Giáo án lớp 12 môn Hình học - Các bài tập về hình học không gian tổng hợp giải bằng phương pháp toạ độ

CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẦN I: TỨ DIỆN CÁC BÀI TOÁN ĐINH LƯỢNG. Bài 1 ( KD 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4, AB = 3, BC = 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = b, OC = c. Trong tứ diện OABC vẽ nội tiếp một hình lập phương sao cho một đỉnh trùng với O còn đỉnh đối diện thuộc mặt phẳng (ABC). Tính độ dài cạnh hình lập phương. Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Biết tam giác HBC vuông tại H và HA = m. Tính: 1) Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (ABC). 2) Góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mp’(ABC). Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = b, OC = c. 1) Tính cosin của các góc của ABC. Chứng tỏ ABC nhọn. 2) Gọi G là trọng tâm của ABC, tính OG. 3) Gọi (PA), (PB), (PC) theo thứ tự là mặt phẳng chứa OA, OB, OC và phân giác trong của các góc A, B, C của tam giác ABC.(PA), (PB), (PC) theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P. Tính thể tích của tứ diện OMNP. Bài 5. Cạnh huyền BC của tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P), các cạnh góc vuông lập với mặt phẳng (P) các góc . Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và mp’(ABC). Bài 6. ( KA 2000) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = a, OC = c. Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của BC. (P) là mặt phẳng qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. 1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE. 2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P). 3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P). B. CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH. Bài 1. ( ĐH 2001 ) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC. Trên các nửa đường thẳng AA1, MM1 vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH NI. Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = b, OC = c. 1) Chứng minh rằng: a2tanA = b2tanB = c2tanC. 2) Giả sử c = a + b. Chứng minh rằng: OCA + OCB + BCA = 900. Bài 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một . Gọi lần lượt là góc hợp bởi OA, OB, OC. 1) Chứng minh rằng: 2) M là điểm bất kì thuộc đáy ABC. Chứng minh rằng: Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một , thoả mãn AC = 2OB, BC = 2OA. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của O lên AC, BC. I là trung điểm BC. Chứng minh rằng: 1) cosMON = . 2) . C. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ. Bài 1. Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 2. Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB =b, OC = c với a ≤ b ≤ c. Một đường thẳng thay đổi nhưng luôn qua O, gọi d là tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của d. Bài3. Cho ba tia ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một, N là điểm nằm trong phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (oxy), (oyz), (ozx), mặt phẳng (P) qua N cắt ox, oy, oz theo thứ tự tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ N đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là a, b, c. 1) Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. D. CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP. Bà1. Cho ba tia ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn bán kính R luôn tiếp xúc với các mặt phẳng (oxy), (oyz), (ozx). Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi (S) là mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó. Mặt phẳng (P) quay xunh quanh điểm A tiếp xúc với (S) và cắt 2 cạnh A’B’, A’D’ theo thứ tự ở R, T. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’ RT.