Giáo án lớp 12 môn Hình học - Chương III: Đường tròn

Chương III ĐƯỜNG TRÒN q TRẮC NGHIỆM 1: I. CÂU HỎI: (Phương trình đường tròn. Các tính chất của họ đường tròn) Ghi chú: Học sinh không được dùng thước kẻ và compa khi làm bài. 1. Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn : 2x2 + 2y2 – 3x + 4y – 1 = 0 a. I ; R = b. I , R = c. I , R = d. I , R = e. Một đáp án khác. 2. Có bao nhiêu số nguyên m để: x2 + y2 – 2 (m + 1)x + 2my + 3m2 + 6m – 12 = 0 là phương trình một đường tròn a) 5 b) 7 c) 9 d) không có e) vô số 3. Cho điểm M di động có tọa độ : M di động trên đường tròn : a) Tâm (2; -1), bán kính 1 b) tâm (3; -1), bán kính 1 c) tâm (3; -1), bán kính 2 d) tâm (-3; 1), bán kính 2 e) một đáp số khác 4. Cho A (1, 1) và B (2, 3), tập hợp các điểm M sao cho: 3MA2 – 2MB2 = 6 là một đường tròn, bán kính của nó là : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5. Khi viết phương trình đường tròn tâm I (-3; 2) và tiếp xúc với D : 2x + y + 14 = 0 dưới dạng x2 + y2 + px + qy + r = 0, thì p + q + r = a) –5 b) – 6 c) –8 d) 2 e) một đáp số khác 6. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A (-3; 1), B (5; 7) là : a) x2 + y2 + 2x + 8y - 8 = 0 b) x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 c) x2 + y2 - 2x - 8y - 8 = 0 d) x2 + y2 + 2x - 8y - 8 = 0 e) một đáp số khác 7. Phương trình đường tròn có tâm I (6; 2) và tiếp xúc ngoài với đường tròn : x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0 là : a) x2 + y2 – 12x – 4y – 9 = 0 b) x2 + y2 – 6x – 2y + 31 = 0 c) x2 + y2 + 12x + 4y + 31 = 0 d) x2 + y2 – 12x – 4y + 31 = 0 e) một đáp số khác 8. Có hai đường tròn có bán kính là 10 và qua A (-3; 2) và B (1; -6). Một đường tròn có tâm là : a) (-9; -6) b) (15; 6) c) (-1; -2) d) (2; 7) e) (-7; -2) 9. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Oy tại A (0; 5) và có tâm trên đường thẳng x – 2y + 10 = 0. Nếu viết phương trình (C) dưới dạng : x2 + y2 + px + qy + t = 0, thì p + q + r = a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 10. Đường tròn qua A (1; 0), B (2; 0) và C (0; 3) có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ? a) 1,3 b) 1,4 c) 1,6 d) 1,8 e) 1,9 11. Có hai đường tròn tiếp xúc với hai trục và qua A (5; 2). Hiệu hai bán kính của chúng là : a) 14 b) 7 c) d) e) một đáp số khác 12. Gọi (C) là đường tròn có bán kính là 3, qua gốc O và từ điểm A (2; 1) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau. có hai đường tròn (C) như thế. Thế thì tổng hoành độ hai tâm bằng : a) b) –1 c) d) 1 e) · Đề bài cho các câu 13, 14, 15. Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 2 (m + 2)y + m2 + 1 = 0 (1) 13. Có hai giá trị của m để (1) là đường tròn có bán kính là 3. Tích của chúng bằng: a) - 6 b) -4 c) 0 d) 4 e) 6 14. Đường tròn (1) có tâm trên đường thẳng : 2x + y – 3 = 0 có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ? a) 6,9 b) 6,8 c) 6,7 d) 6,6 e) 6,5 15. Đường tròn (1) cắt Oy theo một dây cung có độ dài có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ? a) 7,8 b) 7,9 c) 8 d) 8,1 e) 8,2 · Đề bài cho các câu : 16, 17, 18 : Cho đường tròn (Cm) : x2 + y2 + 2mx – 2(m + 1)y – 4m – 4 = 0 16. Tâm I của (Cm) di động trên đường thẳng có phương trình : a) x – y – 1 = 0 b) x – y + 1 = 0 c) x + y – 1 = 0 d) x + y + 1 = 0 e) không đủ yếu tố xác định 17. Đường tròn (Cm) có bán kính nhỏ nhất có phương trình là : x2 + y2 + px + qy + r = 0 với p + q + r = a) 2 b) –2 c) 6 d) –6 e) 0 18. Có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng D : x + 2y + 1 = 0. Tổng bình phương các bán kính của chúng là : a) 4 b) 5 c) d) e) một đáp số khác 19. Có hai đường tròn qua hai điểm A (1; 0), B (5; 0) và tiếp xúc với đường thẳng D: x – y + 3 = 0. Đường tròn lớn có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ? a) 3 b) 7 c) 11 d) 14 e) 15 20. Có hai đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng D : 2x – y + 3 = 0 và D’ : 2x – y – 7 = 0 và đi qua gốc tọa độ O. Tổng hoành độ tâm hai đường tròn là : a) b) c) - d) e) II. ĐÁP ÁN : 1c 2c 3b 4e 5a 6c 7d 8a 9e 10e 11d 12a 13a 14b 15b 16c 17e 18d 19d 20e III. HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI : 1c. Chia hai vế cho 2 : x2 + y2 - x + 2y - = 0 : tâm I, bán kính R = 2c. Điều kiện A2 + B2 – C = (m + 1)2 + m2 – (3m2 + 6m – 12) > 0 Û m2 + 4m – 13 < 0 Û -2 - < m < -2 + , » 4,1 Vì m Ỵ Z suy ra : -6 m 2 Þ vậy m = -6, -5,,2 : có 9 số nguyên tất cả. 3b. Thay 2sin2t = 1 – cos2t, 2sintcost = sin2t, ta được : M : Û (x – 3)2 + (y + 1)2 = 1 (vì cos22t + sin22t = 1, "t) Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm | (3; -1), bán kính 1. 4e. Gọi (x; y) là tọa độ của M. ta có : 3MA2 – MB2 = 6 Û 3 [(x – 1)2 + (y – 1)2] – 2[x – 2)2 + (y – 3)2] = 6 Û x2 + y2 + 2x + 6y – 26 = 0 Vậy tập hợp là đường tròn tâm | (-1; -3), bán kính : R = 5a. Bán kính đường tròn là : R = d (|, D) = = . Phương trình cần tìm : (x +3)2 + (y – 2)2 = 20 Û x2 + y2 + 6x – 4y – 7 = 0 Þ p + q + r = 6 – 4 – 7 = - 5 6c. Đường tròn kính AB là tập hợp những điểm M (x; y) mà Û (x + 3) (x – 5) + (y – 1) (y – 7) = 0 Û x2 + y2 – 2x – 8y – 8 = 0 7d. Đường tròn cho có tâm J (2; -1), bán kính R’ = =2 Ta có : IJ = =5 Þ bán kính đường tròn (|) là : R = IJ – R’ = 3 Þ phương trình đường tròn (|) là (x – 6)2 + (y – 2)2 = 9 Û x2 + y2 – 12 – 4y + 31 = 0 8a. Gọi I(a; b) là tâm, ta có hệ : Û (1) Û a= 2b + 3 Thế vào (2), ta được : (2b + 6)2 + (b – 2)2 = 100 Û b2 + 4b – 12 = 0 Û b = -6 hay b = 2 · b = - 6 : a = -9 : tâm là (-9; -6) · b = 2 : a = 7 : tâm là (7; 2) 9e. Gọi I (a; b) là tâm, ta có : R = |a| và b = 5 (vì IA ^ Oy) Mà I Ỵ 2x – y + 10 = 0 Û 2a – b + 10 = 0 Suy ra : a = Þ R = và phương trình đường tròn là : Û x2 + y2 + 5x – 10y +25 = 0 Þ p + q + r = 5 – 10 + 25 = 20 10e. Phương trình đường tròn có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 Qua A, B, C, ta được hệ Giải, ta được : a = - , b = -, c = 2 Bán kính đường tròn là : R = = »1,9 11d. Gọi | (a; b) là tâm và R là bán kính, ta có hệ : Từ (1),suy ra : a = b hay a = -b · a = b : (2) thành : (a – 5)2 + (a – 2)2 = a2 – 14a + 29 = 0 Phương trìnhnày có hai nghiệm : a = 7 ± + , ứng với hai đường tròn cần tìm có bán kính là : R1 = |a1| = 7 + và R2 = |a2| = 7 - . Hiệu hai bán kính là . · Dĩ nhiên với a = -b thì (2) vô nghiệm. Thật vậy : (2) Û (a – 5)2 + (a + 2)2 = a2 Û a2 – 6a + 29 = 0 (VN) 12. Gọi I(a; b) là tâm : (I) qua O Û OI = R Từ A kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc Û AI = Vậy ta có hệ phương trình Lấy (1) trừ (2), ta được : b = -2a – 2 Thế vào (1) : 5a2 + 8a – 5 = 0 Phương trình này có hai nghiệm và tổng là : 13a. Ta có : R = = với m -1 R = 3 Û m2 + 4m – 6 = 0 Phương trình này có hai nghiệm và tích hai nghiệm là – 6 14b. Tâm I(m; m – 2) Ỵ đường thẳng 2x + y – 3 = 0 Û 2m – m – 2 – 3 = 0 Û m = 5 Bán kính đường tròn là R = = » 6,8 H I R M N 15b. Gọi MN là dây cung, H là trung điểm MN. Ta có : HM = MN = Û |H2 = R2 – HM2 = R2 – 27 Û m2 = m2 + 4m + 3 –27 Û m = 6 Vậy bán kính khi đó là : R = = » 7,9 Cách khác: Phương trìnhtung độ giao điểm của đường tròn (|) và Oy : y2 – 2(m + 2)y + m2 + 1 = 0 (thế x = 0 vào (1)). D’ = 4m + 3 Với m > -, phương trình có hai nghiệm : y1 = m + 2 + ; y2 = m + 2 - Þ (|) cắt Oy tại M (0; y1) và N (0; y2) và MN = |y1 – y2| = 2= 2 MN 6Û = 3Û m = 6 16c. Tọa độ tâm | : Þx + y – 1 = 0. Vậy tâm | di động trên đường thẳng có phương trình x + y – 1 = 0. 17e. Ta có : R = = Vậy min R = khi m = -, và phương trình đường tròn khi này là x2 + y2 – 3x + y + 2 = 0 Þ p + q + r = -3 + 1 + 2 = 0 18d. (I; R) tiếp xúc với D Û d (I; D) = = Û (m + 3)2 = 2(2m2 + 6m + 5) Û 3m2 + 6m + 1 = 0 Phương trình này có hai nghiệm : m1 = ; m2 = Þ (m1 + 3)2 = , R2 = (m + 3)2 = Þ Cách khác: Có thể tính bằng định lý viet như sau : m1 + m2 = -2, m1. m2 = = 19d. Gọi I(a; b) là tâm và R là bán kính ta có : (1) Û a = 3 Thế vào (2) và bình phương hai vế : (6 – b)2 = 2 (b2 + 4) Û b2 + 12b – 28 = 0 Û b = 2 hay b = -14 Với b = -14, ta có đường tròn lớn có bán kính: R = 20e. Gọi I (a; b)là tâm và R là bán kính, ta có: d (I, D) = d (I, D’) = OI = R Û (1) Û 2a – b + 3 = - (2a – b – 7) Û b = 2a - 2 Thế vào (2) và bình phương hai vế ta được: 5 = a2 + (2a – 2)2 Û 5a2 – 8a – 1 = 0 Phương trình có hai nghiệm và có tổng là qTRẮC NGHIỆM 2: I. CÂU HỎI: (Vị trí tương đối, trục đẳng phương, tiếp tuyến) Ghi chú : Học sinh không được dùng thước kẻ và compa khi làm bài 1. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn : (C) : (x – 1)2 + (y + 3)2 = 1; (C’) : tâm (-2; - 1), bán kính 3 a) 6x – 4y + 13 = 0 b) 6x + 4y – 13 = 0 c) 6x – 4y – 13 = 0 d) 2x + 4y + 13 = 0 e) một đáp số khác 2. Cho hai đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x – 4y + 1 = 0; (C’) : x2 + y2 – 4y – 2 = 0, M là điểm di động sao cho độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) gấp hai lần độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C’). Vậy M di động trên : a) đường thẳng 6x – 4y – 3 = 0 b) một đường tròn bán kính là c) một đường tròn bán kính d) một đường tròn bán kính 4 e) một đường cong khác 3. Hai đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0 và (C’) : x2 + y2 + x + y – 4 = 0 có hai giao điểm. Tích hai tung độ của chúng là : a) b) – 1 c) - d) –2 e) 2 4. Độ dài dây cung của đường tròn x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 cắt bởi đường thẳng x + y + 1 = 0 gần nhất với số nào dưới đây ? a) 5,3 b) 5,4 c) 5,5 d) 5,6 e) 5,7 5. Định m để hai đường tròn : x2 + y2 + 2mx – 1 = 0 và x2 + y2 – 8y + 15 = 0 tiếp xúc nhau. a) ± b) ± c) ± d) ± e) không có m 6. Có bao nhiệm giá trị nguyên của m để hai đường tròn : (C) : x2 + y2 – 4x = 0 và (C’) : x2 + y2 + 2y + m = 0 (m < 1) có với nhau 4 tiếp tuyến chung a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) vô số 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hai đường tròn : (C) : x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0 và (C’) : x2 + y2 – 2mx + 2y – 3m – 10 = 0 không có tiếp tuyến chung a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) vô số · Đề bài chung cho các câu 8 và 9 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 6y = 0 8. Gọi d là đường thẳng qua A (4, 2) có hệ số góc k. Biết d cắt (C) theo một dây cung có độ dài là 6. Vậy hẹ số góc k gần nhất với số nào dưới đây ? a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,9 e) 1 9. Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại M, N mà K (0, -2) là trung điểm của MN. a) 2x + y + 2 = 0 b) 2x – y – 2 = 0 c) 2x – y + 2 = 0 d) x + 2y + 4 = 0 e) một đáp số khác 10. Gọi (a) là đường tròn qua giao điểm của hai đường tròn : (C) : x2 + y2 – 4 = 0; (C’) : x2 + y2 + 2x – 2 = 0 và qua điểm A (-3; 1). Bán kính của (a) gần nhất với số nào dưới đây ? a) 1,7 b) 1,75 c) 1,8 d) 1,85 e) 2 11. Có hai đường tròn qua giao điểm của đường tròn (C) : x2 + y2 – 4y – 5 = 0 và đường thẳng D : 2x + 2y – 7 = 0, và tiếp xúc với Ox. Bán kính của đường tròn nhỏ gần nhất với số nào dưới đây ? a) 1 b) 2,5 c) 2,6 d) 2,8 e) 3 · Đề bài chung cho các câu 12, 13, 14 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 12. Lập phương trình tiếp tuyến d với (C) biết d tiếp xúc với (C) tại M (2, 1). a) 4x + 3y – 11 = 0 b) 2x + y – 11 = 0 c) 3x – 4y – 2 = 0 d) 3x + 4y – 10 = 0 e) một đáp số khác. 13. Lập phương trình tiếp tuyến d với (C) biết d đi qua điểm (3, 1). Hệ số góc của d là : a) b) - c) d) - e) một đáp số khác 14. Một phương trình tiếp tuyến d với (C) biết, d song song với D : 3x – 4y + 12 = 0. a) 4x – 3y – 27 = 0 b) 4x + 3y – 11 = 0 c) 3x – 4y + 23 = 0 d) 3x – 4y + 27 = 0 e) 3x + 4y – 27 = 0 15. Từ điểm A (5; 3) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm. a) 3x + 4y – 10 = 0 b) 3x - 4y – 10 = 0 c) 3x + 4y + 10 = 0 d) 3x – 4y + 10 = 0 e) một đáp số khác 16. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C) : x2 + y2 + 2x + 6y – 2 = 0; (C’) : x2 + y2 – 2x – 2y – 10 = 0 a) x + 2y – 3 ± = 0 b) x + 2y – 3 ± = 0 c) 2x + y – 3 ± = 0 d) 2x – y – 1 ± = 0 e) x – 2y + 1 ±= 0 17. Viết phương trình tiếp tuyến chung với hai đường tròn : (C) : x2 + y2 + 2x – 4y – 13 = 0 (C’) : x2 + y2 – 2x – 8y + 15 = 0 a) x – y + 7 = 0 b) x – y – 7 = 0 c) x + y + 7 = 0 d) x + y – 7 = 0 e) một đáp số khác 18. Cho hai đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 2; (C’) : (x + 3)2 + (y – 1)2 = 8 Tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn là : a) 2 b) c) d) e) - 19. Cho hai đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9; (C’) : (x - 7)2 + (y + 6)2 = 1 Tiếp tuyến chung ngòai và trong lần lượt cắt đường nối tâm tại A và B. Phương trình đường tròn đường kính AB là : x2 + y2 + px + qy + r = 0, với p + q + r Ỵ a) (50; 60) b) (60; 70) c) (70; 80) d) (80; 90) e) (90; 100) 20. Chứng tỏ hai đường tròn (Cm) : x2 + y2 – 2mx + 2(m – 2) y – 3 = 0 ứng với hai giá trị phân biệt của m có chung một trục đẳng phương cố định là : a) x + y – 3 = 0 b) x – y + 3 = 0 c) x + y + 3 = 0 d) x + y = 0 e) x – y = 0 II. ĐÁP ÁN : 1c 2b 3b 4d 5a 6a 7b 8e 9b 10c 11d 12a 13c 14c 15a 16d 17d 18d 19e 20e III. HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI : 1c. Phương trình đường tròn (C’) : (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9. Phương trình trục đẳng của hai đường tròn : (x – 1)2 + (y + 3)3 – 1 = (x + 2)2 + (y + 1)2 – 9 Û 6x – 4y - 13 = 0 2b. Gọi MT và MT’ lần lượt là độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) và (C’). ta có : MT = 2MT’ Û MT2 = 4MT’2 Û Û x2 + y2 – 6x – 4y + 1 = 4 (x2 + y2 – 4y – 2) Û 3x2 + 3y2 + 6x – 12y – 9 = 0 Û x2 + y2 + 2x – 4y –3 = 0 Vậy M di động trên một đường tròn có bán kính = 3b. Tọa độ điểm chung thỏa hệ : (1) – (2) : -3x + 3y + 3 = 0 Û x = y + 1 Thế vào (2) : (y + 1)2 + y2 + 2y – 3 = 0 Û 2y2 + 4y – 2 = 0 Phương trình có hai nghiệm và tích của chúng là –1 N H M I R 4d. Đường tròn có tâm |(-1; 2), bán kính R = Khoảng cách IH từ I tới đường thẳng : IH = Gọi MN là dây cung, H là trung điểm của MN Ta có : MN = 2MH = = » 5,64 5a. Đường tròn (C) có tâm I(-m; 0), bán kính R = Đường tròn (C’) có tâm I’ (0; 4), bán kính R’ = 1 Ta có II’ = > R, R’, do đó hai đường tròn chỉ có thể tiếp xúc ngoài. Khi : II’ = R + R’ Û = +1 Û m2 + 16 = m2 + 2 + (bình phương hai vế) Û 7 = Û m2 = 48 Û m = ± 6a. (C) có tâm I (2; 0), bán kính R = 2 (C’) có tâm I’ (0; -1), bán kính R’ = YCBT Û (C) và (C’) ở ngoài nhau II’ > R + R’ Û > 2 + Û Û 0 < 1 – m <9 - Û -8 + <m < 1 với –8 + » 0,94 Vậy không có số nguyên m nào để (C) và (C’) tiếp xúc nhai. 7b. (C) có tâm | (-1; 1) bán kính R = 1 (C’) có tâm |’ (m; -1), bán kính R’ = (C), (C’) không có tiếp tuyến chung Û (C), (C’) ở trong nhau Û II’ < |R – R’| Û Û m2 + 2m + 5 < m2 + 3m + 12 - Û Û Û Vì m Ỵ Z nên m = 0 hay m = 1 : có 2 giá trị nguyên của m. 8e. Đường tròn (C) có tâm I (2; -3), bán kính R = Gọi IH là khoảng cách từ I tới đường thẳng, ta có : = Đường thẳng cần tìm qua A (4; 2) có phương trình dạng : kx – y – 4k + 2 = 0 và cách tâm I (2; -3) một khoảng là 2 (k : hệ số góc) Ta có : =2Û (5 – 2k2) = 4(k2 +4 )2 = 4 (k2 + 1) Û 9b. Vì K là trung điểm của dây cung MN nên đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua K (0; -2) và vuông góc với = (-2; 1), có phương trình là : -2 (x – 0) + 1 (y + 2) = 0 Û 2x – y – 2 = 0 10c. Phương trình đường tròn có dạng : m (x2 + y2 – 4) + n (x2 + y2 + 2x – 2) = 0 Đường tròn này qua A (-3; 1), cho ta : 6m + 2n = 0 Û n = -3m Chọn m = 1 : n = -3, và phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 3x – 1 = 0 Đường tròn này có bán kính là : »1,80 11d. Phương trình đường tròn cần tìm có dạng : x2 + y2 – 4y – 5 + m (2x + 2y – 7) = 0 Û x2 + y2 + 2mx + 2 (m – 2) y – 7m – 5 = 0 Phương trình hoành độ giao điểm của đường tròn và trục Ox : x2 + 2mx – 7m – 5 = 0 (cho y = 0) YCBT Û D’ = m2 + 7m + 5 = 0 Û m Bán kính đường tròn là R = |m – 2| Û Bán kính nhỏ là 12a. Tâm I(-2; -2), bán kính R = 5 d ^ = (4; 3) tại M (2; 1) có phương trình là : 4(x – 2) + 3 (y – 1) = 0 Û 4x + 3y – 11 = 0 13c. Phương trình d qua (3; 1) có hệ số góc k : kx – y – 3k + 1 + 0 d tiếp xúc (C) Û Û (-5k + 3)2 = 25 (k2 + 1) Û k = * Nhận xét : Nếu xét cả đường thẳng d : x = 3 (không có hệ số góc), ta thấy ngay d (I, d) = R = 5 Þ x = 3 là tiếp tuyến thứ hai. 14c. Phương trình d dạng : 3x – 4y + m = 0 (m ¹ 12) I A d tiếp xúc (C) Û d (|, d) = R Û Û m = 23 hay m = -27 15a. (C) có tâm | (2; -1), bán kính R = = Phương trình đường tròn đường kính A| : (x – 5) (x – 2) + (y – 3) (y + 1) = 0 Û x2 + y2 – 7x – 2y + 7 = 0 Đường thẳng qua hai tiếp điểm chính là trục đẳng phương của đường tròn (C) và đường tròn đường kính A|, do đó có phương trình là : Û x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = x2 + y2 – 7x – 2y + 7 Û 3x + 4y – 10 = 0 16d. (C) có tâm I(-1; -3), bán kính R = (C’) có tâm I’(1; 1), bán kính R’ = II’ = Þ IR = R’I < II’ < R + R’ Þ (C) và (C’) cắt nhau và bằng nhau. Þ tiếp tuyến chung (t) có VTCP là = (2; 4) = 2 (1; 2), nên phương trình thuộc dạng : 2x – y + m = 0 Ta lại có : d (I, (t)) = R Û = Û m = -1 ± Phương trình tiếp tuyến chung (t) là : 2x – y – 1 ± = 0 17d. (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = (C’) có tâm I’(1; 4), bán kính R’ = II’ = Þ II’ = R – R’ Þ (C) và (C’) tiếp xúc trong Þ (C) và (C’) có một tiếp tuyến chung duy nhất cũng là trục đẳng phương của chúng có phương trình là : x2 + y2 + 2x – 4y – 13 = x2 + y2 – 2x – 8y + 5 Û x + y – 7 = 0 18d. (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = (C’) có tâm I’(-3; 1), bán kính R’ = Gọi (t) : ax + y + b = 0 là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, ta có : ((2) Û I, I’ cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là (t)) Û -3a + 1 + b = 2(a – 2 + b) Û b = -5a + 5 Thế vào (1) : = Û (3 – 4a)2 = 2 (a2 + 1) Û 14a2 – 24a + 7 = 0 Phương trình này có hai nghiệm và tích hai nghiệm là A I’ I B 19e. (C) có tâm I(-1; 2), R = 3 (C’) có tâm I’ (7; -6), R = 1 Ta có A và B lần lượt là điểm chia II’ theo tỉ số = 3 và - = -3, nên tọa độ là : Vậy A = (11; -10), B = (5; -4) Phương trình đường tròn đường kính AB là: (x – 11) (x – 5) + (y + 10) (y + 4) Û x2 + y2 – 16x + 14y + 95 = 0 Þ p + q + r = -16 + 14 + 95 = 93 20e. Gọi (Cm) và (Cm’) là hai đường tròn ứng với giá trị m ¹ m’. Phương trình tục đẳng phương của chúng là : x2 + y2 – 2mx + 2 (m – 2) y – 3 = x2 + y2 – 2m’x + 2 (m’ –2) y – 3 Û 2 (m – m’) x – 2 (m – m’) y = 0 Û x – y = 0 (chia hai vế cho m – m’ ¹ 0) Đây là phương trình trục đẳng phương cố định cần tìm