Giáo án lớp 12 môn Hình học - Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PP TOẠ ĐỘ Tìm m để phương trình sau co đúng một nghiệm: (1) Giải: Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của: mặt cầu (S): , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = 1 và mặt phẳng Do đó hệ (1) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và (a) tiếp xúc nhau Û Û TH1:m = 3 nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của O trên (a1): 2x – y + 2z – 3 = 0 đường thẳng D qua O và vuông góc với (a1) có phương trình giá trị của tham số t tương ứng với điểm chung của (a1) và D là t = Þ H TH2: m = -3. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của O trên (a2): 2x – y + 2z + 3 = 0 Þ H’ (tương tự như TH1) Vậy khi m = 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là khi m = - 3 thì hệ có mghiệm duy nhất là Giải hệ phương trình: (2) Giải: Nghiệm của hệ phương trình (nếu có) là toạ độ điểm chung của: Mặt cầu (S):, (S) có tâm I(3; -1; 1) bán kính R = 3 và (a): x + 2y + 2z + 6 = 0 ta có Þ (S) và (a) tiếp xúc nhau Þ Hệ (2) có nghiệm duy nhất và nghiệm của hệ là hình chiếu vuông góc H của I trên (a) Đường thẳng D qua I và vuông góc với (a) có phương trình giá trị của tham số t tương ứng với giao điểm của (a) và D là t = -1 Þ H (2; -3; -1) vậy hệ (2) có nghiệm duy nhất ( x = 2; y = -3; z = -1) Giải hệ phương trình: (3) Giải: Nghiệm của hệ là tọa độ điểm chung của: Mặt cầu (S): và đường thẳng D: D qua M(0; 4; 0) và có VTCP = (-2; 6; 3) Þ D có phương trình tham số: Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung của (S) và D là nghiệm của phương trình: Û Þ D và (S) có hai điểm chung và Vậy hệ (3) có hai nghiệm và Chứnh minh rằng hệ phương trình sau vo nghiệm: Giải: xét f(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 Đặt: (vô lí) Vậy hệ vô nghiệm. Giải hệ phương trình: Giải: Cách 1: Mặt cầu (S): , tâm O bán kính R = và mp(a): x + y + z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất, dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3) Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1 Cách 2: Xét: f(x,y,z) = x + y + z Đặt: Đẳng thức xảy ra khi cùng phương với hay: (4) Thế (4) vào (3) ta được x = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1; z = 1) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: Giải: Số nghiệm của hệ pt là số điểm chung của: Hình tròn (H): , (H) có tâm I(1; 0) bán kính R = và đường thẳng D: x – y + a = 0 Do đó hệ có nghiệm duy nhất Û D tiếp xúc với (H), Û Û Tìm a để hệ sau có nghiệm: Giải: điều kiện Nghiệm của hệ phương trình nếu có là tọa độ điểm chung của: Đường tròn: (C): , tâm O(0; 0) bán kính R = và nửa mặt phẳng: (a): Vì O thong nằm trong nữa mặt phẳng (a) nên hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi , D: Û Kết hợp với điều kiện được Tìm a để hệ phương trình sau có hai nghiệm: Giải: Nghiệm của hệ phương trình nếu có là tọa độ điểm chung của: Đường tròn: (C): , tâm Ibán kính R = và đường thẳng D: x + ay - a = 0 Do đó hệ có hai nghiệm Û Û Û Û Giả sử và là hai nghiệm của hệ phương trình Chứng minh rằng: Giải: Vì và là hai nghiệm của hệ phương trình nên A và B nằm trên đường tròn (C): , bán kính R = Þ AB 2R Û (đpcm) Cho ba số thực x, y, z thỏa: . Tìm GTLN và GTNN của Giải: Xét mặt cầu (S): , tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng (a): = 0 Đường thẳng D qua O và vuông góc với (a) có phương trình giá trị tham số t tương ứng với giao điểm của D và (S) là t = ± Þ D và (S) cắt nhau tại 2 điểm: A và B ; Lấy M(x; y; z) Î (S), Luôn có Û Û Vậy Fmin = 6 đạt khi x = y = ; z = Fmax = 6 đạt khi x = y = ; z = Chứng minh rằng: "a, b, c Î R, ta có: abc(a + b + c) £ a4 + b4 + c4 Giải: Ta có: VT = a2bc + ab2c + abc2 và xét hai véctơ Þ Từ Þ VT = a2bc + ab2c + abc2 £ a2b2 + b2c2 + c2a2 (1) xét thêm: và Þ Do (2) Từ (1) và (2) Þ abc(a + b + c) £ a4 + b4 + c4 Đẳng thức xảy ra Û Chứng minh rằng nếu : a > c > 0 và b > c > 0 thì: Giải: Xét Mà Þ Đẳng thức xảy ra Û Cho 0 < x, y, z < 1. Chứng minh rằng x(1 – y) + y(1 – z) + z(1 – x) < 1 Giải: Ta chọn M, N, P theo thứ tự là ba điểm trên ba cạnh AB, BC, CA của tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Ûx(1 – y).sinA+z(1 –x)sinB+y(1 – z)sinC < .1.sin600 Û x(1 – y) + z(1 –x) + y(1 – z) < 1 (đpcm) Đặt AM = x; CP = y; BN = z thì 0 < x, y, z < 1 và SDAMP + SDMBN + SDNCP < SDABC