Giáo án lớp 12 môn Hình học - Chuyên đề : hình chóp

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH CHÓP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA: Cho đa giác lồi và điểm S ở ngoài mặt phẳng chứa đa giác. Hình giới hạn bởi n tam giác gọi là hình chóp. Kí hiệu . *Cho hìh chóp S.ABCD như hình vẽ: S là đỉnh, ABCD là đáy. SA,SB là cạnh bên Các tam giác SAB, SBC là mặt bên Các tam giác SAC, SBD là mặt chéo. H là chân đường cao h= SH là chiều cao là góc của SA với đáy góc của mặt bên SAB với đáy Diện tích xung quanh là tổng diện tích các mặt bên. Diện tích tòan phần = Diện tích xung quanh + Diện tích đáy. Thể tích: ; B diện tích đáy, h chiều cao. HÌNH CHÓP ĐỀU: Định nghĩa:Hình chóp đều là hình chóp có: đáy là một đa giác đều, chân đường cao là tâm mặt đáy. Tính chất: Các cạnh bên bằng nhau và hợp với đáy một góc bằng nhau. Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau. Các góc ở đỉnh bằng nhau. Chiều cao là khoảng cách từ đỉnh đến tâm Các khoảng cách từ đỉnh đến cạnh đáy bằng nhau gọi là trung đoạn Mặt cầu ngoại tiếp có tâm nằm trên đường cao ; p là chu vi đáy, d là trung đoạn. HÌNH CHÓP CỤT: Định nghĩa:Hình chóp cụt là phần của hình chóp được giới hạn bởi đáy và một thiết diện song song với đáy. Tính chất: Hai đáy là hai đa giác đồng dạng Các cạnh bên đồng qui Khoảng cách giữa hai đáy gọi là chiều cao Sxq tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + diện tích 2 mặt đáy. ; B,B’ là diện tích đáy, h là chiều cao. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU: Định nghĩa:Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt được cắt từ hình chóp đều. Tính chất: Hai đáy là hai đa giác đều Các cạnh bên đồng qui Khoảng cách giữa tâm hai đáy gọi là chiều cao Các cạnh bên bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau. Chiều cao của mặt bên goi là trung đoạn của hình chóp đều Sxq = tích số mặt bên với diện tích một mặt bên. Hình chóp cụt đều thường gặp: TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA HAI TỨ DIỆN: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lấy các điểm A’, B’, C’ tùy ý. Ta có: MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP: Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu ở trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó. Tâm là điểm cách đều tất cả các mặt bên và đáy , bán kính là khoảng cách từ tâm đến một trong các mặt ấy. Tứ diện luôn có mặt cầu nội tiếp, các hình chóp khác có thể không có mặt cầu nội tiếp. Tâm mặt cầu nội tiếp (nếu có) là giao điểm các mặt phân giác của các nhị diện hợp bởi các mặt bên và đáy. Bán kính: B.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Hình chóp đều. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b hợp với đáy một góc . a.Tính thể tích của hình chóp. b.Tính diện tích xung quanh của hình chóp đó. GIẢI a.Gọi H là tâm của tam giác đều ABC, SA = b. SH là đường cao nên HA là hình chiếu của SA lên (ABC). Do đó: Ta có: Trong tam giác SAH: Vì H là tâm nên: Thay SH và BC vào V ta được: b.Ta có: Xét tam giác vuông SBI: Vậy Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên là a, góc ở đáy của mặt bên là . Chứng minh: GIẢI Gọi SH, SI lần lượt là đường cao, trung đoạn của hình chóp. Theo giả thiết ta có: . Công thức: . Xét tam giác vuông SBI: Trong tam giác vuông SBH: Thay giá trị BC và SH vào V ta được: Vậy: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc của đường cao và mặt bên là , trung đoạn có độ dài là d. Chứng minh : GIẢI Gọi SH, SI lần lượt là đường cao, trung đoạn của hình chóp. Dựng tại E ta có: Suy ra: SE là hình chiếu của SH lên (SBC). Do đó: . Ta có : Trong tam giác vuông SHI: Thay vào : Mặt khác: Vậy : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng l, mặt bên hợp với đáy một góc . a.Tính thể tích của hình chóp. b.Chứng minh rằng: . Với giá trị nào của thì dấu đẳng thức xảy ra? GIẢI a. Gọi SH, SI lần lượt là đường cao, trung đoạn của hình chóp. Ta có: . Đặt BC = a. . Trong tam giác vuông SHI: Trong tam giác vuông SHB: Từ đó suy ra: Vậy: b. Ta có: . Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy: Vậy: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: Bài tập tương tự: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy là a, góc ASB là . Gọi O là tâm của mặt đáy. a.Tính diện tích xung quanh của hình chóp. b.Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng c.Xác định góc để O là tâm của hình cầu ngoại tiếp tam giác. (Đáp số: ) Một hình chóp tam giác đều có trung đoạn là d, góc của mặt bên và đáy là . Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp là: Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy *Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó là đường cao của hình chóp. *Nếu hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một góc và hợp với mặt bên SAB một góc . a.Chứng minh rằng: . b.Tính thể tích hình chóp S.ABCD. GIẢI a.Ta có : AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) nên góc Do đó: SB là hình chiếu của SC lên (SAB) nên Tam giác SAC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại B, ta có: Trong tam giác vuông ABC ta có: Từ (1) và (2) cho ta: b. Ta có: Do đó: Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên SAB, SAD vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 1200. a.Chứng minh hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. b.Tính diện tích xung quanh của hình chóp SABCD. c.Tính thể tích hình chóp S.BCD, từ đó suy ra khoảng cách từ D đến (SBC). GIẢI a.Ta có: Do đó AB là hình chiếu của SB lên (ABCD) và AD là hình chiếu của SD lên (ABCD) nên SB=SD. Vậy hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. b.Ta có : Tam giác SAB vuông tại A nên: Theo tính chất của hình thoi ta có AC là phân giác của góc DAB nên ; AB=BC nên tam giác ABC đều. Gọi I là trung điểm của cạnh BC thì: Xét tam giác vuông SAI: c.Ta có: Vậy : Mặt khác trong tứ diện SBCD ta chọn D làm đỉnh, SBC làm đáy thì: Bài tập tương tự: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, chiều cao SA = h ; hai mặt bên SBC và SCD lấn lượt tạo với đáy các góc: .Tính thể tích của hình chóp.(Đáp số: ) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC vuông tại A, B là chận đường cao hình chóp. a.Chứng minh các mặt bên cuả hình chóp là các tam giác vuông và: b.Biết SB = h, và góc nhị diện cạnh AC là . Tính thể tích hình chóp theo h, . (Đáp số: ) Cho tứ diện SABC với các mặt SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương ứng là: . Hãy tính thể tích của tứ diện ấy. (Đáp số: ) * Hướng dẫn: Chứng minh SA, SB, SC đôi một vuông góc.