Giáo án lớp 12 môn Hình học - Hệ đối xứng loại 1

Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -27- Heä ñoái xöùng loaïi 1 A. Toùùm taét lyù thuyeát I. Ñònh nghóa: Xét hệ hai phương trình hai ẩn x , y . Hệ được gọi là đối xứng loại 1 nếu có tính chất: khi thay đổi vai trò của x , y thì từng phương trình của hệ không đổi. Trong phần này, ngoài việc giải hệ phương trình đối xứng loại 1, ta còn quan tâm đến hệ phương trình có thể quy về hệ đối xứng loại 1. Để giải loại hệ này, ta thường sử dụng định lý viet đảo. II. Ñònh lyù Viet ñaûo: Xét hệ   x y S 1 xy P     và phương trình  2t St P 0 2   . Khi đó:   1 có nghiệm   2 có nghiệm  ( 2S 4P 0  ).  Trong trường hợp  2 có nghiệm 1t và 2t thì:   1 2 2 1 x t y t 1 x t y t        . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -28- B. Caùc ví duï Ví duï 1. Giải các hệ phương trình sau 1) x y 5 xy 6     . 2) x y 3 3xy 2       . 3) x y 3 xy 5     . 4) 1x y 2 xy 5        . 5) x y 7 xy 13     . Giaûi 1) Ta có phương trình 2t 5t 6 0    t 2 t 3    . Do đó hệ đã cho x 2 y 3 x 3 y 2         . 2) Ta có phương trình 2 3t 3t 0 2     3 15 2 3 15 2 t t       . Do đó hệ đã cho 3 15 2 3 15 2 3 15 2 3 15 2 x y x y               . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -29- 3) Ta có phương trình 2t 3t 5 0 ( 11 0)       vô nghiệm  hệ đã cho vô nghiệm. 4) Ta có phương trình 2 1t t 5 0 2     t 2 5t 2       . Do đó hệ đã cho 5 2 5 2 x 2 y x y 2            . 5) Ta có phương trình 2t 7t 13 0 ( 3 0)       vô nghiệm  hệ đã cho vô nghiệm. Ví duï 2. Giải các hệ phương trình sau 1)  2 2 x y xy 3 1 x y xy 2       . 2)   2 2x y x y 8 1 xy x y 5          . 3)   2 2 4 4 (x y )xy 78 1 x y 97       . Giaûi 1)  1  (x y) xy 3 (x y)xy 2       . Đặt   S x y 2 P xy     , hệ  1 trở thành   S P 3 3 S.P 2     . Phương trình 2t 3t 2 0    t 1 t 2    . Do đó  3      S 1 4 P 2 S 2 5 P 1        . Thay  4 vào  2 ta có   x y 1 6 xy 2     . Ta có 21 4.2 7 0    nên  6 vô nghiệm. Thay  5 vào  2 ta có   x y 2 7 xy 1     . Ta có phương trình 2t 2t 1   t 1 nên  7  x y 1  . Vậy  1 có nghiệm duy nhất x y 1  . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -30- 2)  1      2(x y) x y 2xy 8 1 xy x y 5 2           . Ta có  2     xy 5 x y 3   . Thay  3 vào  1 , ta có    2x y x y 2 5 x y 8             2x y 3 x y 18 0      (3) (3) x y 6 xy 11 x y 3 xy 2             . Do đó  1      x y 6 4 xy 11 x y 3 5 xy 2            . Xét  4 : ta có  26 4.11 8 0       4 vô nghiệm Xét  5 : phương trình 2t 3t 2   t 1 t 2    . Do đó  5  x 1 y 2 x 2 y 1         . Vậy  1 có hai nghiệm x 1 y 2    và x 2 y 1    . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -31- 3)  1          78 2 2x y 2 22 2 xy 1 x y 2 xy 97 2          . Thay  1 vào  2 , ta có   222 2 78 2 2x y x y 2 97               22 22 2 2 2x y 97 x y 12168 0                22 2 22 2 x y 72 x y 169           2 2x y 13 3  . Thay  3 vào  2 , ta có xy 6 .  1  2 2x y 13 xy 6       2(x y) 2xy 13 xy 6        2(x y) 25 xy 6       x y 5 xy 6 x y 5 xy 6             x 2 y 3 x 3 y 2 x 2 y 3 x 3 y 2                    . Vậy  1 có bốn nghiệm x 2 y 3    , x 3 y 2    , x 2 y 3      , x 3 y 2      . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -32- Ví duï 3. [ĐHD04] Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm   x y 1 1 x x y y 1 3m        . Giaûi Đặt   u x 2 v y     ,  1 trở thành  3 3 u v 1 3 u v 1 3m       . Ta có  3     3 u v 1 u v 3uv u v 1 3m          u v 1 uv m     . Ta thấy  2 có nghiệm đối với x , y  u 0 v 0    . Do đó  1 có nghiệm   3 có nghiệm u 0 v 0     1 4m 0 1 0 m 0        140 m  . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -33- C. Baøi taäp Baøi 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 3 3 x y 1 x y 1       . ĐS:  1;0 ,  0;1 . 2) x xy y 11 x xy y 1        . ĐS:  1;5 ,  5;1 . 3) 2 2x y y x 20 1 1 5 x y 4         . ĐS:  1;4 ,  4;1 , 5 41 5 41, 2 2           , 5 41 5 41, 2 2           . 4) 2 2 2 2x y 2x y x y 1 3xy        . ĐS:  1;1 . 5) 2 2 3 3 x y xy 3 xy yx 2        . ĐS:  1;1 ,  1; 1  . 6) y x 2 x y 1 1 x y 4 x y           . ĐS:  1;1 . 7) 2 2x y x y 3 1 1 xy 1 x y           . ĐS:  1;1 . 8) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y xy 3x y x y xy x y         . ĐS:  1;1 ,  1; 1  . Baøi 2. Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 x y xy 1 x y 2       . ĐS:  1;1 ,  1; 1  ,  1; 1 . 2) 2 2 2 2 (x y)(x y ) 3 (x y)(x y ) 15         . ĐS:  1;2 ,  2;1 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc –Heä ñoái xöùng loaïi 1 ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 -34- 3)   2 2 2 2x y x y 1 2xy x y xy xy x y 1            . ĐS:  1;0 ,  0; 1 ,  1;1 ,  1; 1  . Chuù yù: Viết  0 0x ;y là nghiệm của hệ đối với hai ẩn x , y ta hiểu là: 0 0 x x y y    là nghiệm của hệ. Baøi 3. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm 1 1 x y 3 31 1 3 3x y x y 5 x y 15m 10              . ĐS:  74m ;2 22;     . Baøi 4. Cho hệ 2 2x y m x y 6       . 1) Giải hệ với m 26 . 2) Xác định m để hệ vô nghiệm. 3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. 4) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt. ĐS: 1) (1,5) , (5,1) . 2) m 18 . 3) m 18 . 4) m 18 . Baøi 5. Cho hệ   2 2 2 x y 2(m 1) x y 4        . 1) Giải hệ với m 1 . 2) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt. ĐS: 1)  0;2 ,  2;0 ,  0; 2 ,  2;0 . 2) m 6 . Baøi 6. Cho hệ 2 2 x xy y m 2 x y xy m 1         . 1) Giải hệ với m 3  . 2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: 1)  1;2 ,  2; 1 ,  1; 1  . 2) m 1 3m 4       .