi hay Bài 6. Trong khụng gian với hệ toạ độ cho cỏc điểm và đường thẳng . Xỏc định toạ độ điểm sao cho đạt giỏ trị nhỏ nhất. Giải. * * Suy ra min khi Bài 7. Trong khụng gian với hệ toạ độ cho hai đường thẳng và Tỡm toạ độ điểm và sao cho độ dài đạt giỏ trị nhỏ nhất. Giải. * * qua và cú qua và cú . Suy ra chộo nhau . Để độ dài MN nhỏ nhất thỡ MN là đường vuụng gúc chung của Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : . Chứng minh rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với d’ Giải. .Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Ta có , , do đó vậy d và d’ chéo nhau. Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là nên có phương trình: hay Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : và d’ : . Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và tạo với d’ một góc Giải. .Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Đường thẳng d’ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Mp phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến vuông góc với và . Bởi vậy nếu đặt thì ta phải có : Ta có . Vậy hoặc . Nếu ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó , tức là và có phương trình hay Nếu ta có thể chọn , khi đó , tức là và có phương trình hay Bài 10. Trong kg Oxyz cho đường thảng (): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) cú tõm Ivà khoảng cỏch từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường trũn (C)cú bỏn kớnh r=3 . Giải. Mặt cầu(S) cú tõm Ig sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của(1) * (2) Từ (1) và(2) ta cú hệ PT: Do Vậy cú 2 mặt cầu theo ycbt : Bài 11. Cho điểm và đường thẳng Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa sao cho khoảng cỏch từ đến lớn nhất. Giải. Gọi K là hỡnh chiếu của A trờn d cố định; Gọi là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hỡnh chiếu của A trờn . Trong tam giỏc vuụng AHK ta cú Vậy là mặt phẳng qua K và vuụng gúc với AK Gọi là mặt phẳng qua A và vuụng gúc với d là mặt phẳng qua K và vuụng gúc với AK Bài 12. Cho mặt phẳng và cỏc đường thẳng Tỡm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cỏch (P) một khoảng bằng 2. Giải. Gọi Trường hợp 1: Trường hợp 2: Bài 13. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : và . Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa (d1) và hợp với (d2) một gúc 300. Giải. Giả sử mặt phẳng cần tỡm là: . Trờn đường thẳng (d1) lấy 2 điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0). Do qua A, B nờn: nờn . Yờu cầu bài toỏn cho ta: Dễ thấy nờn chọn b=1, suy ra: KL: Vậy cú 2 mặt phẳng thỏa món: . C A B D H K Bài 14. Trong khụng gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), và với H là trực tõm tam giỏc ABC. Tớnh gúc giữa (DAB) và (ABC). Giải. Trong tam giỏc ABC, gọi . Khi đú, dễ thấy . Suy ra gúc giữa (DAB) và (ABC) chớnh là gúc .Ta tỡm tọa độ điểm H rồi Tớnh được HK là xong. + Phương trỡnh mặt phẳng (ABC). Vecto phỏp tuyến (ABC): . + nờn giả sử . Ta cú: Khi đú: Vậy H(-2; -2; 4). + Phương trỡnh mặt phẳng qua H và vuụng gúc với AB là: . Phương trỡnh đường thẳng AB là: .Giải hệ: ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3. Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra: . Gọi là gúc cần tỡm thỡ: Vậy là gúc cần tỡm. Bài 15. Trong khụng gian với hệ tọa độ Đờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) và (d’) Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chộo nhau và tớnh khoảng cỏch giữa chỳng Giải. Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tỡm đi qua A, B nờn cú phương trỡnh : + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và cú VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và cú VTCP Ta cú : Do đú (d) và (d’) chộo nhau .(Đpcm) Khi đú : Bài 16. Trong khụng gian với hệ tọa độ Đờcỏc vuụng gúc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) và (d’) a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trỡnh chớnh tắc của cặp đường thẳng phõn giỏc của gúc tạo bởi (d) và (d’) . Giải. a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và cú VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và cú VTCP Nhận thấy (d) và (d’) cú một điểm chung là hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy . Ta đặt : Khi đú, hai đường phõn giỏc cần tỡm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai vộctơ làm VTCP và chỳng cú phương trỡnh là : và Bài 17. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tỡm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Giải. Ta cú Phương trỡnh đường thẳng AB: Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hỡnh chiếu vuụng gúc của C trờn cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) Vỡ =>-a-16a+12-9a+9=0 Tọa độ điểm Bài 18. Cho hai đường thẳng cú phương trỡnh: Viết phương trỡnh đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải. Gọi đường thẳng cần tỡm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> => Phương trỡnh đường thẳng AB là: Bài 19. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD với hai đỏy AB, CD và cú . Tỡm tọa độ D. Giải. +) Rừ ràng nờn A, B, C khụng thẳng hàng. +) CD // AB nờn chọn . Suy ra pt . Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn với hai đỏy AB, CD nờn AD = BC. Do đú Để ABCD là hỡnh thang cõn thỡ BD = AC. Do đú D(3, 2, 0) khụng thỏa món vỡ khi đú. ABCD là hỡnh bỡnh hành. Với thỏa món. Bài 20. . Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng Xột hỡnh bỡnh hành ABCD cú Tỡm tọa độ B biết diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD bằng Giải. +) . (1) +) Ta cú . Suy ra . Suy ra . (2) Từ (1) và (2) ta cú . Suy ra . +) ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn . Suy ra B(3 ; 3 ; 5). Bài 21. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc d, tiếp xỳc với (P) và cắt (Q) theo một đường trũn cú chu vi . Giải. Giả sử mặt cầu cần tỡm cú tõm I, bỏn kớnh R > 0. Vỡ nờn . Do mặt cầu tiếp xỳc với (P) nờn Ta cú . Chu vi của đường trũn giao tuyến . Suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra * Với ta cú . Suy ra mặt cầu * Với ta cú . Suy ra phương trỡnh mặt cầu . Bài 22. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc d, đồng thời tiếp xỳc với và (P). Giải. Mặt cầu cú tõm . . Chọn và . Khi đú . Suy ra Suy ra . Từ giả thiết ta cú * Với . Ta cú . Suy ra phương trỡnh mặt cầu * Với . Ta cú . Suy ra phương trỡnh mặt cầu Bài 23. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng Xỏc định tọa độ cỏc điểm M, N lần lượt thuộc cỏc đường thẳng và sao cho đường thẳng MN vuụng gúc với mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng . Giải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và . * đi qua cú vộctơ chỉ phương ; Suy ra mặt phẳng (P) cú vộctơ phỏp tuyến . * Do đú . Suy ra Vậy Bài 24. Trong khụng gian với hệ toạ độ cho hỡnh vuụng cú . Tỡm toạ độ đỉnh biết rằng đỉnh nằm trong mặt phẳng Giải. - Giả sử . Vì - MNPQ là hình vuông vuông cân tại N - Từ (1) và (2) suy ra . Thay vào (3) ta được hay . - Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm MP và NQ . Nếu thì Nếu thì Bài 25. Trong khụng gian với hệ toạ độ cho cỏc điểm và mặt phẳng Tỡm toạ độ của điểm biết rằng cỏch đều cỏc điểm và mặt phẳng Giải. Giả sử . Khi đó từ giả thiết suy ra Từ (1) và (2) suy ra . Thay vào (3) ta được Bài 26. . Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hóy viết phương trỡnh mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cỏch từ C tới mặt phẳng (P) bằng . Giải. •Gọi là vộctơ phỏp tuyến của (P) Vỡ (P) qua A(-1 ;1 ;0) ị pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ịa-b-2c=0 ị b = a-2c. Ta cú PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = •TH1: ta chọn ị Pt của (P): x-y+z+2=0 * TH2:ta chọn a =7; c = 1 ịPt của (P):7x+5y+z+2=0 Bài 27. Trong khụng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P),đường thẳng d: . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trỡnh của đường thẳng nằm trong (P), vuụng gúc với d và cỏch I một khoảng bằng . Giải. • (P) cú vộc tơ phỏp tuyến và d cú vộc tơ chỉ phương • vỡ cú vộc tơ chỉ phương • Gọi H là hỡnh chiếu của I trờn qua I và vuụng gúc Phương trỡnh (Q): Gọi cú vộcto chỉ phương và qua I Ta cú • • TH1: *TH2: Bài 28. Trong khụng gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt cú phương trỡnh (S): , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trỡnh mặt phẳng song song với (P) và tiếp xỳc với mặt cầu (S). Giải. Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= 0 => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3. Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D) Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 0 Hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0 Bài 29. Trong hkụng gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt cú phương trỡnh: (S):’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q)song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trũn cú diện tớch 16. Giải. Vỡ (Q) //(P) nờn (Q) cú phương trỡnh : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tõm đường trũn giao tuyến I(1 ;2 ;-2) là tõm mặt cầu R = 5 bỏn kớnh mặt cầu, r là bỏn kớnh đường trũn giao tuyến theo giả thuyết ta cú mặt khỏc ta cú IO = . l ại c ú R2 = r2 + OI2 vậy mặt phẳng (Q) cần tỡm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0. Bài 30. Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: , và mặt phẳng (P): x + 4y + z + 1 = 0. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) và song song với đường thẳng (d). Lập phương trỡnh mặt cầu cú tõm I là giao điểm của (d) và (P), cú bỏn kớnh là khoảng cỏch giữa (d) và (d’). Giải. + (d) đi qua điểm A(3;4;6) và cú vecto chỉ phương (d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và cú vecto chỉ phương Khi đú mặt phẳng (Q) qua B và cú vecto phỏp tuyến là Phương trỡnh mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rừ ràng d song song (Q)) + Giao điểm của d và (P) là điểm Khoảng cỏch giữa d và d‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = +Phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I và bỏn kớnh R là: Bài 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d1) : . Gọi (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ; . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc chung của (d1) và (d2). Giải. + (d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và cú vecsto chỉ phương + Viết phương trình tham số của (d2: măt phẳng ,có VTPT lần lượt là + (d2) đi qua điểm B(3;0;0) và cú vecto chỉ phương + + khụng đồng phẳng. + Vậy, (d1) và (d2) chộo nhau. + (d2) cú phương trỡnh tham số: + Goùi MN laứ ủửụứng vuoõng goực chung cuỷa (d1) vaứ (d2) + , +Ta cú : + Toùa ủoọ trung ủieồm I cuỷa MN: I(2; 1; 2), baựn kớnh + Vaọy phửụng trỡnh maởt caàu (S): Bài 32. Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; -6; 6), B(4; 4; 4), C(- 2; 10; -2) và S(-2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hỡnh thoi và hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng (OABC) trựng với tõm I của OABC. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SO và AC. Giải. Ta cú: + Cỏc đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1) + (2) Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hỡnh thoi OABC + + Do OABC là hỡnh thoi và nờn: Từ đú trong mp(SOB) nếu kẻ tại H thỡ tại H. Vậy IH là đoạn vuụng gúc chung của SO và AC Bài 33. Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trờn cỏc tia Ox, Oy và Oz sao cho mặt phẳng (ABC) khụng đi qua O và luụn đi qua điểm M(1; 2; 3). Xỏc định tọa độ cỏc điểm A, B, C để thể tớch khối tứ diện OABC đạt giỏ trị nhỏ nhất. Giải. Từ giả thiết ta suy ra tọa độ cỏc điểm A, B, C định bởi: trong đú a, b, c là cỏc số thực dương ị phương trỡnh mp(ABC): + M(1, 2, 3) ẻ mp(ABC) nờn: + Thể tớch của khối tứ diện OABC được tớnh bởi: + Theo bđt CauChy: Đẳng thức xảy ra khi Vậy đạt được khi Bài 34. Trong khụng gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P) cú phương trỡnh 2x+z=0 và đường thẳng d cú phương trỡnh . Tỡm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trờn trục sao cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Giải. A(1+t;-2+t;-t)ẻd, B(0;0;b)ẻOz, , Bẽ(P) ịb≠0 , AB2=6t2+6t+9 ; AB đạt giỏ trị nhỏ nhất khi Vậy Bài 35. Trong khụng gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0. Viết phương trỡnh mặt phẳng (a) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)ầ(Q) và tạo với trục Oz gúc 300. Giải. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: gọi (với a2+b2+c2≠0) là vectơ phỏp tuyến của (a) d//(a) ịÛa-2b-3c=0Ûa=2b+3c Sin((a),Oz)=sin300= Û3c2=a2+b2Û 3c2=(2b+3c)2+b2 Û5b2+12bc+6c2=0 với chọn ịphương trỡnh mặt phẳng (a) là: với chọn ịphương trỡnh mặt phẳng (a) là: Bài 36. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh tham số .Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (D). Trong cỏc mặt phẳng qua , hóy viết phương trỡnh của mặt phẳng cú khoảng cỏch đến (D) là lớn nhất. Giải. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thỡ hoặc . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P). Ta luụn cú và . Mặt khỏc Trong mặt phẳng , ; do đú . Lỳc này (P) ở vị trớ (P0) vuụng gúc với IA tại A. Vectơ phỏp tuyến của (P0) là , cựng phương với . Phương trỡnh của mặt phẳng (P0) là: Bài 37. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng cú phương trỡnh tham số .Một điểm M thay đổi trờn đường thẳng , xỏc định vị trớ của điểm M để chu vi tam giỏc MAB đạt giỏ trị nhỏ nhất. Giải. Gọi P là chu vi của tam giỏc MAB thỡ P = AB + AM + BM. Vỡ AB khụng đổi nờn P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Đường thẳng cú phương trỡnh tham số: .Điểm nờn . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xột hai vectơ và . Ta cú Suy ra và Mặt khỏc, với hai vectơ ta luụn cú . Như vậy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cựng hướng và Vậy khi M(1;0;2) thỡ minP = Bài 38. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng và điểm A(2;1;2). Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cỏch từ A đến (P) bằng . Giải. Đường thẳng đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và cú vtcp là = (2 ; -1 ; 1). Gọi = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vỡ 2a – b + c = 0 b = 2a + c =(a; 2a + c ; c ) , từ đú ta cú: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1 pt(P) : x + y – z = 0 Bài 39. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : . Viết phương trỡnh mp(P) song song với và , sao cho khoảng cỏch từ đến (P) gấp hai lần khoảng cỏch từ đến (P). Giải. Ta cú : đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: Gọi là vtpt của mp(P), vỡ (P) song song với và nờn = [] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0 d(;(P)) = d(A ; (P)) = ; d( = d( B;(P)) = vỡ d(;(P)) = 2. d( Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0 Với m = -mp(P) : 2x + 2y + z - = 0 Bài 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Giải. Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có => HI lớn nhất khi Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm véc tơ pháp tuyến. vì H là hình chiếu của A trên d nên là véc tơ chỉ phương của d) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 ú 7x + y -5z -77 = 0 Bài 41. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1: , d2: và mặt phẳng (P): x – y – z = 0. Tỡm tọa độ hai điểm M, Nsao cho MN song song (P) và MN = . Giài. Theo gt : * * Bài 42. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0. Lập phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B và cú khỏang cỏch từ tõm I đến mặt phẳng (P) bằng . Giải. .(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 cú tõm I(-a ; -b ; -c) , R = . O, A, B thuộc (S) ta cú : d = 0 , a = -1, c = -2 d(I, (P)) = b = 0 , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = 0 b = 5 , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = 0 Bài 43. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = 0 một gúc 600. Giải. Mp(P) chứa trục Oz nờn cú dạng Ax + By = 0, và . Theo gt: Chọn B = 1 ta cú : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy cú hai mặt phẳng (P) cần tỡm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0. Bài 44. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Xỏc định a, b, c để khỏang cỏch từ O đến mp(ABC) lớn nhất. Giải. Pt mp(ABC): Theo bất đẳng thức Cụsi : và 3 = a2 + b2 + c2 Ta cú : Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1 Vậy d lớn nhất bắng khi a = b = c = 1 Bài 45. Trong khụng gian tọa độ cho cỏc điểm và đường thẳng Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc đường thẳng đi qua điểm A và cắt mặt phẳng theo một đường trũn sao cho bỏn kớnh đường trũn nhỏ nhất. Giải. Ta cú Suy ra pt Gọi tõm mặt cầu . Khi đú bỏn kớnh đường trũn là Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đú Suy ra pt mặt cầu Bài 46. Trong khụng gian tọa độ cho điểm đường thẳng và mặt phẳng Tỡm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng biết đường thẳng vuụng gúc với và khoảng cỏch từ điểm A đến đường thẳng bằng Giải. Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuụng gúc với . Khi đú pt Ta cú Từ giả thiết suy ra A thuộc giao tuyến d của (P) và (Q). Khi đú và nờn pt của . Vỡ suy ra Gọi H là giao điểm của và mặt phẳng (Q). Suy ra Ta cú . Suy ra hoặc Bài 47. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Giải. + Ta cú: Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của AB, AC là: + Vecto phỏp tuyến của mp(ABC) là Suy ra (ABC): . + Giải hệ: . Suy ra tõm đường trũn là Bỏn kớnh là Bài 48. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: và . Tỡm tọa độ cỏc điểm M thuộc và N thuộc sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng độ dài đoạn MN bằng . Giải. + nờn ta giả sử . + MN song song mp(P) nờn: . + Ta cú: . + Suy ra: hoặc . + Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trờn khụng cú trường hợp nào KL: Vậy cú hai cặp M, N như trờn thoả món. Bài 49. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : . Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) vuụng gúc với đường thẳng a : và cắt mặt cầu (S) theo đường trũn cú bỏn kớnh bằng 2 . Giải. . (S) cú tõm bỏn kớnh R = 3 + đt a cú vtcp , (P) vuụng gúc với đt a nờn (P) nhận làm vtpt Pt mp (P) cú dạng : + (P) cắt (S) theo đường trũn cú bk r = 2 nờn d( J , (P) ) = nờn ta cú : 0,25 KL : Cú 2 mặt phẳng : (P1) : và (P2) : Bài 50. .Trong Khụng gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng và điểm Tỡm tọa độ cỏc điểm E và F thuộc đường thẳng để tam giỏc AEF là tam giỏc đều. Giải. + Đường thẳng và cú vtcp ; + Khoảng cỏch từ A đến là AH = + Tam giỏc AEF đều .Vậy E , F thuộc mặt cầu tõm A , BK R = và đường thẳng , nờn tọa độ E , F là nghiệm của hệ : t = suy ra tọa độ E và F là : Bài 51. Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; 1; 2) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh:. Gọi A’là hỡnh chiờỳ của A lờn mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh của đường trũn (C) là giao của (P) và (S). Giải. Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) Giả sử phương trỡnh mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là: Vỡ nờn ta cú hệ: Vậy mặt cầu ( S) cú phương trỡnh: (S) cú tõm , bỏn kớnh +) Gọi H là hỡnh chiếu của I lờn (P). H là tõm của đường trũn ( C) +) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuụng gúc với (P). (d) cú vectơ chỉ phương là: Suy ra phương trỡnh của d: Do nờn: , (C) cú bỏn kớnh Bài 52. Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho và đường thẳng , điểm A( -2; 3; 4). Gọi D là đường thẳng nằm trờn (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuụng gúc với d. Tỡm trờn D điểm M sao cho khoảng cỏch AM ngắn nhất. Giải. Chuyển phương trỡnh d về dạng tham số ta được: Gọi I là giao điểm của (d) và (P) Do * (d) cú vectơ chỉ phương là , mp( P) cú vectơ phỏp tuyến là . Gọi là vectơ chỉ phương của . Vỡ , AM ngắn nhất . Vậy Bài 53. Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu . Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) song song với giỏ của vộc tơ , vuụng gúc với mặt phẳngvà tiếp xỳc với (S). Giải. Ta cú mặt cầu (S) cú tõm I(1;-3;2) và bỏn kớnh R=4 Vộc tơ phỏp tuyến của là Vỡ và song song với giỏ của nờn nhận vộc tơ làm vtpt. Do đú (P):2x-y+2z+m=0 Vỡ (P) tiếp xỳc với (S) nờn Vậy cú hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. Bài 54. Trong khụng gian tọa độ cho hai điểm , . Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua trực tõmcủa tam giỏc và vuụng gúc với mặt phẳng . Tỡm tọa độ điểm trờn mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.(O là gốc hệ trục toạ độ) Giải. mặt phẳng là trực tõm tam giỏc OAB nờn : Với mọi điểm ta đều cú: Chọn là trung điểm nờn khụng đổi nờn nhỏ nhất khi ngắn nhất khi đú là hỡnh chiếu của trờn mặt phẳng Vậy Bài 55. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :  ;d2: và d3: . Chứng tỏ rằng là hai đường thẳng chộo nhau,tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng .Viết phương trỡnh đường thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại cỏc điểm A, B, C sao cho AB = BC. Giải. +)Đường thẳng suy ra đi qua điểm A(0;4;-1) và cú một vtcp .Đường thẳng d2: suy ra đi qua điểm B(0;2;0) và cú một vtcp .Ta cú và suy ra .Vậy và là hai đường thẳng chộo nhau. Khoảng cỏch giữa và là : +)Xột ba điểm A, B, C lần lượt nằm trờn ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta cú A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) A, B, C thẳng hàng và AB = BC B là trung điểm của AC Giải hệ trờn được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng D đi qua A, B, C cú phương trỡnh