Giáo án lớp 12 môn Hình học - Chuyên đề về thể tích

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh . Từ A kẻ và . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? Phân tích - tìm lời giải AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC Tính đường cao: vuông tại B nên Giả thiết cho : AD là đường cao trong tam giác SAB Mặt khác : Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có: = Diện tích tam giác ADE: DE = = S = = = Thể tích: V = = Xét một cách giải khác như sau: DE (SAB) BC (SAB) => DE // BC Pytago trong các tam giác vuông: SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2 SB2 = SA2+AB2 SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2 Lập các tỷ số: => = => = . = . = (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.Cạnh , góc . Tìm thể tích của khối chóp S.ABC? Trình bày lời giải: Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có: SA chung SB = SC => SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân Gọi D là trung điểm của BC ta có : tan = => AD = Diện tích đáy: SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD = Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: SA2 = SD2 - AD2 = =>SA = Thể tích cần tính: V = = (đvtt) Tổng quát hóa ta có bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và ? Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau: AD = Diện tích tam giác: SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD = Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: SA2 = SD2 - AD2 = =>SA = Thể tích cần tìm: = = (đvtt) Bài 3 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN? Lời giải Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp S.ABN và S.MBN Theo định nghĩa về thể tích ta có: = + => = = Tương tự ta có: => = = Do vậy: = + = Thể tích khối chóp S.ABCD V = = Thể tích cần tính: = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Gọi V1 là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V1 = Khi đó: = + hay V = V1 + Ta có :V1 = + = = Hai hình chóp B.SCD và B.DCMN có chung đỉnh và mặt phẳng chứa đáy nên: Thể tích của chóp S.ABCD là: V = = Thể tích cần tính: Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy điểm trên Ax, lấy trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n. Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Trình bày lời giải Theo giả thiết ta có: , O là tâm đáy nên hay OB là đường cao Độ dài OB = = . Mặt khác MA // NC nên tứ giác ACMN là hình thang Thể tích khối chóp: ( đvtt ) Nghiên cứu lời giải Nhận thấy do , , nên ta đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng công thức tính thể tích của khối hộp: = (đvtt) Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCMN? Trình bày lời giải Xét SAB và SAC có AB = AC, SA chung, A = SAB = SAC SB =SC mặt bên SBC là tam giác cân. Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có: = = Áp dung định lý Pytago: SM = Ta có các tỷ số: = = = = = Thể tích : = - = - = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau: = - = (đvtt) Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng . Tam giác ABC vuông tại C, góc , hình chiếu vuông góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC? Trình bày lời giải Ta có: nên EG là đường cao của chóp Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có: EG = EBsinB = asin = Áp dụng pytago: = mà BG = BM BM = BG = Áp dung Pytago trong tam giác BMC: MC = MBsin = sin, AC = 2MC = sin, BC = ACtan = sin Thể tích của khối chóp: V = (đvtt) Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện ABCD? Trình bày lời giải Dụng hình bình hành ABDE, do AE // (BCD) nên = = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Ta xét một cách giải khác như sau: Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD , , Vì (ABEF) // (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d Thể tích cần tính: = = Bài 8: Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG.tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b? Trình bày lời giải M là trung điểm của CG nên: Tọa độ các vectơ: (0;a;), (-a;a;0), (-a;0;b) Xét tích hữu hướng: Tích vô hướng: = Thể tích: V = = = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Kẻ , kéo dài EM cắt SO tại N, mặt phẳng (BDM) chia khối chóp thành hai khối chóp E.BDM và N.BDM nên Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA Diện tích tam giác BDN: S = = Thể tích: = 2b = (đvtt) Bài 9: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c? Trình bày lời giải Dựng tứ diện APQR, đây là tứ diện vuông tại đỉnh A, thật vậy: AD = BC = BC là đường trung bình của tam giác PQR BC = QD = DP AD = QD = PD Hoàn toàn tương tự ta có: , Ta có: AP.AQ.AR Áp dụng định lý Pytago trong tam giác APQ, AQR, APR AP = , AQ = , AR = Thể tích: = (đvtt) Bài tập đề nghị Bài 1 ( khối A - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều, , gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD. Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a? Bài 2 ( Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng , gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a? Bài 3 (Khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a, SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB? Bài 4 (Khối A - 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a. Hình chiếu vuong góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC? 2. Thể tích của khối lăng trụ Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao trong đó : B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ? Trình bày lời giải Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED , AB // do đó AB // (EFD) nên d(A,EFD) = d(AB,ED) Mà (EFDA) nên AK AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2 Đặt EK = x ( 0 x 5 ). Trong tam giác vuông AED ta có: AK2 = KE.KD 4 = x(5-x) x2 - 5x + 4 = 0 Với x = 4 ta có AE = V = AE. = ( đvtt) Với x = 4 ta có AE = 2 V = 10 ( đvtt) Bài 2 Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc . Tam giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó? Trình bày lời giải Đặt CK = x, DK vuong góc với BC nên = Xét tam giác ADK có: cos = AK = x, DK = 2x Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2 AD = AK.tan = x = 2 Thể tích khối lăng trụ: V = AD.CK.AK = (đvtt) Bài 3 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và = , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc và . Chiều cao của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó? Trình bày lời giải Từ giả thiết: = , = , AC = AG = 2, BD = 2.cot = Áp dụng định lý cosin trong tam giác: cos = -2AB.AD - 4 = -2AB.AD AB.AD = - Thể tích cần tìm: V = AB.AD.EA.sin = 2 (đvtt) Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng . Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE = . Góc là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng . Tính thể tích của lăng trụ? Trình bày lời giải Hạ . Vì là góc nhọn nên K thuộc đoạn AB Kẻ ( theo định lý ba đường vuông góc ) = . Giả sử EK = x , = MK = AK.sin = Mà MK = EKcot = , do đó: = x = Vậy V = EK. = AC.CB.EK = ( đvtt) Bài tập đề nghị Bài 1 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh bằng a. Góc = , . Tính thể tích của khối lăng trụ đó? Bài 2 Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. M là trung điểm của AD, góc = . Tính thể tích của lăng trụ đó? 3. Thể tích của khối hộp chữ nhật Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau: thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a, = = ( 0 ). Tính thể tích khối hộp đó? Trình bày lời giải Hạ (1) tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED ) Mà (2) Từ (1) và (2) ta có: hay EM là đường cao Đặt = , hạ (định lý ba đường vuông góc) cos = = = cos cos = EM = a.sin = = Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin = = (đvtt) Bài 2: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ nhật có AB = , AD = , hai mặt bên (ABDE) và (ADEH) lần lượt tạo với đáy các góc và , độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1. Tính thể tích của khối hộp đó? Trình bày lời giải Kẻ , , Theo định lý ba đường vuông góc ta có: Ta có: = , = ,đặt EK = x khi đó: EM = = AM = = = KN mà KN = x.cot Nên x = do đó x = Thể tích khối hộp chữ nhật: V = AB.AD.x = .. = 3 (đvtt) Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với đáy góc , tạo với mặt bên lớn góc ,tính thể tích của khối hộp đó? Trình bày lời giải Đường chéo AG có hình chiếu lên (ABCD) là AC,lên mặt phẳng (BCGF0 là BG nên: , Áp dụng định lý Pytago trong các tam giác: ACG, GBA, ABC có CG = d.sin, AC = d.cos,AB = d.sin, BC = = d. ta có V = AB.BC.CG = d3.sin.sin. Mà: = cos(+).cos( - ) Vậy V = d3.sin.sin. (đvtt) Bài tập đề nghị Bài 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc , đường chéo AD tạ với đáy góc . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó? Bài 2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được xác định một hình hộp: Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật? CMR Gọi IJ, EF, MN là các dường trung bình của tứ diện. CMR: IJ.MN.EF Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp? 4. Bài toán cực trị thể tích Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1,với giá trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó? Trình bày lời giải Gọi M, N là trung điểm của SA, BC, ta có: = 2., các tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS ABS = ACS và là các tam giác cân Ta có: , SM là đường cao, SM = Tính diện tích đáy: MB = MC = , MN = = = MN.BC = Thể tích: = = , = Ta có: ( x-y)2 0 x2 + y2 2xy = Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số , , (2-xy) ta có: (2-xy) = V = , dấu bằng xảy ra khi x = y = Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào của thì thể tích của khói chóp là lớn nhất? Trình bày lời giải M, N là trung diểm của BC và AD nên , vì AD // BC suy ra AD // (SBC) d(A,SBC) = d(N,SBC) (1) Mặt khác: Do SM = , kẻ , d(N,SBC) = NH (2) từ (1) và (2) ta có NH = 2a Hệ thức lượng trong tam giác vuông MNH ta có: MN = = Diện tích đáy : Gọi I là tâm đáy thì ta có SI = MI.tan = Thể tích: thể tích V = SI. = đạt GTLN cos(1 - ) đạt GTLN Đặt x = cos, xét hàm số y = x - x3 trên (0,1), xét dấu hàm y ta được = khi và chỉ khi x = cos = Vậy ( đvtt ) Bài 3 Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB.Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất? Trình bày lời giải Gọi V là thể tích khối tứ diện ABMN ta có V = = = Do đó thể tích V nhỏ nhất ( OM + ON ) đạt GTNN Hai tam giác OMB OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = hằng số vì O, F, B cố định, ta có: OM + ON dấu “ = ” xảy ra OM = ON nên ( OM + ON ) đạt GTNN OM = ON = x Vì OM.ON = OF.OB ( OF = , OB = a ) Vậy M thuộc d sao cho OM = thì thể tích là nhỏ nhất , khi đó: V = = ( đvtt ) Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC = x. Tinh sthể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích là lớn nhất? Trình bày lời giải SH là đường cao trong tam giác ÁC nên ta có: SH.AC = SA.SC SH = Ta có: OB2 = AB2 - AD2 = nên OB = ( 0 x ) Diện tích đáy = AC.OB = . Thể tích V = = = Ta có: V2 = vì = 3 không đổi nên Max = V2 đạt giá trị lớn nhất là Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, một góc chuyển động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y để thể tích của đạt GTLN? Trình bày lời giải Trướ hết ta chứng minh đẳng thức: x + y = Ta có , Đặt = 1 Ta có , mà suy ra = , ta có = ta có xy suy ra Max (xy) = đạt GTLN khi (xy) = đạt GTLN suy ra suy ra khi x = y = Bài tập đề nghị Bài 1 Cho hình chóp S.ABC trong đó , ABC là tam giác vuông cân tại C. Giả sử SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm giá giá trị lớn nhất đó? Bài 2 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo) Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tam diện Oxyz. Điểm M cố định nằm trong góc tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c. Tính OA, OB,OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện là nhỏ nhất? 5. Chứng minh hệ thức hình học Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể sử dụng các kiến thức về thể tích để giải như sau: Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa diện cơ bản ( như khối chóp, khối lăng trụ ) Với các hệ thức về thể tich ấy sau các phép biến đổi tương đương đơn giản ta nhận được điều phải chứng minh. Bài 1 Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. CMR Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Ta có: Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có: ( đpcm ) Bài 2 Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó? Giả sử M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tứ diện đều ABCD Gọi là khoảng cách từ điểm M đến các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Gọi là thể tích của 4 khối tứ diện chung đỉnh M, V là thể tích của tứ diện ABCD ta có: V = Vì ABCD là tứ diện đều nên khoảng cách từ đỉnh xuống mặt đối diện bằng nhau. Ta giả sử khoảng cách này là h, hai tứ diện ABCD và MBCD có chung đáy nên: Hoàn toàn tương tự ta có kết quả: (i= 2,3,4) Do đó: h = ( đpcm) Bài 3 Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O trên Ox, Oy, Ox lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD. CMR: Hướng dẫn giải Đặt OA = a, OB = b, OC = c áp dụng BĐT Bunhiacôpxki: a + b , a + c , b + c cộng vế với vế các BĐT trên: (a + b + c)( 1 + ) (a + b + c)( 1 + ) L (1) dấu “ = “ trong (1) xảy ra khi a = b = c Áp dụng BĐT Cauchy cho a, b, c ta có: a + b + c (2) Ta có V = , BĐT (2) a + b + c (3) Dầu “=” trong (3) xảy ra khi a = b = c Từ (1), (3) ta có hay (4) Dấu “ = “ (4) xảy ra khi a = b = c = Bài 4 Cho OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, với OA = a, OB = b, OC = c, gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. CMR: Hướng dẫn giải Kẻ OH (ABCD) và giả sử OH = h Do OABC là tứ diện vuông nên a, b, c, h là 4 đường cao của tứ diện lần lượt kẻ từ A, B, C, O theo kết quả của bài tập 2 ta có: (1) Từ (1) suy ra BĐT cần chứng minh có dạng: (2) Vì OABC là tứ diện vuông nên ta có kết quả sau: (3) Theo (3) và áp dụng BĐT Cauchy ta có: (4) Ta lại có: ( a + b + c )2 (5) Từ (3), (4), (5) ta có: Vậy (2) đúng suy ra đpcm, dấu “=” xảy ra khi a = b = c Từ bài toán trên ta có kết quả: Thật vậy: Theo (1) Do: hay ( đpcm ) Bài tập đề nghị Bài 1 Chứng minh khoảng cách từ một diểm nằm trong hình lăng trụ đến các mặt của nó không phụ thược vào vị trí của điểm nằm trong lăng trụ đó? Bài 2 Cho hình chóp tam giác có , trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác đáy. Các góc , , tương ứng là các góc nhị diện cankj a, b, c. Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm O trên mặt đáy đến các mặt xung quanh của hình chóp là một hằng số?