Giáo án lớp 12 môn Hình học - Đường thẳng

Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 1 ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Phương trình đường thẳng: Định nghĩa : Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương 1 2 3( ; ; )a a a a  : 0 1 0 2 0 3 (t R) x x a t y y a t z z a t          Nếu a1, a2 , a3 đều khác không .Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a      II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng: 1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ' ' 11 ' ' 2 2 ' ' 0 3 3 ' : ' : ' ' oo o o o x x a tx x a t d y y a t d y y a t z z a t z z a t                 d có vtcpu  đi qua Mo ; d’có vtcp 'u  đi qua Mo’  u  , 'u  cùng phương  d // d’ 0 ' ' u ku M d        d ≡ d’ 0 ' ' u ku M d        u  , 'u  không cùng phương ' ' 1 1 ' ' 2 2 ' ' 0 3 3 ' ' ' o o o o o x a t x a t y a t y a t z a t z a t             (I)  d cắt d’  Hệ phương trình (I) có một nghiệm  d chéo d’ Hệ phương trình (I) vô nghiệm 2)Vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặt phẳng: Trong không gian Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và 1 2 0 3 : , o o x x a t d y y a t t R z z a t          Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 2 Phương trình : A(xo+a1t)+B(yo+a2t)+C(z0+a3t)+D = 0 (1)  Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)  Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)  Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d (α) Đặc biệt : ( d )  ( ) ,a n   cùng phương  Khoảng cách từ M đến đường thẳng d Phương pháp :  Lập phương trình mp( ) đi qua M vàvuông góc với d  Tìm tọa độ giao điểm H của mp( ) và d  d(M, d) =MH  Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp 1 2 3( ; ; )a a a a  ; d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp 1 2 3' ( ' ; ' ; ' )a a a a  Phương pháp :  Lập phương trình mp( ) chứa d và song song với d’  d(d,d’)= d(M’,( )) B.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ (CHÍNH TẮC) CỦA ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: + Tìm vtcp 1 2 3(a ;a ; )u a  + Tìm điểm M0(x0;y0;z0) thuộc đường thẳng  + Viết phương trình tham số của 0 1 0 2 0 3 x x ta y y ta z z ta          Lưu ý: + Nếu đường thẳng ( )mp   thì vtcp của  là vtpt của ( )mp  , tức là u n    + Nếu  song song với ' thì vtcp của  chính là vtpt của ' . + Nếu  đi qua hai điểm M, N thì vtcp của  là MN  Bài 1: Cho A(1; 3; -2), B(-1; 1; 2), C(1; 1; -4) a. Viết ptts các đường trung tuyến của tam giác ABC.ĐS: AM: x=1-t y=3-2t z=-2+t       Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 3 b. Viết ptts các đường AB, AC, BC. ĐS: AB: x=1-2t y=3-2t z=-2+4t       Bài 2: Cho A(1; 3; 1), B(2; 1; 2), C(0; 2; -6) c. Tìm G là trọng tâm tam giác ABC. ĐS: G(1; 2; -1) d. Viết ptts đường thẳng qua G và song song với AB. ĐS:         t1z 2t2y t1x Bài 3: Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a. Viết ptts đường thẳng qua A và song song với BC. ĐS:         t23z t61y t45x b. Viết ptts đường thẳng qua A và vuông góc với mp(BCD).ĐS:         t93z t41y t185x ĐS: - x + 13y + 5z - 5 = 0. Bài 4: Viết ptts đường thẳng a. Đi qua A(-2; 3; 1) và có vectơ chỉ phương a = (2; 0; 3) ĐS         t31z 3y 2t2x b. Đi qua A(4; 3; 1) và song song với đường thẳng         2t3z 3ty 2t1x ĐS         t21z 3t-3y 2t4x Bài 5: Viết ptts đường thẳng a. Đi qua A(-2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y - 2z + 1 = 0. Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 4 ĐS         t2z t21y t2x b. Đi qua B(0; 3; 1) và song song với trục Ox. ĐS         1z 3y tx Bài 6: Viết ptts đường thẳng a. Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương a = (2; -3; 1) ĐS         t1z 3t4y 2t5x b. Đi qua N(2; 0; -3) và song song với đường thẳng         t4z 3t3y 2t1x ĐS         t43z 3ty 2t2x Bài 7: Viết ptts đường thẳng a. Đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng : x + y – z + 5 = 0. ĐS x 2 t y 1 t z 3 t              b. Đi qua P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4). ĐS x 1 4t y 2 2t z 3 t             Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 5 DẠNG 2 XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM M LÊN MẶT PHẲNG ( ) . Phương pháp : + Viết ptts của đt đi qua điểm M và vuông góc với ( ) . + Tìm giao điểm H của  và ( ) (giải hệ ( ) pt pt     ) +Giao điểm H chính là hình chiếu vuông góc cần tìm. Bài 1 : Tìm hình chiếu vuông góc của M(3 ;0 ;1) lên ( ) 3 9 0x y z     HD: Goi  là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( ) . (1; 3; 1)u n       Phương trình            x 3 t y 3t z 1 t (3 ; 3 ;1 )H H t t t    . ( ) 1H t   . Vậy H(2;3;2). Bài 2: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. a, Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mphẳng (α).ĐS: H(-1; 2; 0) b, Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α). ĐS: M’ (-3; 0; -2) DẠNG 3 XÁC ĐỊNH ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM M CHO TRƯỚC QUA MẶT PHẲNG ( ) . Phương pháp : + Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mp ( ) . + Giả sử M’(x’,y’,z’) là điểm đối xứng của M qua ( ) . Khi đó H là trung điểm của MM’, tức là ' ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 M M H M H M M M H M H M M H M M M H x xx x x x y yy y y y z z zz zz                 ) Bài 1: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ H là hình chiếu vgóc của M trên mphẳng (α).ĐS: H(-1; 2; 0) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α). ĐS: M’ (-3; 0; -2) Bài 2: Cho điểm M(0; -3; -2) và mặt phẳng (α): 2x - 2y + z + 5 = 0. Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α). ĐS: M’ (-4; 1; -4) Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 6 HD : ( )  và đi qua M có phương trình             x 2t y 3 2t z 2 t , hình chiếu H(-2;-1;-3) Bài 3 : Tìm điểm M’ đối xứng với M(4 ; -1 ; -2) qua mp (α): 3x +y -3 z + 21 = 0. HD : ( )  và đi qua M có phương trình              x 4 3t y 1 t z 2 3t , hình chiếu H(-2;-3;4) ĐS : M’(-8 ;-5 ;10) Bài 4 : Cho A(0 ;4 ;4) và đt d : 1 2 3 2 3 1 x y z     . Tìm điểm M’ đối xứng với M(3 ;3 ;3) qua mp chứa A và đường thẳng d. HD : + đt d có vtcp (2;3;1)u  đi qua B(-1;2;3) +mp (α) chứa A và d nhận (2;3;1);u AB   (-1;-2;-1) làm cặp vtcp, nên có vtpt là n u AB     =(-1;1;-1), phương trình mp(α) :x-y+z = 0. +đi qua M(3 ;3 ;3)và vuông góc với (α) là :             x 3 t y 3 t z 3 t +H là hình chiếu của M lên (α) : H(2 ;4 ;2) +M’(1 ;5 ;1). Bài 5: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M( 2, -3, 1 )trên mp(α) : -x+ 2y +z+ 1= 0 . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng M qua ( ) ĐS : H (1, -1 , 2 ) ; M/( 0, 1, 3) DẠNG 4 XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM M LÊN ĐƯỜNG THẲNG ( ) . Phương pháp : + Viết ptmp   đi qua điểm M và vuông góc với  . (mp   đi qua M nhận u  làm vtpt). + Tìm giao điểm H của  và ( ) (giải hệ ( ) pt pt     ) +Giao điểm H chính là hình chiếu vuông góc cần tìm. Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của M( 0, 5, 2) lên đt d : 1 3 1 2 3 x t y t z t           ĐS: H (2,1,4) Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 7 Bài 2: Tìm hình chiếu vuông góc của M( -1, -1, 1) lên đt d : 1 2 3 3 x t y t z t          DẠNG 5 XÁC ĐỊNH ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM M CHO TRƯỚC QUA ĐƯỜNG THẲNG ( ) . Phương pháp : + Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng ( ) .(Dạng 4) + Giả sử M’(x’,y’,z’) là điểm đối xứng của M qua ( ) . Khi đó H là trung điểm của MM’, tức là ' ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 M M H M H M M M H M H M M H M M M H x xx x x x y yy y y y z z zz zz                Bài 1: Tìm tọa độ M’ đối xứng M( 2, -1, 3) qua đt d : 2 1 2 1 x t y t z        ĐS: M’ (4,-3,5) Bài 2: Tìm tọa độ M’ đối xứng M( 1, 5, 4) qua đt d : 2 1 2 1 x t y t z        ĐS: M’ (7,1,0) Bài 3: Tìm tọa độ M’ đối xứng M( 0, 2, -1) qua đt d : 1 2 3 3 x t y t z t         Bài 4: Tìm tọa độ M’ đối xứng M( -1, -2, 4) qua đt d : 5 1 2 1 x t y t z t          ĐS: Bài 5: Tìm tọa độ M’ đối xứng M( 3, 2, -5) qua đt d : 2 3 1 1 x t y z t         ĐS: Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 8 DẠNG 6 XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ( ) LÊN MẶT PHẲNG   . Phương pháp :Ta xét các trường hợp sau :  TH1 : Nếu  vuông góc với mp   , thì hình chiếu vuông góc của  lên mp   là điểm ( )H   .  TH2 : Nếu ( )  , thì hình chiếu vuông góc của  lên mp   dt  .  TH3 : Nếu  không vuông góc với mp   và ( )  ta thực hiện + Lấy hai điểm phân biệt A, B thuộc đt  . + Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên mp   là H1, H2 (Dạng 2) +Hình chiếu vuông góc của  lên mp   là đường thẳng d đi qua H1, H2.  Chú ý : Nếu  cắt   tại M thì hiển nhiên ta có hình chiếu vuông góc của M lên   là điểm M, nên ta chỉ cần lấy điểm thứ hai khác M. Bài1: Viết pt hình chiếu vuông góc ' của dt  : 3 3 5 1 x t y t z t        trên mp ( ) : 6x+10y+2z-11=0. HD : + có vtcp (3;5;1)u   + mp ( ) có 2(3;5;1)n   . Suy ra vuông góc với ( ) . Do đó hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là giao điểm H của và ( ) . ĐS: 9 3 7; ; 10 2 10 H       Bài2: Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của dt d : 1 1 2 3 x t y t z t         trên mp ( ) x+y+2z-5=0 Bài 3: Viếtt pt hình chiếu vuông góc d’ của d : 1 2 1 2 3 x y z     trên mp ( ) : x-y+z+10=0 C.BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài 1:Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau : a/.Ptrình đường thẳng d đi qua M(2;0;–3) và nhận (2; 3;5)a    làm vecto chỉ phương Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 9 b/.Phương trình đường thẳng d đi qua M(–2; 6; –3) và song song với trục Oy c/.Phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 0; –3) và B(3, –1; 0). d/.Ptrình đường thẳng d đi qua M(–2; 3;1) và song song với d : 2 1 2 2 4 3 x y z     e/ Đi qua điểm M (–2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – 2z = 0 Bài 2: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d: 1 2 3 2 3 1 x y z     a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz Bài 3: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau : a/. Đi qua điểm M(3; –1; 2) và song song với hai mặt phẳng (P): x+3y – 2z +2= 0 và (Q):2x – y +z +1=0 b/. Đi qua điểm N(2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng (d1): 1 3 2 3 2 1 x y z       ; (d2): 2 1 1 2 3 5 x y z      . c/. Viết ph.trình đường thẳng d đi qua K(1; 1; –2), song song với mặt phẳng (P): x – y- z – 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng d. 1 1 2 2 1 3 x y z     Bài 4: a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). b) Viết phương trình tham số của đuờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 4 0 , ( ) : 2 2 0P x y z Q x y z        Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường thẳng () : 9 2 , 5 3 x t y t t R z t         a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C. b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng () c) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.Tính d(BC,). Bài 6: a/.Viết phtrình đường thẳng nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng d:         tz ty tx 4 2 21 tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P). Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 10 b/.Viết ph.trình đường thẳng d đi qua M(3;2;1) vuông góc và cắt d’: 1 2 4 3 x y z    Bài 7:Cho hai dường thẳng 1 2: 2 3 4 x y z    và 2 1 : 2 , 1 2 x t y t t R z t           a/. Chứng minh rằng 1 và 2 chéo nhau . b/.Viết phtrình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song song với 2 .Tính d( 1 , 2 ) Bài 8:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(- 1;-5;3). a) Lập phương trình tham số đường thẳng AB. b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB. c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD trên mặt phẳng (P). Bài 9: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC). c) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC). d) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB. Bài 11: Cho đường thẳng 2 ( ) : 4 1 2 x t y t z t           và mp (P) : x + y + z - 7=0 a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. b) Tìm tọa độ giao điểm của () và (P). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của () trên mp(P). Bài 12: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () và (’) lần lượt có phương trình: 7 3 1 2 5: ; ' : 2 2 2 3 4 1 2 x t x y z y t z t                 . a) Chứng minh rằng hai đường thẳng () và (’) cắt nhau b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) chứa () và (’) c) Viết p.trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường thẳng () và (’) . Bài 13:Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình : Tài liệu Ôn thi TNTHPT GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 11 (d) : 3 2 2 , ( ) 3 x t y t t R z t         , (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5 Chứng tỏ đ.thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.