Giáo án lớp 12 môn Hình học - Hình giải tích

Hình giải tích_HHKg Câu 1(ĐH AN GIANG_00D) Cho hình chóp tam giác OABC đỉnh O, dáy lμ tam giác đều ABC, AB=a, góc của các cạnh bên OA, OB, OC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng nhau vμ bằng . o45 1. CMR : OA=OB=OC. 2. Hãy tính thể tích của hình chóp theo a. Câu 2(ĐH AN GIANG_01B) Cho hình lập ph−ơng có các cạnh bên vμ độ dμi cạch AB=a. Cho các điểm M, N trên cạnh sao cho . Xét mặt cầu (K) đi qua bốn điểm: A, ,M vμ N. 1 1 1 1ABCD.A B C D 1 1 1AA ,BB ,CC ,DD1 1CC 1CM MN NC= = 1B 1. CMR các đỉnh vμ B thuộc mặt cầu (K). 1A 2. Hãy tính độ dμi của bán kính mặt cầu (K) theo a. Câu 3(ĐH AN GIANG_01B) Cho hình lập ph−ơng ABCD.ABCD có độ dμi cạnh bằng 1. Các cạnh bên AA, BB, CC ,DD. Đặt hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1). 1. Hãy viết ph−ơng trình chùm mặt phẳng chứa đ−ờng thẳng CD. 2. Kí hiệu (P) lμ mặt phẳng bất kì chứa đ−ờng thẳng CD còn α lμ góc giữa mặt phẳng (P) vμ mặt phẳng (BBDD). hãy tìm giá trị nhỏ nhất của . α Câu 3(ĐH AN NINH_98A) Trong không gian Oxyz cho đ−ờng thẳng (d): x y z 1 0 x y z 1 0 + + + =⎧⎨ − + − =⎩ Vμ hai mặt phẳng 1(P ) : x 2y 2z 3 0+ + + = 2(P ) : x 2y 2z 7 0+ + + = Viết ph−ơng trình mặt cầu có tâm I trên đ−ờng thẳng (d) vμ tiếp xúc với hai mặt phẳng . 1 2(P ),(P ) Câu 4(ĐH AN NINH_99A) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA=x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 1. Tính thể tích hình chóp theo x vμ y. 2. Với x, y nμo thì thể tích hình chóp lμ lớn nhất? Câu 5(ĐH AN NINH_00A) Cho góc tam diện Oxyz vμ 1 8 đ−ờng tròn đơn vị 2 2 2x y z 1+ + = x 0,y 0,z 0≥ ≥ ≥, trong góc tam diện ấy. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với 1 8 mặt cầu ấy tại M, cắt Ox, Oy, Oz lần l−ợt tại A, B, C sao cho OA=a>0, OB=b>0, OC=c>0. Chứng minh rằng: 1. 2 2 2 1 1 1 1 a b c + + = . 2. . Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức. 2 2 2(1 a )(1 b )(1 c ) 64+ + + ≥ Câu 5(ĐH AN NINH_01A) Cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz. Trên các nửa trục toạ độ Ox, Oy, Oz lấy các điểm t−ơng ứng A(2a;0;0), B(0;2b;0), C(0;0;c) với a>0, b>0, c>0. 1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c. 2. Tính thể tích khối đa diện OABE trong đó E lμ chân đ−ờng cao AE trong tam giác ABC. Câu 6(ĐH AN NINH_01D) Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần l−ợt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c (a,b,c>0) . 1. CMR tam giác ABC có ba góc nhọn. 2. Gọi H lμ trực tâm tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 3. CMR bình ph−ơng diện tích tam giác ABC bằng tổng bình ph−ơng diện tích các mặt còn lại của tứ diện OABC. Câu 7(ĐH BK HN_97A) Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuân Oxyz cho M(1;2;-1) vμ đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình : x 1 y 2 z 2 3 2 + − −= =− 2 Gọi N lμ điểm đối xứng của M qua đ−ờng thẳng (d). Hãy tính độ dμi MN. Câu 8(ĐH BK HN_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) vμ mặt phẳng (P) có ph−ơng trình: x 1 2t (d) : y 2 t (P) : 2x y 2z 1 0 z 3t = +⎧⎪ = − − − + =⎨⎪ =⎩ 1. Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó tới (P) bằng 1. 2. Gọi K lμ điểm đối xứng với I(2;-1;3) qua đ−ờng thẳng (d). Hãy xác định toạ độ K. Câu 9(ĐH BK HN_99A) Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) vμ mặt phẳng (P) có ph−ơng trình: x 1 y 1 z 3(d) : 1 2 (P) : 2x 2y z 3 0 + − −= = 2− − + − = 1. Tìm toạ độ giao điểm A của (d) vμ (P). Tính góc giữa (d) vμ (P). 2. Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc (d) của (d) trên mặt phẳng (P). lấy điểm B nằm trên (d) sao cho AB=a, với a lμ số d−ơng cho tr−ớc. Xét tỉ số AB AM BM + với điểm M di động trên mặt phẳng (P). CMR tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất vμ tìm giá trị lớn nhất ấy. Câu 9(ĐH BK HN_00A) Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). 1. CMR hình chóp SABC có đáy ABC lμ tam giác đều vμ ba mặt bên lμ các tam giác vuông cân. 2. Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đ−ờng thẳng AB. M lμ điểm bất kì trên mặt cầu có tâm lμ D, bán kính R 1= 8 (điểm M không thuộc mặt phẳng (ABC)). Xét tam giác có độ dμi các cạnh bằng độ dμi các đoạn thẳng MA, MB, MC. Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì? Câu 10(ĐH BK HN_01A) Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m) với m lμ tham số. 1. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng AC vμ BD khi m=2. 2. Gọi H lμ hình chiếu vuông góc của O trên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất. Câu 11(PV BC TT_98A) Trong không gian Oxyz cho đ−ờng trẳng (Δ) có ph−ơng trình : 2x y 1 0 x y z 1 0 + + =⎧⎨ − + − =⎩ vμ đ−ờng thẳng (Δ) có ph−ơng trình 3x y z 3 0 2x y 1 0 + − + =⎧⎨ − + =⎩ 1. CMR hai đ−ờng thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng. 2. Viết ph−ơng trình tổng quát của mặt phẳng (β) đi qua hai đ−ờng thẳng (Δ) vμ (Δ). 3. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (β) vμ ba mặt phẳng tọa độ. Câu 12(PV BC TT_99A) Cho hai đ−ờng thẳng (Δ) vμ (Δ) có ph−ơng trình sau đây: x 1 y 1 z 2( ) : 2 3 1 x 2 y 2 z( ') : 2 5 + − −Δ = = − +Δ = = 2− 1. CMR hai đ−ờng thẳng (Δ) vμ (Δ) chéo nhau. 2. Viết ph−ơng trình đ−ờng vuônmg góc chung của (Δ) vμ (Δ). Câu 13(ĐH CS NN_00A) Cho hai đ−ờng thẳng 1(d ) 2 vμ (d ) có ph−ơng trình: 1 2 x 1 t x 0 (d ) : y 0 (d ) : y 4 2t ' z 5 t z 5 3t = + =⎧ ⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪= − + = +⎩ ⎩ ' − 1. CMR hai đ−ờng thẳng chéo nhau. 2. Gọi đ−ờng vuông góc chung của 1(d ) 2vμ (d ) lμ MN ( 1M (d ),∈ )). Tìm toạ độ của M,N vμ viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng MN. 2N (d∈ Câu 14(ĐH Cần Thơ_98B) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD lμ hình chữ nhật. Lấy M,N lần l−ợt trên các cạnh SB,SD,sao cho SM SN 2 BM DN = = . 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số SP CP . 2. Tính thể tích hình chóp SAMPN theo thể tích V của hình chóp SABCD Câu 15(ĐH Cần Thơ_98D) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình x+y+z+1=0 vμ đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình x 1 y 2 z 1 1 2 3 − − −= = Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P). Câu 16(HV BCVT_98A) Cho hình nón đỉnh S, đáy lμ đ−ờng tròn C bán kính a, chiều cao h=3a/4 Vμ cho hình chóp đỉnh S, đáy lμ một đa giác lồi ngoại tiếp C. 1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp . 2. Biết thể tích khối chóp bằng4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toμn phần của hình chóp. Câu 17(HV BCVT_99A) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD. 1 1 1 1A B C D mμ D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), . Gọi M lμ trung điểm của AD, N lμ tâm của hình vuông . Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các điểm B, , M, N. 1D (0;0;a) 1 1CC D D 1C Câu 18(HV BCVT_00A) Trong không gian cho hai đ−ờng thẳng : 1 2 x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9( ) : ( ) : 7 2 3 1 2 − − − − − −Δ = = Δ = =− −1 1. Hãy lập ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng thẳng 3( )Δ đối xứng với 2( )Δ qua 1( )Δ 2. Xét mặt phẳng ( ) : x+y+z+3=0. α a) Viết ph−ơng trình hình chiếu của 2( )Δ theo ph−ơng lên mặt phẳng ( ) . 1( )Δ α b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (α ) để 1MM MM+ 2 uuuuur uuuuur đạt đ−ợc giá trị nhỏ nhất, biết vμ . 1M (3;1;1) 2M (7;3;9) Câu 19(HV BCVT_01A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, AD=2a,AA=a. 1. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng AD vμ BC. 2. Gọi M lμ điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM 3 MD = . Tính khoảng cách từ M đến (ABC). 3. Tính thể tích tứ diện ABDC. Câu 20(ĐH D−ợc HN_98A) Cho A(0;1;1) vμ hai đ−ờng thẳng 1 2(d ),(d ) 1 2 x y z 2 0x 1 y 2 z(d ) : (d ) x 1 03 1 1 + − + =⎧− += = ⎨ + =⎩ Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng qua A, vuông góc với vμ cắt . 1(d ) 2(d ) Câu 20(ĐH D−ợc HN_99A) Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;- 4;8).Tính độ dμi đ−ờng cao của tứ diện xuất phát từ A. Câu 21(ĐH D−ợc HN_01A) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S lμ điểm bất kì trên đ−ờng thẳng At vuông góc với (P) tai A. 1. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA=2a. 2. M, N lần l−ợt lμ hai điểm di động trên các cạnh CB, CD(M∈CB, N∈CD) vμ đặt CM=m, CN=n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m vμ n để các mặt phẳng (SMA) vμ (SAN) tạo với nhau một góc . o45 Câu 22(ĐH Đμ Lạt_99B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD lμ hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Độ dμi các cạnh AB=a, AD=b, SA=2a. Gọi M lμ trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Câu 23(ĐH Đμ Lạt_01D) Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích toμn phần bằng 9a vμ các cạnh lập thμnh cấp số nhân. 1. Tính các cạnh của hình chữ nhật khi a=6. 2. XĐ a để tồn tại hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên. Câu 23(ĐH Đμ Nẵng_01A) Cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình x 2y 3z 14 0− − + = vμ điểm M(1;-1;1) 1. Hãy viết ph−ơng trình mặt phẳng qua M vμ song song với (P). 2. Hãy tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P). 3. Hãy tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P). Câu 24(ĐH Đμ Nẵng_01A) Cho tứ diện S.ABC có SA=CA=AB=a 2 . SC vuông góc với (ABC), Tam giác ABC vuông tai A, các điểm Mthuộc SA vμ N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a). 1. Tính độ dμi đoạn thẳng MN. 2. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất. 3. Khi MN ngắn nhất hãy chứng minh MN lμ đ−ờng vuông góc chung của BC vμ SA. Câu 25(ĐH GTVT_97A) Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho ba điểm 1 1H( ;0;0),K(0; ;0), I(1;1; ) 2 2 1 3 a) Viết ph−ơng trình giao tuyến của mặt phẳng (HKI) với mặt phẳng x+z=0 ở dạng chính tắc. b) Tính cosin của góc phẳng tạo bởi (HKI) với mặt phẳng tọa độ Oxy. Câu 26(ĐH GTVT_97A) Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đ−ờng thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S. Gọi H vμ K lμ các hình chiếu vuông góc của A lên SB vμ SC. 1. CMR các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu. 2. Tình bán kính của mặt cầu trên biết AB=2, AC=3, oBAC 60= . Câu 27(ĐH GTVT_98A) Viết ph−ơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có ph−ơng trình vμ song song với mặt phẳng (P) có ph−ơng trình 4x+3y-12z+1=0. 2 2 2x 2x y 4y z 6z 2− + − + − − = 0 Câu 28(ĐH GTVT_99A) Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình . 16x 15y 12z 75 0− − + = 1. Lập ph−ơng trình mặt cầu (S) có tâm lμ gốc tọa độ vμ tiếp xúc với (P). 2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của (P) với (S). 3. Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua (P). Câu 29(ĐH GTVT_00A) Cho hình lập ph−ơng ABCD.ABCD, các cạnh của nó có độ dμi bằng 1. Trên các cạnh BB, CD, AD lần l−ợt lấy các điểm M, N, P sao cho: BM=CN=DP=a(0<a<1). CMR: 1. MN a.AB AD (a 1)AA'= − + + −uuuur uuur uuur uuuur 2. vuông góc với mặt phẳng (MNP). AC' uuuur Câu 30(ĐH GTVT_01A) Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đ−ờng cao SH=h. 1. XĐ thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua cạnh đáy BC vμ vuông góc với cạnh bên SA. 2. Nếu tỉ số h 3 a = thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nμo? Câu 31(HV HCQG_01A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, AD=2a, AA=a 2 vμ M lμ một điểm thuộc đoạn AD, K lμ trung điểm của BM. 1. Đặt AM=m (0 . Tính thể tích khối tứ diện AKID theo a vμ m trong đó I lμ tâm của hình hộp. Tìm vị trí của M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất. m 2a)≤ ≤ 2. Khi m lμ trung điểm của AD: a, Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (BKC) lμ hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a. b, CMR đ−ờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đ−ờng kính AA. Câu 32(ĐH Huế_98A ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng: 1 2 x 2 2t x 1 ( ) : y 1 t ( ) : y 1 t z 1 z 3 t = + =⎧ ⎧⎪ ⎪Δ = − + Δ =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩ + − 1. Chứng tỏ rằng vμ chéo nhau. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (1( )Δ 2(Δ ) )α chứa vμ song song với . 1( )Δ 2( )Δ 2. Tính khoảng cách giữa vμ 1( )Δ 2( )Δ . Câu 33(ĐH Huế _98A) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng 2a vμ chiều cao bằng a. 1. Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B vμ vuông góc với cạnh AC. 2. tính diện tích của thiết diện nói trên. Câu 34(ĐH Huế_00A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng nằm trong mặt phẳng y+2z=0 vμ cắt hai đ−ờng thẳng: 1 2 x 1 t x 2 t ( ) : y t ( ) : y 4 2t z 4t z 1 = − = −⎧ ⎧⎪ ⎪Δ = Δ = +⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩ Câu 35(ĐH Huế_00A) Cho S.ABC lμ một tứ diện có tam giác ABC lμ tam giác vuông cân đỉnh B vμ AC=2a; Cạnh SA vuông góc với (ABC) vμ SA=a. 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2. Gọi O lμ trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC). Câu 36(ĐH Huế _00D) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). 1. Viết ph−ơng trình tổng quát của các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) vμ (ABC). 2. XĐ toạ độ tâm I của hình cầu nội tiếp tứ diện OABC. 3. Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua (ABC). Câu 37(ĐH Huế_01A) Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau vμ OA=OB=OC=a. Kí hiệu M, N, K lần l−ợt lμ trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E lμ điểm đối xứng của O qua K vμ I lμ giao điểm của CE với (OMN). 1. Chứng minh CE vuông góc với (OMN). 2. Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Câu 38(ĐH Huế_01D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD lμ hình chữ nhật với AB=2a, BC=a. các cạnh bên của hình chóp bằng nhau vμ bằng a 2 . 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. 2. Gọi M, N, E, F lần l−ợt lμ trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh SN vuông góc với (MEF). 3. Tính khoảng cách từ A đến (SCD). Câu 39(ĐH KTQD_97A) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đ−ờng cao SO=1 vμ đáy ABC có cạnh bằng 2 6 . Điểm M, N lμ trung điểm của cạnh AC, AB t−ơng ứng. Tính thể tích của hình chóp SAMN vμ bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. Câu 40(ĐH KTQD_98A) Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng: 1 2 x 2y z 0x 1 y 2 z 3(d ) : (d ) : 2x y 3z 5 01 2 3 + − =⎧− − −= = ⎨ − + − =⎩ Câu 41(ĐH KTrúc_97A) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac Oxyz cho điểm A(1;2;1) vμ đ−ờng thẳng (D): x y 1 z 3 3 4 −= = + . 1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua điểm A vμ chứa đ−ờng thẳng (D). 2. Tính khoảng cách từ điẻm A đến đ−ờng thẳng (D). Câu 42(ĐH KTrúc_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho tứ diện S.ABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0), B(-5;2;0), C(-2;1;1). Tính khoảng cách giũă hai cạnh đối SA vμ BC. Câu 43(ĐH KTrúc_99A) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho một hình tứ diện có bốn đỉnh O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8). 1. Chứng minh SB vuông góc với OA. 2. CMR hình chiếu của SB lên (OAB) vuông góc với OA. Gọi K lμ giao điểm của hình chiếu đó với OA. Hãy tìm tọa độ K. 3. Gọi P, Quyền lần l−ợt lμ điểm giữa các cạnh SO vμ AB. Tìm tọa độ điểm M trên SB sao cho PQ vμ KM cắt nhau. Câu 44(ĐH KTrúc_01A) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Các điểm M, N lần l−ợt lμ trung điểm của OA vμ BC, P vμ Q lμ hai điểm trên OC vμ AB sao cho OP 2 OC 3 = vμ hai đ−ờng thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (MNPQ) vμ tìm tỉ số AQ AB . Câu 45(HV KTQS_97A) Tam giác ABC có A(1;2;5) vμ ph−ơng trình hai trung tuyến lμ: 1 2 x 3 y 6 z 1 x 4 y 2 z 2(d ) : (d ) : 2 2 1 1 4 1 − − − − − −= = = =− − 1. Viết ph−ơng trình chính tắc các cạnh của tam giác. 2. Viết ph−ơng trình chính tắc của đ−ờng phân giác trong góc A. Câu 46(HV KTQS_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc cho A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). 1. Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) vμ tính thể tích tứ diện ABCD. 2. Viết ph−ơng trình tham số đ−ờng thẳng vuông góc chung của AC vμ BD. Câu 47(HV KTQS_00A) Cho hai đ−ờng thẳng: 1 2 x y 2 z 4 x 8 y 6 z 10(d ) : (d ) : 1 1 2 2 1 1 − + + − −= = = =− − 1. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d) song song với Ox vμ cắt tại M, cắt tại N. Tìm tọa độ M, N. 1(d ) 2(d ) 2. A lμ điểm trên , B lμ điểm trên , AB vuông góc với cả vμ . Viết ph−ơng trình mặt cầu đ−ờng kính AB. 1(d ) 2(d ) 1(d ) 2(d ) Câu 48(HV KTQS_01A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho A(4;0;0), (với ) sao cho OB=8 vμ o oB(x ;y ;0) o ox , y 0> oAOB 60= 1. Xác định C trên Oz để thể tích OABC bằng 8. 2. Gọi G lμ trọng tâm của tam giác OAB vμ điểm M trên AC có AM=x. Tìm M để OM vuông góc với GM. Câu 49(ĐH Luật HN_99A) 1. Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) x y z 3+ + = vμ mặt cầu (C) 2 2 2x y z 12+ + = . Mặt phẳng (P) cắt (C) theo giao tuyến đ−ờng tròn. Tìm tâm vμ bán kính của đ−ờng tròn đó. 2. Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho A(-1;2;3) vμ các mặt phẳng (P): x+2=0 vμ (Q): y-z-1=0 Viết ph−ơng trình mặt phẳng (R) qua A vuông góc với cả (P) vμ (Q). Câu 50(ĐH Luật HCM_01A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi sao cho m+n=1 vμ m>0, n>0. 1. CMR thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vμo m vμ n. 2. Tính khoảng cách từ A đến (SMN). Từ đó suy ra (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Câu 51(ĐH Mỏ Địa Chất_98A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz xét đ−ờng thẳng có ph−ơng trình x y 4 z( ) 4 3 2 − +Δ = = − 1 Vμ mặt phẳng có ph−ơng trình x-y+3z+8=0(P) Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của ( )Δ trên (P). Câu 52(ĐH Mỏ Địa Chất_99A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt cầu (C) đ−ờng thẳng vμ măt phẳng (Q) lần l−ợt có ph−ơng trình: ( )Δ 2 2 2(C) : x y z 2x 4y 6z 67 0 2x y z 8 0 ( ) : 2x y 3 0 (Q) :5x 2y 2z 7 0 + + − − − − = − + − =⎧Δ ⎨ − + =⎩ + + − = 1. Viết ph−ơng trình tất cả các mặt phẳng chúa ( )Δ vμ tiếp xúc với (C). 2. Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc của ( )Δ lên (Q). Câu 53(ĐH Mỏ Địa Chất_00A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho tam giác ABC có C(3;2;3), đ−ờng cao AH nằm trên đ−ờng thẳng có ph−ơng trình: 1(d ) 1 x 2 y 3 z 3(d ) : 1 1 − − −= = 2− Vμ đ−ờng phân giác trong BM nằm trên đ−ơng thẳng có ph−ơng trình: 2(d ) 2 x 1 y 4 z 3(d ) : 1 2 − − −= = 1− Tính độ dμi các cạnh của tam giác ABC. Câu 54(HVNgân Hμng_98D) Trong không gian cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz vμ cho tam giác vuông cân OAB, vuông góc tại O, nằm trong mặt phẳng (xOy) mμ đ−ờng thẳng AB song song với trục Ox vμ AB=2a. Xác định toạ độ điểm A, điểm B, biết rằng A có hoμnh độ x>0 vμ tung độ y>0. Viết ph−ơng trình chính tắc của mặt phẳng đi qua điểm C(0;0;c), c>0, vuông góc với đ−ờng thẳng đi qua O vμ trọng tâm G của tứ diện OABC. Câu 55(HVNgân Hμng_99D) Cho hình lập ph−ơng ABCD.ABCD cạnh a vμ một điểm M trên cạnh AB,AM=x, 0<x<a. Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M chứa đ−ờng chéo AC của hình vuông ABCD. 1. Tính diện tích của thiết diện của hình lập ph−ơng cắt bởi mặt phẳng (P). 2. Mặt phẳng (P) chia hình lập ph−ơng thμnh hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích của khối đa diện kia. Câu 56(HVNgân Hμng HCM_01D) Cho tứ diện ABCD. Gọi A, B, C, D t−ơng ứng lμ trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Gọi G lμ giao điểm của AA, BB. 1. Chứng minh rằng: AG 3 AA' 4 = . 2. Chứng minh rằng: AA, BB, CC, DD đồng quy. Câu 57(ĐH Ngoại Ngữ_97D) Cho hai đ−ờng thẳng có ph−ơng trình: 1 2 x 2 2 x y 2z 0 (D ) : (D ) : y t x y z 1 0 z 2 t t= − +⎧+ + =⎧ ⎪ = −⎨ ⎨− + + =⎩ ⎪ = +⎩ 1. Chứng minh ( ) vμ chéo nhau. 1D 2(D ) 2. Tính khoảng cách giữa ( ) vμ . 1D 2(D ) 3. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ( )Δ đi qua điểm M(1;1;1) vμ cắt đồng thời cả ( ) vμ . 1D 2(D ) Câu 57(ĐH Ngoại Ngữ_99D) Bên trong hình trụ tròn xoay cho một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mμ hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đ−ờng tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đ−ờng tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc . Tính diện tích xung quanh vμ thể tích của hình trụ. o45 Câu 58(ĐH Ngoại Ngữ_00D) Trong không gian cho hai đ−ờng thẳng chéo nhau: x 1 3 2x 3y 1 0 (a) : (b) y 2 2t y z 1 0 z 1 t= − +⎧+ − =⎧ ⎪ = +⎨ ⎨+ + =⎩ ⎪ =⎩ Tính khoảng cách giữa A vμ B. Câu 59(ĐH Ngoại Ngữ_01D) Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0), D(0;0;2a), B(2a;2a;0), (a>0) . 1. Gọi E lμ trung điểm của đoạn BD, hãy tìm toạ độ giao điểm F của đoạn thẳng OE với mặt phẳng (ACD). 2. Tính thể tích hình chóp D.OABC 3. Tìm toạ độ điểm O đối xứng với O qua đ−ờng thẳng DB. Câu 60(ĐH Ngoại Th−ơng_98A) Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần l−ợt lấy các điểm A, B, C. 1. Tính diện tích tam giác ABC theo OA=a, OB=b, OC=c. 2. Giả sử A, B, C thay đổi nh−ng luôn có OA+OB+OC+AB+BC+CA=k (k:hằng số). Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. Câu 61(ĐH Ngoại Th−ơng HCM_01A) Cho hình lập ph−ơng ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Giả sử M vμ N lần l−ợt lμ trung điểm của BC vμ DD. 1. Chứng minh MN song song với (ABD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng BD vμ MN theo a. Câu 62(ĐH NN I_97A) Cho hai điểm A(1;2;3) vμ B(4;4;5) trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz . 1. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB. Tìm giao điểm P của nó với mặt phẳng xOy. Chứng tỏ rằng với mọi điểm Q thuộc mp(xOy), biểu thức QA QB− có giá trị lớn nhất khi Q trùng P. 2. Tìm điểm M trên mp(xOy)sao cho tổng các độ dμi MA+MB nhỏ nhất. Câu 62(ĐH NN I_99A) Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) vμ mặt phẳng (P) có ph−ơng trình x 1 y 2 z(d) : 3 1 − += = 1 (P) : 2x y 2z 2 0+ − + = 1. Lập ph−ơng trình mặt cầu (C) có tâm nằm trên đ−ờng thẳng (d), tiếp xúc với mp(P) vμ có bán kính bằng 1. 2. Gọi M lμ giao điểm của (P) với (d), T lμ tiếp điểm của mặt cầu (C) với (P). Tính MT. Câu 63(ĐH Nông Lâm HCM_01A) Cho hai đ−ơng thẳng: x 1 3t 2x 3y 4 0 (d) : (d ') : y 2 t y z 4 0 z 1 2t = +⎧+ − =⎧ ⎪ = +⎨ ⎨+ − =⎩ ⎪ = − +⎩ 1. CMR hai đ−ơng thẳng (d) vμ (d) chéo nhau. 2. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng đó. 3. Hai điểm A, B khác nhau vμ cố định trên một đ−ờng thẳng (d) sao cho AB 117= . Khi C di động trên (d), tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC. Câu 64(HV QHQT_97A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AA=a, AB=b, AD=c. Tính thể tích tứ diện ACBD theo a, b, c. Câu 65(HV QHQT_98A) Cho hình lập ph−ơng ABCD.ABCD với cạnh bằng a. 1. Hãy tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng AA vμ BD. 2. CMR đ−ờng chéo BD vuông góc với mặt phẳng (DAC). Câu 66(HV QHQT_99A) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 1. Giả sử I lμ một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB lμ nhỏ nhất. 2. Giả sử M lμ một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC vμ BD. Mặt phẳng nμy cắt các cạnh AD vμ DC, CB lần l−ợt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ lμ hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ lμ lớn nhất. Câu 67(HV QHQT_00A) Cho hình lập ph−ơng ABCD.ABCD với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần l−ợt lμ trung điểm của các cạnh AD, DC, CC, AA. 1. CMR bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. 2. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a. Câu 68(HV QHQT_01A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AB=a, BC=b, AA=c. 1. Tính diện tích của tam giác ACD theo a, b, c. 2. Giả sử M, N lần l−ợt lμ trung điểm của AB vμ BC. Hãy tính thể tích tứ diện DDMN theo a, b, c. Câu 69(HV QY_00A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC lμ tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) vμ tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC=a, BC a 3= vμ SB a 2= . Câu 70(HV QY_01A) Cho hai nửa mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ( )Δ . Trên lấy AB=a (a lμ độ dμi cho tr−ớc). Trên nửa d−ờng thẳng Ax vuông góc với ( )Δ ( )Δ vμ ở trong (Q) lấy điểm N sao cho 2 2 aBN b = . 1. Tính khoảng cách từ A đền (BMN) theo a, b. 2. Tính MN theo a, b. Với giá trị nμo của B thì MN có độ dμi cực tiểu. Tính độ dμi cực tiểu đó. Câu 71(HV QY_01A) Trong hệ tọa độ Oxyz cho đ−ờng thẳng có ph−ơng trình m(d ) mx y mz 1 0 x my z m 0 − − + =⎧⎨ + + + =⎩ 1. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng ( )Δ lμ hình chiếu vuông góc của lên mp(xOy). m(d ) 2. CMR đ−ờng thẳng ( luôn tiếp xúc với một đ−ờng tròn cố định có tâm lμ gốc tọa độ. )Δ Câu 72(ĐH QGHN_97A) AB lμ đ−ờng vuông góc chung của hai đ−ờng thẳng x vμ y chéo nhau, A thuộc x, B thuộc y. Đặt AB=d, m lμ một điểm thay đổi thuộc x, N lμ một điểm thay đổi thuộc y. Đặt AM=m, BN=n . Giả sử ta luôn có (m 0,n 0)≥ ≥ 2 2m n k 0+ = > , k không đổi. 1. Xác định m, n để độ dμi đoạn MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Trong tr−ờng hợp hai đ−ờng thẳng x, y vuông góc với nhau vμ mn 0≠ , hãy xác định m, n (theo k vμ d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị