Giáo án lớp 12 môn Hình học - Giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau

giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau Nguyễn Bá Thủy. Trong quá trình học tập bộ môn toán, thường thì khi giải xong một bài toán, nếu đúng đáp số ta đã cảm thấy hài lòng và kết thúc công việc. Tuy nhiên nếu ta tiếp tục suy nghĩ, lật đi lật lại vấn đề để đề xuất bài toán liên quan và tìm cách giải mới thì việc làm này có lợi hơn rất nhiều. Nó tạo cho chúng ta thói quen chọn lọc, tìm tòi phương án tối ưu cho các bài toán, cho phép ta kiểm tra tính đúng đắn của các lời giải. Không những thế việc tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán còn giúp chúng ta nhìn nhận các bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau, cho phép khai thác bài toán một cách tối đa, từ đó có cơ sở tri thức cho việc định hướng và tìm tòi lời giải cho các bài toán. Trong khuôn khổ bài bào này chúng tôi xin giới thiệu cùng các bạn một vài ví dụ đơn giản minh hoạ cho việc giải toán bằng nhiều phương pháp khác nhau dựa trên sự nhìn nhận và phân tích bài toán theo các góc độ khác nhau. Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x =0. Sau khi nghiên cứu và khai thác các tính chất có thể có của các biểu thức có mặt ta có các lời giải sau: Lời giải 1: Do y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương với mọi x, do đó đầu tiên ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si. Ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy ta có: y³2 "x và y =2 khi x=0. Tức Lời giải 2: Do và luôn dương với mọi x nên y³0 với mọi x. Ta xét hàm số y2 (vì khi đó các hàm số y và y2 đồng thời có giá trị nhỏ nhất). Ta có: . Bởi vì: ; và các đẳng thức đồng thời xảy ra khi x =0 nên ta có: và đẳng thức xảy ra khi x= 0 suy ra y³2, đẳng thức xảy ra khi x=0. Tức là Lời giải 3: Nhận thấy hàm số đã cho xác định trên R là tập đối xứng và nên y là hàm số chẳn. Với mọi x1>x2>0, ta có y(x1)>0 và y(x2)>0 nên dấu của y(x1) – y(x2) cũng là dấu của . Ta có: do x1>x2>0 nên và hay "x1>x2>0. Từ đó suy ra y(x1) – y(x2), "x1>x2>0. Do đó với mọi x >0 thì y là hàm đồng biến. Từ tính chất chẳn của y ta suy ra với mọi x<0 thì y nghịch biến. Mà ta có y(0)=2. Vậy y đạt được giá trị cực tiểu tại x =0 duy nhất, khi đó yct=2. Vậy ta có: Lời giải 4: Chúng ta có thể giải quyết bài toán trên bằng phương pháp hình học. Ta có: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét DABC với ta có: . Theo bất đẳng thức về các cạnh của một tam giác ta có: . Hay . Đẳng thức xảy ra khi 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Nhưng do B và C nằm về hai phía đối với O trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất nên AB+AC = BC khi A trùng với O, khi đó x =0. Lời giải 5: Sau khi phân tích như ở lời giải 4, tiếp tục suy nghĩ ta nhận thấy rằng bài toán còn có thể được giải quyết bằng phương pháp véc tơ. Cụ thể là nhờ sử dụng bất đẳng thức: (*), bằng cách chọn: . Ta có: ; ; . áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy: Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết : x, y là các số thực thoả mãn (1) Đây là một bài toán rất đơn giản, bằng các công cụ khác nhau ta có các lời giải sau: Lời giải 1: Thông thường ta biến đổi trực tiếp bằng cách rút , rồi thay vào đẳng thức (1), ta có: để tồn tại x ta cần có: . Vậy . Lời giải 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 cặp số (x;y) và (3;2) ta được: . Vậy . Lời giải 3: Bằng phương pháp véc tơ, sử dụng bất đẳng thức bằng cách chọn , ta có: . Vậy . Lời giải 4: Dùng phương pháp lượng giác, sử dụng bất đẳng thức: bằng cách đặt (vì x2+y2=13), ta được: . Vậy . Qua các thí dụ trên chúng ta có thể phần nào thấy được ích lợi của việc giải bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. Nếu công việc này được tiến hành một cách thường xuyên sẽ giúp cho ta có thể đối phó một cách linh họat với các dạng toán gặp phải cũng như biết cách huy động kiến thức một cách linh hoạt trong các tình huống toán học. Chúc các bạn học tốt! Tài liệu tham khảo: Nguyễn Thái Hoè: Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán. NXB Giáo dục, H.1997 Nguyễn Bá Kim: PPDH môn Toán, NXB ĐSP, H.2002 G.Polya: Giải bài toán như thế nào? NXB Giáo dục, H.1981 G.Polya: Sáng tạo toán học. NXB Giáo dục, H.1992