Giáo án lớp 12 môn Hình học - Đường thẳng và đường tròn

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Mặt phẳng tọa độ Tóm tắt lý thuyết Các định nghĩa Hệ trục toạ độ gồm hai trục tọa độ , vuông góc với nhau. Véc-tơ đơn vị trên là , véc-tơ đơn vị trên là . Tọa độ của véc-tơ: . Tọa độ của điểm: . Tính chất Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho và , ta có 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. (, ); 7. ; 8. , Đặc biệt: khi cả và đều khác , ta có . Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử , , , ta có +) , ; +) là trung điểm của ; +) là trọng tâm tam giác . Các dạng bài tập Tìm tọa độ của một điểm và véc-tơ Cho hai véc-tơ , . Tìm tọa độ của các véc-tơ , , . Tính độ dài của hai véc-tơ , , tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ , . Góc giữa hai véc-tơ , là góc nhọn hay góc tù. Giải Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có , . Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có , , suy ra . Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có , . Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có , . nên là góc tù. Cho hai véc-tơ , ( là tham số). Tìm để hai véc-tơ đã cho cùng phương. Giải Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi , hay . Giải phương trình này ta được hoặc . Cho ba điểm , , . Chứng minh rằng , , là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành. Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm điểm trên trục hoành sao , , thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác . Giải 1) Ta có , . Vì nên hai véc tơ và không cùng phương . Do đó , , không thẳng hàng, suy ra , , là ba đỉnh của một tam giác. 2) Gọi . Ta có , . Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi . Vậy . Tọa độ trọng tâm của tam giác là . Vì thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng . Ta có , . Ba điểm , , thẳng hàng khi và chỉ khi . Vậy . Gọi . Ta có , . là trực tâm của tam giác khi và chỉ khi . Vậy . Nhận xét. Trong ví dụ này tác giả muốn nhắc lại cho các em một số phương pháp tìm tọa độ điểm như dùng đẳng thức véc-tơ, sự cùng phương của hai véc-tơ, dùng tích vô hướng. Chúng ta tiếp tục nghiên cứu ví dụ sau đây, một ví dụ khác tìm tọa độ một điểm dựa vào đẳng thức độ dài. Cho tam giác cân tại biết và . Tìm tọa độ điểm sao cho . Giải Gọi . Từ giả thiết ta có . Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được . Vậy hoặc . Cho tam giác . Biết , , lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh , , của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Giải Ta thấy . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta có . Suy ra . Vì đối xứng với qua nên, suy ra . Tương tự, đối xứng với qua nên , suy ra . Vậy , , . Cho tam giác . Biết , và thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm sao cho trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng đi qua và gốc tọa độ . Giải Điểm thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng . Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm thì , hay . Ta có , . thuộc đường thẳng qua và gốc tọa độ khi và chỉ khi và cùng phương, có nghĩa là . Giải phương trình này ta được . Vậy . Cho và . Tìm tọa độ điểm thuộc trục tung sao cho tam giác cân tại . Giải Tam giác cân tại khi và chỉ khi và , , không thẳng hàng. Điểm thuộc trục tung nên tọa độ có dạng . Ta có , . Phương trình tương đương với . Phương trình này có nghiệm duy nhất . Khi đó , . Vì nên , , không thẳng hàng. Vậy . Cho hai điểm và . Tìm điểm trên trục hoành sao cho Giải Vì thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng . Do đó , . Góc là góc giữa hai véc tơ . Theo công thức tính góc giữa hai véc tơ, ta có . Bình phương hai vế ta được . Khai triển và phân tích thành nhân tử Bình phương hai vế ta được (vì với mọi ). Vậy hoặc . (B.03) Cho tam gi¸c biÕt , . Điểm là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Giải Gọi . Theo tính chất của trọng tâm, ta có . Vậy Gọi . Khi đó , . Do tam giác vuông cân tại , là trung điểm của nên . Thay rút theo từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất ta được . TH1: . Do là trung điểm của nên . TH2: . Do là trung điểm của nên . Cho , , . Chứng minh , , là ba đỉnh một tam giác. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Giải Ta có , . Vì nên , , không thẳng hàng. Do đó , , là ba đỉnh một tam giác. Giả sử . Ta có , , . là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác khi và chỉ khi . Điều này tương đương với hệ . Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương Vậy . Cho tam giác với , , . Tìm tọa độ là chân đường phân giác trong góc . Giải Ta có , . là chân đường phân giác trong góc nên hai véc-tơ , ngược hướng và , hay . Suy ra . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương với , hay . Giải hệ ta được , . Vậy . Các bài toán cực trị Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải Đặt , . Áp dụng bất đẳng thức , ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ và cùng hướng, hay . Phương trình có nghiệm duy nhất .Vậy giá trị nhỏ nhất của là (đạt đươc khi và chỉ khi ). Giải phương trình . Giải Phương trình cho tương đương với . Đặt , . Áp dụng bất đẳng thức , ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ và cùng hướng, do đó phương trình đã cho tương đương với . Phương trình có nghiệm duy nhất . Bài tập Cho các điểm , , , . Chứng minh ba điểm ,, thẳng hàng và ba điểm , , không thẳng hàng. Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc-tơ. Cho hai điểm và . Tìm giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ. Đáp số: Giao điểm của với trục hoành, trục tung lần lượt là , . Cho , , . Hãy biểu diễn xác định các hằng số , sao cho . Đáp số: , . Cho , , . Chứng minh , , không thẳng hàng. Tìm tọa độ điểm sao cho là hình bình hành. Đáp số: 2) . Cho , , . Tìm toạ độ điểm sao cho: . . Tứ giác là hình bình hành. Khi đó, hãy tìm toạ độ giao điểm các đường chéo của hình bình hành. Đáp số: 1) . 2) . 3) , tâm của hình bình hành là . Cho tam giác có , , . Xác định tọa độ trung điểm các cạnh và trọng tâm của tam giác nói trên. Đáp số: Trung điểm của các cạnh , , lần lượt là , , . Trọng tâm tam giác là . Cho hai điểm , . Tìm tọa độ điểm sao cho gốc toạ độ là trọng tâm tam giác . Đáp số: . Cho , . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực của với các trục toạ độ. Đáp số: Giao điểm là . (D.04) Cho tam giác có các đỉnh , , với . tìm toạ độ trọng tâm của tam giác theo . Xác định để tam giác vuông tại . Đáp số: , . (A.04) Cho hai điểm và .Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường trong ngoại tiếp của tam giác . Đáp số: Trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp . Cho , . Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho: Tam giác vuông tại . Tam giác cân tại . Đáp số: 1) . 2) hoặc . [ĐHB07] Cho điểm và các đường thẳng , . Tìm toạ độ các điểm và lần lượt thuộc và sao cho tam giác vuông cân tại . Đáp số: , hoặc , . Cho các điểm , , . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đáp số: Tâm đường tròn ngoại tiếp là . Cho , . Tìm điểm thuộc trục hoành sao cho . Đáp số: hoặc . Cho tam giác có , và , . Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài của tam giác hạ từ đỉnh xuống cạnh . Đáp số: , . Cho tam giác với , , . Tính độ dài đường phân giác trong góc . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đáp số: 1) . 2) Tâm đường tròn nội tiếp là . Cho tam giác . Biết , là trung điểm của , là trung điểm của . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số: , . Cho tam giác . Biết , là trung điểm của , là trung điểm của . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số: , . Cho tam giác . Biết và trung tuyến đi qua , lần lượt là trục hoành và trục tung. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số: , . Cho tam giác . Biết và các trung trực ứng với các cạnh , lần lượt là trục hoành, trục tung. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số: , . Cho tam giác . Biết và các trung trực ứng với các cạnh , lần lượt là trục hoành, trục tung. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số: , . Cho , . Tìm trên trục hoành điểm sao cho nhỏ nhất. lớn nhất. Đáp số: 1) . 2) . Cho ba số thực dương ,, thỏa mãn . Chứng minh rằng . Hướng dẫn: Đặt , , suy ra , , và . Vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng . Áp dụng bất đẳng thức với , , ta sẽ có điều phải chứng minh. Phương trình đường thẳng Tóm tắt lý thuyết Các dạng phương trình đường thẳng Khái niệm véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của đường thẳng Véc-tơ là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng , ký hiệu hoặc , nếu giá của vuông góc với . Véc-tơ là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng , ký hiệu hoặc , nếu giá của song song hoặc trùng với . Các dạng phương trình đường thẳng Dạng 1: Phương trình tổng quát của đường thẳng nhận làm véc-tơ pháp tuyến có dạng , với . Dạng 2: Phương trình tham số của đường thẳng qua và nhận làm véc-tơ chỉ phương là , (, là tham số). Chú ý: Ý nghĩa của tham số: Mỗi điểm thuộc đường thẳng tương ứng với một giá trị cụ thể của tham số. Một đường thẳng có vô số phương trình tham số. Dạng 3: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véc-tơ chỉ phương là , ở đây , là những số khác . Chú ý: Chỉ có những đường thẳng với véc-tơ chỉ phương có cả hoành độ và tung độ đều khác mới có phương trình chính tắc. Dạng 4: Phương trình dạng hệ số góc của đường thẳng có dạng , số được gọi là hệ số góc của . Chú ý: Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu đặt , gọi là nửa đường thẳng ở phía trên . Khi đó (Hình 1). Phương trình tổng quát chỉ có thể đưa được về dạng hệ số góc nếu . Như vậy, đường thẳng có phương thẳng đứng () không có dạng hệ số góc. Hình 1 Dạng 5: Phương trình đoạn chắn của đường thẳng đi qua hai điểm và là , ở đây , là những số khác . Phương trình đoạn chắn cho ta một cách lập phương trình đường thẳng một cách nhanh chóng khi biết các giao điểm của đường thẳng ấy với các trục tọa độ. Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với trục hoành là . Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với trục tung là . Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng , với . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt: Xét , . +) Nếu thì đường thẳng có phương trình chính tắc là . +) Nếu thì đường thẳng có phương trình là . +) Nếu thì đường thẳng có phương trình là . Các dạng toán hay gặp Một số bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng Phương pháp giải toán và các ví dụ Lập phương trình đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một véc-tơ pháp tuyến hoặc véc-tơ chỉ phương và bài toán lập phương trình đường thẳng cơ bản nhất. Các bài toán như thế cùng với phương pháp giải và ví dụ được trình bày ngắn gọn trong bảng sau. Chúng tôi yêu cầu học sinh đọc phương pháp và thực hành bằng cách tự giải các ví dụ cho ở cột thứ ba của bảng. Bài toán Phương pháp giải Ví dụ Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng là . , . Đáp số: . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véc-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng là . , . Đáp số: . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng . Nếu điểm không thuộc đường thẳng thì tồn tại đường thẳng . song song với đường thẳng nên nhận véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó . , . Đáp số: . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng . vuông góc với đường thẳng nên nhận véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng làm véc-tơ chỉ phương. Do đó . , . Đáp số: . Lập phương trinh đường thẳng đi qua hai điểm và . Áp dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. , . Đáp số: . Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng . chính là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và nhận véc-tơ làm véc-tơ pháp tuyến. , . Đáp số: . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc . Phương trình đường thẳng là . , . Đáp số: . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với trục hoành góc . Phương trình đường thẳng có dạng . có hai giá trị là . , . Đáp số: hoặc . Chú ý. Trong các dạng phương trình đường thẳng thì phương trình tổng quát và phương trình tham số dễ sử dụng hơn cả. Do đó, ta có nhu cầu đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát hoặc tham số. Tham số hóa để lập phương trình tham số của đường thẳng Ở Ví dụ 1, cho , suy ra . Do đó, phương trình tham số của là . Khử tham số từ phương trình tham số Trong Ví dụ 2, khử tham số , ta được phương trình chính tắc , suy ra phương trình tổng quát . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt các trục tọa độ tại hai điểm , sao cho tam giác cân. Giải Thấy tam giác vuông tại nên tam giác chỉ có thể cân tại , có nghĩa là đường thẳng tạo với trục hoành góc . Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ số góc của bằng . Đường thẳng còn đi qua điểm , suy ra , hay ; hoặc , hay . Vậy phương trình đường thẳng là hoặc . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt các trục tọa độ tại hai điểm , sao cho là trung điểm của đoạn thẳng . Giải Giả sử , lần lượt thuộc trục hoành, trục tung. Suy ra tọa độ của hai điểm này có dạng , . Điểm là trung điểm của nên , suy ra . Áp dụng phương trình dạng đoạn chắn, suy ra . Lập phương trình các cạnh của tam giác biết , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , của tam giác. Giải đi qua và nhận là véc-tơ chỉ phương, véc-tơ này cùng phương với véc-tơ . Do đó , hay . Tương tự, đi qua và nhận làm véc-tơ chỉ phương nên , hay . đi qua và nhận là véc-tơ chỉ phương, véc-tơ này cùng phương với véc-tơ . Do đó , hay . Bài tập tự giải Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau. qua và nhận làm vectơ pháp tuyến. qua và nhận làm vectơ chỉ phương. qua và song song với đường thẳng . qua và vuông góc với đường thẳng . qua và có hệ số góc bằng . đi qua hai điểm và . đi qua hai điểm và . là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút và . qua và tạo với góc . Đáp số: 1). 2) . 3) . 4) . 5) . 6) . 7) . 8) . 9) hoặc . Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát . . . . . . Đáp số: 1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích bằng . Đáp số: hoặc . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với phần dương của hai trục tọa độ tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đáp số: . Bài toán tìm điểm Nội dung phương pháp Để giải những bài toán dạng này, ta cần biết cách khai thác sự kiện một điểm thuộc một đường thẳng. Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi . Từ đó, ta có thể rút theo hoặc theo . Do đó việc tìm tọa độ điểm được quy về tìm một con số ( hoặc ). Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tọa độ của có dạng . Như vậy việc tìm điểm được quy về tìm giá trị của tham số . Một số ví dụ Cho đường thẳng . Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho với . Điểm có thuộc không? Giải Điểm thuộc đường thẳng tọa độ nên có dạng . Giả thiết tương đương với , hay . Phương trình trên có nghiệm . Vậy hoặc . Thay tọa độ điểm vào phương trình , ta có . Vậy không thuộc . Cho và . Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho Tam giác vuông tại . Tam giác cân tại . Giải Điểm thuộc đường thẳng nên tọa độ có dạng . Ta có . Tam giác vuông tại khi và chỉ khi không trùng với , và , hay . Phương trình trên có nghiệm và , suy ra hoặc . Ta thấy hai điểm tìm được đều không trùng với , nên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có , . Do đó cân tại khi và chỉ khi không thuộc đường thẳng và , hay . Phương trình trên có nghiệm duy nhất , suy ra . Khi đó , . Ta thấy nên không thuộc đường thẳng . Vậy . Cho hai đường thẳng và . Hãy tìm điểm thuộc và thuộc sao cho đoạn thẳng nhận điểm làm trung điểm. Giải Đường thẳng có phương trình tham số là ( là tham số). thuộc , thuộc nên tọa độ của , có dạng , . nhận là trung điểm khi và chỉ khi . Giải hệ ta được , . Do đó và . Chú ý: Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng phương trình tham số của nhiều hơn một đường thẳng thì ký hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau. Trong Ví dụ 3, hai tham số của hai đường thẳng và lần lượt là và . Trong các ví dụ còn lại của phần này, chúng tôi trình bày một số bài toán liên quan đến hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng. Cho điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của lên . Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua . Giải Điểm là hình chiếu của lên khi và chỉ khi thuộc và cùng phương với véc-tơ pháp tuyến của , tức là , hay . Giải hệ nói trên ta được , , suy ra . Ta thấy chính là điểm đối xứng với qua nên , suy ra . Chú ý: Trong Ví dụ 4, ta có thể tính một cách trực tiếp (không thông qua ) như sau. đối xứng với qua khi và chỉ khi trung điểm của thuộc và cùng phương với véc-tơ pháp tuyến của , tức là , hay . Giải hệ nói trên ta được , . Vậy giải bằng cách này, ta cũng được . Cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng . Giải Xét hệ gồm phương trình của và . Hệ này có nghiệm duy nhất , . Do đó cắt tại . Từ phương trình , cho ta được . Do đó điểm thuộc . Điểm đối xứng với qua khi và chỉ khi trung điểm của thuộc và cùng phương với véc-tơ pháp tuyến của , điều này có nghĩa là , hay . Giải hệ ta được , , suy ra . chính là đường thẳng đi qua và cho nên , hay . Chú ý (Cách lập phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một đường thẳng khác) Bài toán lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng có hai tình huống sau đây. Tình huống 1: và cắt nhau. Khi đó, gọi là giao điểm của và , lấy điểm thuộc ( khác ) và đối xứng với qua . Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua hai điểm và . Tình huống 2: song song với . Khi đó, lấy điểm thuộc và đối xứng với qua . Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua điểm và song song với . Tình huống 1: và cắt nhau Tình huống 2: song song với Cho hai điểm và . Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Ta giải bài toán nói trên theo hai cách. Cách 1 (Quy về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức): Điểm thuộc trục hoành nên có tọa độ dạng . Ta có . Áp dụng bất đẳng thức với và , ta có . Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , hay . Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi . Cách 2 (Sử dụng phép đối xứng trục): Gọi là điểm đối xứng với qua trục hoành. Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách nên . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi là giao điểm của đoạn với trục hoành ( và nằm về hai phía trục hoành nên điểm như thế tồn tại). Dễ thấy . Suy ra phương trình đường thẳng là , hay . Từ phương trình , cho suy ra . Vậy . Chú ý (Bài toán tổng quát của Ví dụ 6): Ta xét bài toán: Cho hai điểm , không thuộc đường thẳng . Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tình huống 1: và nằm khác phía . Khi đó điểm cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng với . Tình huống 2: và nằm về cùng một phía . Khi đó, lấy điểm đối xứng với qua . Nếu làm như vậy thì và nhỏ nhất khi là giao điểm của với . Vấn đề còn lại là làm cách nào để biết và nằm về cùng một phía hay khác phía ? Để trả lời câu hỏi này, ta xử dụng kiến thức sau. Xét đường thẳng , ký hiệu là biểu thức ở vế trái của phương trình tổng quát của phương trình . Đường thẳng chia mặt phẳng tọa độ làm hai phần: một phần gồm tất cả những điểm mà , phần còn lại gồm tất cả những điểm mà . Như vậy, là điều kiện cần và đủ để và nằm về cùng một phía của . Tương tự, là điều kiện cần và đủ để và nằm về cùng một phía của . Bài tập Cho hai đường thẳng và . Giả sử là đường thẳng đi qua điểm và cắt , lần lượt tại các điểm , sao cho là trung điểm của . Tìm tọa độ điểm . Đáp số: . [ĐHB11Chuẩn] Cho và . Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm thỏa mãn . Đáp số: hoặc . Tìm tọa độ đỉnh của tam giác cân biết , và nằm trên đường thẳng . Đáp số: . Cho điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của lên . Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua . Đáp số: 1) Hình chiếu của lên là . 2) . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng . Đáp số: . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng điểm . Đáp số: . Cho đường thẳng và hai điểm và . Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: . Cho đường thẳng và hai điểm và . Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: . Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Nội dung phương pháp Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta thường đưa phương trình của cả hai đường thẳng về dạng tổng quát: (), (). Bài toán nói trên được quy về việc xét số nghiệm của hệ . (1) Hệ nói trên tương đương với . Ký hiệu , , . và cắt nhau hệ có nghiệm duy nhất . Trong trường hợp này nghiệm duy nhất của hệ là , , nghiệm của hệ đồng thời là tọa độ giao điểm của và . và song song hệ vô nghiệm . và trùng nhau hệ có vô số nghiệm . Nhận xét. Cho đường thẳng Khi đó mọi đường thẳng song song với đều có dạng (với ) và vuông góc với có dạng . Một số ví dụ Cho hai đường thẳng và . Biện luận theo vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên. Giải Xét hệ gồm hai phương trình và , hay . Ta có , , . Do đó +) : Hệ có nghiệm duy nhất hai đường thẳng cắt nhau. +) : Hệ có vô số nghiệm hai đường thẳng trùng nhau. +) : Hệ có vô nghiệm hai đường thẳng song song. Cho ba đường thẳng , và Xác định để và cắt nhau. Tìm giá trị của để ba đường thẳng đã cho đồng quy. Giải Xét hệ phương trình . (2) Thay và trong hai phương trình cuối vào phương trình đầu ta được . (3) Hai đường thẳng và cắt nhau khi và chỉ khi phương trình hệ có nghiệm duy nhất, tương đương với phương trình có nghiệm duy nhất, tức là . Ba đường thẳng đồng quy thì trước hết và cắt nhau. Giải ta được . Thay vào ta được tọa độ giao điểm I của và là . Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi thuộc , tức là . Vậy ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi hoặc . Cho hai đường thẳng và . Tìm m để song song với . Trong trường hợp song song với , lập phương trình đường thẳng cách đều và Giải Đường thẳng song song với khi và chỉ khi . Khi thì và . Gọi là đường thẳng cần tìm, từ giả thiết suy ra song song với , theo nhận xét trên thì phương trình có dạng: . Gọi thuộc và thuộc . Theo giả thiết thì trung điểm của AB thuộc đường thẳng , tức là . Do đó phương trình của đường thẳng là hay . Cho hai đường thẳng và . Chứng minh rằng với mọi thì hai đường thẳng và luôn luôn cắt nhau. Tìm tập hợp giao điểm của và . Giải Xét hệ gồm các phương trình và Ta có , , . Vì với mọi nên và luôn luôn cắt nhau . Khi đó , . Suy ra giao điểm của , là . Ta có . Thay vào tung độ của điểm , ta được . Do đó tập hợp giao điểm là parabol . Tùy theo , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải Xét hệ phương trình Ta có , , +) Nếu Khi đó hệ có nghiệm duy nhất, suy ra khi là nghiệm của hệ, tức là , . +) Nếu thì . Đặt , suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy khi và chỉ khi , tức là điểm thuộc đường thẳng . +) Nếu thì . Đặt , suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy khi và chỉ khi , tức là điểm thuộc đường thẳng . Bài tập Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng. và ; và ; và . Đáp số: 1) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm ; 2) Hai đường thẳng song song; 3) Hai đường thẳng trùng nhau. Biện luận theo vị trí tương đối của cặp đường thẳng , . Đáp số: : hai đường thẳng cắt nhau; : hai đường thẳng trùng nhau; : hai đường thẳng song song. Cho hai đường thẳng và . Tìm để và . 1) Cắt nhau; 2) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Đáp số: 1) ; 2) . Cho hai đường thẳng và . Chứng minh rằng song song với . Lập phương trình đường thẳng song song và cách đều và . Đáp số: . Cho hai đường thẳng và . Tìm để hai đường thẳng và cắt nhau, trong trường hợp đó tìm tập hơp giao điểm của hai đường thẳng và . Đáp số: Hai đường thẳng cắt nhau . Khi đó tập hợp giao điểm là đường thẳng trừ đi điểm . Tùy theo , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Đáp số: : ; : , đạt được ; : , đạt được . Khoảng cách và góc Khoảng cách Tóm tắt lý thuyết Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính bởi công thức . Các ví dụ [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mỗi trường hợp sau và . và . Giải Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có . Từ phương trình tham số của , khử tham số , ta được: , hay . Suy ra . [ĐHA06] Cho các đường thẳng , , . Tìm tọa độ điểm nằm trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng bằng hai lần khoảng cách từ đến đường thẳng . Giải Điểm thuộc đường thẳng nên tọa độ có dạng . Ta có , . Từ giả thiết ta có . Vậy hoặc . [SGK10NC] Cho ba điểm , và . Viết phương trình đường thẳng đi qua đồng thời cách đều và . Giải Đường thẳng đi qua nên phương trình có dạng (), hay . Ta có , . . TH1: . Cho suy ra . Do đó . TH2: , suy ra , hay (chú ý rằng khi thì phải khác ). Cho tam giác . Biết , , diện tích tam giác bằng và nằm trên đường thẳng . Giải Ta có , suy ra . Lại có , hay . Điểm thuộc đường thẳng nên tọa độ có dạng . Suy ra . So sánh hai biểu thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ở trên, ta được , hay . Phương trình trên có các nghiệm là và .