Giáo án lớp 12 môn Hình học - Đề 11 ôn thi tốt nghiệp

ĐỀ 11 Câu 1 Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng dường cao SH. a. Chứng minh SA ^ BC. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC. b. Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Câu 2 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (a) : 2x + 3y + 6z – 18 = 0 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Tìm điểm M(x, y, z) với x > 0, y > 0, z > 0 cách đều bốn mặt của tứ diện OABC. Suy ra phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện. GIẢI S A O C B H Câu 1 Cách 1: a/ Ta có: Þ SH là trục đường tròn ngoại tiếp DABC đều Þ H là trực tâm và: Suy ra: ° DSAH vuông có: ° Thể tích hình chóp: ° Diện tích toàn phần hình chóp: b/ O là trung điểm ° Áp dụng định lý trung tuyến AO trong DSAH có: ° Ta có: vuông tại O. ° Chứng minh tương tự ta cũng có các tam giác OBC, OCA vuông tại O. ° Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Cách 2: z S A C M y H O B x a/ ° Gọi M là trung điểm BC ° Gọi SH là đường cao của tứ diện đều, nên SH là trục đường tròn (ABC) Þ H là tâm đường tròn (ABC) ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, ° Ta có: Vậy, ° Thể tích hình chóp: ° Diện tích toàn phần: b/ O là trung điểm SH Þ tọa độ ° ° Ta có: Chứng minh tương tự ta cũng có: ° Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Câu 2 Tọa độA(9; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 3) ° Vì M cách đều 3 mặt phẳng tọa độ và (a), nên x = y = z (do x, y, z > 0) và: . ° Mặt khác: . Suy ra: M1 nằm trong, còn M2 nằm ngoài tứ diện OABC Þ M1 là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Vậy, mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có tâm M1(1; 1; 1), bán kính R = 1, có phương trình : ĐỀ 12 Câu 1 Cho hình chóp S. ABCD có SA ^ (ABCD) và SA = , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). Câu 2 Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; -2). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C. Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đi qua O, A, B, C sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 lớn nhất. 2.Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đi qua O, A, B, C sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 lớn nhất. GIẢI Câu 1 Cách 1: ° Ta có: S F E A B C D ° Dựng tại E, ta có: ° Dựng tại F, khi đó: Do đó: ° Từ các tam giác vuông AEB và SAE, ta có: z S x A B B/ C C/ I D 2a y Þ Vậy, Cách 2: ° Dựng và I là trung điểm AD ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông ° với ° Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ : ° Vì: ° Ta có: ° Vậy, Câu 2: 1.Phương trình mặt phảêng (ABC): ° (C) là giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và một mặt cầu (S) qua A, B, C. Chọn (S) là mặt cầu qua O. ° Phương trình mặt cầu (S): ° A, B, C thuộc (S) nên: ° Vậy, phương trình đường tròn 2. Mặt cầu (S): có tâm I(1; 2; -1), bán kính . ° Phương trình đường thẳng (D) qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (P): ° Tọa độ giao điểm M của (D) và (S) thỏa: ° Khoảng cách từ M1 đến (P): ° Khoảng cách từ M2 đến (P): ° Ta có: ° Vậy, điểm M thuộc mặt cầu (S) cần tìm: . ĐỀ 13 . Câu 1 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x – 4)2 + (y – 7)2 + (z + 1)2 = 36 và mặt phẳng (P): 3x + y – z – 9 = 0. Tính thể tích V của hình nón có đỉnh là tâm mặt cầu còn đáy là hình tròn thiết diện do (P) cắt (S). Câu 2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên cạnh BC. Chứng minh SH vuông góc (ABCD). Đặt x = CM. Tính khoảng cách từ S đến DM. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất. GIẢI Câu 1 P A O r I R (C) Mặt cầu (S) có tâm I(4; 7; -1), bán kính R = 6. ° Khoảng cách từ I đến (P): Suy ra bán kính đường tròn giao tuyến: ° Thể tích V của hình nón: Câu 2: 1. Cách 1: S D C M B H A K x ° Ta có: ° Dựng (định lý 3 đường ° Ta có: ° Do đó: ° Xét hàm số: với ° Bảng biến thiên: x 0 a 2a f/(x) + 0 - - - 0 + f(x) 7 ° Từ bảng biến thiên ta có: tại x = 0 ° Vậy, khoảng cách SK ngắn nhất bằng Cách 2: ° Ta có: z S A D C B M x H y ° Chọn hệ trục Hxyz, với Hx, Hy, Hz ° ° ° Khoảng cách từ S đến đường thẳng DM: (đến đây giải tương tự cách 1) ĐỀ 14 Câu 1 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0). Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60o; (a) cắt trục Oz tại điểm C. Viết phương trình mặt phẳng (a).Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (a) và chia tứ diện OABC thành hai phần có tỉ số thể tích là 1 : 7. Câu 2 Cho lăng trụ đứng ABC, A'B'C', đáy ABC là tam giác đều. Góc giữa AA' và BC' là và khoảng cách giữa chúng là a. Tính thể tích lăng trụ. GIẢI Câu 1 ° Gọi C(0; 0; c), ° (a) hợp với (Oxy) một góc z C B y x A K M O N ° Mặt phẳng (P) cần tìm cắt OA; OB; OC lần lượt tại M, N, K và chia tứ diện OABC theo tỉ số thể tích 1 : 7 ° (P) // (a) và qua M Þ ° Vậy, có 2 mặt phẳng(P): . Câu 2: 1. Cách 1: ° Gọi I là trung điểm BC ° Ta có: A B C I B/ A/ C/ ° ° DABC đều ° DBCC/ vuông tại C có ° Thể tích lăng trụ: B/ A/ C/ A B C I x y z Cách 2: ° Gọi x là độ dài cạnh DABC đều và I là trung điểm BC. Đặt: AA/ = h (h > 0) ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), ° ° Ta có: ° ° ° Ta có: Thể tích lăng trụ: ĐỀ 15 Câu 1 Trong không gian Oxyz cho tứ diện S.OAB với O(0, 0, 0), A(6, 3, 0), B(-2, 9, 1), S(0, 5, 8). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm cạnh SO, AB; (a) là mặt phẳng qua SB, vuông góc với OA và cắt OA tại K. Tìm tọa độ điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Câu 2 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE và (OMN). Chứng minh CE ^ (OMN) và tính diện tích tứ giác OMIN theo a. GIẢI Câu 1 Tọa độ ° Phương trình mặt phẳng (a) qua S với pháp Vectơ ° Phương trình đường thẳng (OA): thế (2) vào (1), giải ta được tọa độ K(2; 1; 0) ° ° Phương trình mặt phẳng (PQK) qua K với pháp vectơ (PQK): 77x – 4y + 40z – 150 = 0 (3) ° Phương trình đường thẳng (SB): thế (4) vào (3), giải ta được: ° Vậy, PQ cắt KM khi Câu 2: 1. ° Þ AB ^ (OCK) Þ AB ^ CE Þ MN ^ CE (vì MN // AB) (1) ° Thực hiện tính toán trong DOCE, ta được: OE = a, OC = a, OI = Þ Þ OI ^ CE (2) ° Từ (1) và (2) Þ CE ^ (OMN) ° Diện tích tứ giác OMIN: SOMIN = = – z + 5 = 0 lớn nhất.