Giáo án lớp 12 môn hình học - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian - BÀI 1. Hệ tọa độ trong không gian - Hệ toạ độ trong không gian - Phương trình mặt phẳng - Phương trình đường thẳng Trụ sở của Liên Hiệp Quốc tại Niu Oóc (New York) BÀI 1. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trái Đất và Trạm vũ trụ ISS (Intermational Space Station) trong không gian I. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTO 1. Hệ toạ độ Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ toạ độ Oxyz (h.3.1). Hình 3.1 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.1.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Điểm O được gọi là gốc toạ độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. Vì là ba vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: 1 Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz. 2. Toạ độ của một điểm Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Vì ba vecto không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x ; y ; z) duy nhất sao cho: Hình 3.2 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.2.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Ngược lại, với bộ ba số (x ; y ; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn hệ thức . Ta gọi bộ ba số (x ; y ; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết : M = (x ; y ; z) hoặc M(x ; y ; z) 3. Toạ độ của vecto Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số sao cho . Ta gọi bộ ba số đó là toạ độ của vecto đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước và viết : hoặc . Nhận xét. Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M chính là toạ độ của vecto . Ta có: M = (x ; y ; z) . 2 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng phương với và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các vecto với M là trung điểm của cạnh C’D’. II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO Định lí Chứng minh Chứng minh tương tự cho trường hợp b) và c). Hệ quả III – TÍCH VÔ HƯỚNG 1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Định lí Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto được xác định bởi công thức Chứng minh 2. Ứng dụng a) Độ dài của một vecto. Cho vecto . b) Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA,yA,zA)và B(xB,yB,zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto . Do đó ta có: IV – PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định lí Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; c) bán kính r có phương trình là: Chứng minh Gọi M(x ; y ; z) là một điểm thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r (h.3.3) Khi đó : Do đó (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 là phương trình của mặt cầu (S). Hình 3.3 Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.3.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) 4 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1 ; - 2 ; 3) có bán kính r = 5. Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 - r2 Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 - D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) có bán kính . Ví dụ. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình : x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z + 5 = 0 Giải Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z + 3)2 = 32 Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = (-2; 1 ; -3), bán kính r = 3. BÀI TẬP Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz. 2. Cho ba điểm A = (1 ; - 1 ; 1), B = (0 ; 1; 2), C = (1 ; 0 ; 1) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A = (1 ; 0 ; 1), B = (2; 1; 2), D = (1 ; - 1 ; 1), C’ = (4 ; 5 ; -5). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp. 4. Tính 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây : a) x2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0 b) 3x2 + 3y2 + 3z2 - 16x + 8y + 15z - 3 = 0 6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: a) Có đường kính AB với A = (4 ; - 3 ; 7), B = (2 ; 1; 3) b) Đi qua điểm A = (5 ; - 2 ; 1) và có tâm C = (3 ; - 3 ; 1) Toán 12 - Chương III - Bài 2. Phương trình mặt phẳng. Trong hình học không gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng, chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, ... . Bây giờ ta sẽ xác định mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ. I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Định nghĩa Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của . Chú ý. Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì với , cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó. Bài toán Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và hai vectơ không cùng phương vectơ = (a1; a2; a3), = (b1; b2; b3) có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng . Chứng minh rằng mặt phẳng nhận vectơ: = a2b3 - a3b2; a3b1 - a1b3; a1b2 - a2b1 làm vectơ pháp tuyến. Giải: Ta có: Vậy vectơ vuông góc với cả hai vecto và , có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng . (h.3.4). Suy ra giá của vuông góc với mặt phẳng . Vì , không cùng phương nên các toạ độ của không đồng thời bằng 0, suy ra . Do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.4.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Vectơ xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và , kí hiệu là hoặc . ?1. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2 ; -1 ; 3), B(4 ; 0 ; 1), C(-10 ; 5 ; 3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Bài toán 1 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và nhận (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y ; z) thuộc mặt phẳng là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Giải: Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.5.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Bài toán 2 Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thoả mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận vectơ = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Giải: Ta lấy điểm M0(x0, y0, z0) sao cho Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (chẳng hạn nếu A0 thì ta lấy x0 = - D/A; y0 = z0 = 0). Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M0 và nhận = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Ta có: A(x -x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 vì D = - (Ax0 + By0 + Cz0). Từ hai bài toán trên ta có định nghĩa sau: 1. Định nghĩa Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng không, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét: a) Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là = (A; B; C). b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0, y0, z0) nhận vectơ = (A; B; C) khác làm vectơ pháp tuyến là A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0). ?2. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : 4x – 2y – 6z + 7 = 0. ?3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1 ; 1 ; 1), N(4 ; 3; 2), P(5 ; 2 ; 1). 2. Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng :Ax + By + Cz + D = 0 (1) a) Nếu D = 0 thì gốc toạ độ O có toạ độ thoả mãn phương trình của mặt phẳng . Vậy đi qua gốc toạ độ O (h.3.6). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.6.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. b) Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A = 0 thì mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là = (A; B; C). Ta có . Do là vectơ chỉ phương của Ox nên ta suy ra song song hoặc chứa trục Ox (h.3.7a). Tải trực tiếp tệp hình học động bên trái ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.7a.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động giữa ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.7b.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động bên phải ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.7c.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ?4. Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng có đặc điểm gì? c) Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, ví dụ A = B = 0 và C ≠ 0 thì từ trường hợp b) ta suy ra mặt phẳng song song với Ox và Oy hoặc chứa Ox và Oy. Vậy song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) (h.3.8a). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.8a.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.8b.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.8c.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ?5. Nếu A = C = 0 và B0 hoặc nếu B = C = 0 và A0 thì mặt phẳng có đặc điểm gì? Nhận xét: Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì bằng cách đặt a = - D/A, b = - D/B, c = - D/C, ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau đây: Khi đó mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ là (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0 ; c). Người ta còn gọi phương trình (2) là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn (h.3.9). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.9.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(1 ; 0 ; 0), N(0 ; 2 ; 0), P(0 ; 0 ; 3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP). Giải: Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (MNP) là: III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc ?. Cho hai mặt phẳng và có phương trình: : x – 2y + 3z + 1 = 0 : 2x – 4y + 6z + 1 = 0 Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng? Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng và có phương trình: :A1x + B1y + C1z + D1 = 0 :A2x B2y + C2z + D2 = 0 Khi đó và có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là: = (A1; B1; C1) = (A2; B2; C2) Ta xét điều kiện để hai mặt phẳng và song song hoặc vuông góc với nhau. 1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.10.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Ta nhận thấy hai mặt phẳng và song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến và của chúng cùng phương (h.3.10). Khi đó ta có: . Nếu D1 = kD2 thì ta có trùng với . Nếu D1 ≠ kD2 thì song song với . Vậy suy ra: Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.11.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng : 2x – 3y + z + 5 = 0. Giải: Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có vectơ pháp tuyến = (2; -3; 1). Mặt phẳng đi qua điểm M(1 ; -2 ; 3), vậy có phương trình: 2(x – 1) – 3(y + 2) 1(z – 3) = 0 hay 2x – 3y + z – 11 = 0. 2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.12.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Ta nhận thấy hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến và tương ứng của chúng vuông góc với nhau (h.3.12). Vậy ta có điều kiện: Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3 ; 1 ; -1). B(2 ; - 1; 4) và vuông góc với mặt phẳng có phương trình: 2x – y + 3z – 1 = 0. Giải: Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên là: Do đó mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến: Vậy phương trình của là: –1 (x – 3) + 13(y – 1) + 5(z + 1) = 0 x – 13y – 5z + 5 = 0 IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Định lí Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0; y0; z0). Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính theo công thức: Chứng minh: Gọi M1(x1; y1; z1) là hình chiếu vuông góc của M0 trên (h.3.13). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.13.cg3 Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm M(1 ; -2 ; 13) đến mặt phẳng : 2x – 2y – z + 3 = 0. Giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên ta có: Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và (β) cho bởi các phương trình sau đây: : x + 2y + 2z + 11 = 0 : x + 2y + 2z + 2 = 0. Giải: Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. Ta lấy điểm M(0 ; 0 ; -1) thuộc , kí hiệu d(, ) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và, ta có: ?7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và (β) cho bởi phương trình sau đây: : x – 2 = 0 : x – 8 = 0. Bài tập Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz. 1. Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm M(1 ; -2 ; 4) và nhận = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến; b) Đi qua điểm A(0 ; -1; 2) và song song với giá của mỗi vectơ ; 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; 3; 7), B(4 ; 1 3). 3. a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2 ; 6 ; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ. 4. Lập phương trình của mặt phẳng: a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1; 2) b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4; -3) c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4; 7) 5. Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ;4 ), D(4 ; 0 ; 6). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD) b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. 6. Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2 ; - 1; 2) và song song với mặt phẳng : 2x – y + 3z + 4 = 0. 7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1 ; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng : 2x – y + z – 7 = 0. 8. Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 = 0; b) 3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0. 9. Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; - 3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) 2x – y + 2z – 9 = 0; b) 12x – 5z + 5 = 0; c) x = 0. 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên. Chương III - BÀI 3. Phương trình đường thẳng trong không gian Ta đã biết trong hệ trục toạ độ Oxy phương trình tham số của đường thẳng có dạng Như vậy trong không gian Oxyz phương trình của đường thẳng có dạng như thế nào? (h.3.14b). Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.14a.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.14b.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) I – PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1 Trong không gian Oxyz cho điểm M0(1;2;3) và gau đuển M1 (1+t ; 2+t ; 3+t), M2(1+2t ; 2+2t ; 3+2t) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm M0, M1, M2 luôn thẳng hàng. Định lí Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểmM0 (x0; y0 ; z0 ) và nhận làm vecto chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x ; y ; z) nằm trên là một số thực t sao cho Chứng minh Định nghĩa Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0 (x0; y0 ; z0 ) và có vecto chỉ phương là phương trình có dạng trong đó t là tham số. Chú ý. Nếu a1;a2;a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng dưới dạng chính tắc như sau: Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0 (1;2;3) và có vecto chỉ phương là Giải Phương trình tham số của là : Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1 ; -2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0). Giải Giải Hãy tìm toạ độ của một điểm M trên và toạ độ một vecto chỉ phương của . II – ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 3 Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số lần lượt là a) Hãy chứng tỏ điểm M(1 ; 2 ; 3) là điểm chung của d và d’ ; b) Hãy chứng tỏ d và d’ có hai vecto chỉ phương không cùng phương. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d, d’ có phương trình tham số lần lượt là Sau đây ta xét vị trí tương đối giữa d và d’, nghĩa là xét điều kiện để d và d’ song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. 1. Điều kiện để hai đường thẳng song song Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.15.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Ta có : Giải 2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t’ sau có đúng một nghiệm. Chú ý. Giả sử hệ (1) có nghiệm t0t0, để tìm giao điểm M0¬ của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t0 vào phương trình tham số của d’. Ví dụ 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau: Từ (1) và (2) suy ra t = -1 và t’ = 1. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thoả mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là t = -1, t’ = 1. Suy ra d cắt d’ tại điểm M(0 ; -1 ; 4). 3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ phương trình Giải Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.16.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Giải Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.17a.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.17b.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L12cb_Ch3_h3.17c.cg3 Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe ) - Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt tại điểmM0 (x0+t0a1; y0+t0a2; z0+t0a3) (h.3.17b) BÀI TẬP 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: lần lượt trên các mặt phẳng sau: a) (Oxy); b) (Oyz). 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: 4. Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau 5. Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trong các trường hợp sau: a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng . b) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng . 8. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng : x + y + z - 1 = 0. a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng 9. Cho hai đường thẳng Chứng minh d và d’ chéo nhau. 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C). Ôn tập cuối năm 1. Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’, O và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của OO’ và cắt các cạnh bên của lăng trụ. Chứng minh rằng (P) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau. 2. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của (H). 13. Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó. 1a) Tính thể tích của hình nón theo r và h 1b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất 14. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; 2 ; -1), B(7; -2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình: 1 1a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng 1b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất 15. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. 1a) Tính thể tích tứ diện ABCD 1b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 16. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 = 4a2 (a > 0) 1a) Tính diện tích mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng. 1b) Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). 1c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao là . Tính thể tích của khối trụ tương ứng. 17. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình 1 1a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau 1b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và song song với d2. 18. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3). 1a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng 1b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC). 1c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 1d) Tính thể tích tứ diện ABCD. 19. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4 ; 3), D(2 ; 2 ; -1). 1a) Chứng minh rằng ca