Giáo án lớp 12 môn Hình học - Hình học giao tuyến không gian

0 Hình học GT không gian Một số kiến thức cần nắm vững Cho hai vectơ: 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )a x y z b x y z   + Tích vô hướng: 1 2 1 2 1 2.a b x x y y z z     . + Góc giữa hai vectơ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos( , ) . xx y y z z a b x y z x y z          + Tích có hướng của hai vectơ: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 [ , ] , , y z z x x y a b y z z x x y          + K/c giữa 2 điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB): 2 2 2 B A B A B AAB = (x - x ) +(y - y ) +(z - z ) + Diện tích ABC: 1 | [ , ] | 2 ABCS AB AC   + Đường cao AH của ABC: | [ , ] |AB ACAH BC    + Thể tích hình hộp: . ' ' ' ' [ , ]. 'ABCD A B C DV AB AC AA    + Thể tích tứ diện ABCD: 1 [ , ]. 6 ABCDV AB AC AD    + mp() có cặp vtcp ( ; ; ), '( '; '; ')u x y z u x y z   có vtpt: , ' ; ; ' ' ' ' ' ' y z z x x y n u u y z z x x y              + Đường thẳng có pttq: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0    có vtcp: B C C A A B; ; B' C' C' A' A' B' u         + K/c từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp(): Ax + By + Cz + D = 0 0 0 0 2 2 2 | Ax + By + Cz + D | d(M,( )) = A + B + C  + K/c từ điểm M1 đến đường thẳng  qua M0 cú vtcp u  : 1 0 1| [M M , ] |d(M , ) = | u | u     + Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau  và ’: ' 0'' ' 0| [ , ].M M |d( , ) = | [u, ] | u u u       + Đường tròn (C)là giao của mặt cầu (S) và mp(): 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 x a y b z c R Ax By Cz D             Có tâm H là hình chiếu của I trên mp(), có bán kính r = 2 2R d với ( , ( ))d d I  . Một số bài tập luyện tập: Bài 1: Trong hệ trục Oxyz cho 12 1 1 )( 1 zyx d         012 013 )( 2 yx zx d 1) CMR 2 đường thẳng trên chéo nhau và vuông góc với nhau. 2) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả 2 đường thẳng trên và song song với đường thẳng 2 3 4 7 1 4 )(        zyx . ĐS: 1) 1 Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng 211 :1 zyx d          tz ty tx d 1 21 :2 a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên. b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với mặt phẳng (P) x-y+z=0 và 2MN . ĐS: Bài 3: Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu: (S) 9)1()1()1( 222  zyx và mặt phẳng: (P) 2x + 2y + z - m 2 - 3m = 0. Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác định toạ độ tiếp điểm. HD: Bài 4: Trong hệ trục Oxyz cho A(0;1;1) B(1;0;0) C(1;2;-1). Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. HD: Bài 5: Oxyz cho      0422 0122 )( zyx zyx d (S) 064222  myszyx Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng (d) tại M,N sao cho MN = 9. HD: Bài 6: cho các điểm A(2;0;0) B(2;2;0) S(0;0;m) a) Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng SAB. a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA. CMR với mọi m>0 diện tích tam giác OBH < 4. Bài 7: cho các điểm A(1;1;1) B(1;2;0) và mặt cầu (S) có pt: 2 2 2 6 4 4 13 0x y z x y z       a) Viết phương trình mp chứa AB và tiếp xúc với (S). b) Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S), song song với AB và khoảng cách giữa (P) và AB nhỏ nhất (lớn nhất). HD: + sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng qua AB. +Tìm M thuộc (S) sao cho k/c (M,AB) nhỏ nhất, (P) tiếp xúc với (S) tại M. Bài 8: Trên hệ trục Oxyz cho A(2a;0;0) B(0;2b;0) C(0;0;2c) a,b,c>0. a) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC). b) Tính thể tích khối tứ diện OABE với E là chân đường cao từ E trong tam giác ABC. HD: Bài 9: Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Biết S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3). a) Lập phương trình đường vuông góc chung của AC và SD. b) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song song với AC. c) Gọi H là trung điểm BD, G là trưc tâm tam giác SCD Tính độ dài HG. Bài tập áp dụng: 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0) B(0;4;0) O1(0;0;4). a) Tìm toạ độ các điểm còn lại. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A,B,O1 . b) Gọi M là trung điểm AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA , AA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ Với A(0;0;0) B(2;0;0) D’(0;2;2). a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương. Gọi M là trung điểm BC. CMR (AB’D’) và (AMB’) vuông góc với nhau. b) CMR tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC’ với N khác A tới (AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. 3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ( 2; 1;0)A   , ( 2; 1;0)B  , S(0;0;3). a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với 2 đường thẳng AD và SC. 2 b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). 4) cho 2 đường thẳng : 2 1 1 2 3 1 :1       zyx d      0123 02 :2 yx zyx d a) CMR 2 đường thẳng trên song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả 2 đường thẳng trên. b) Mặt phẳng (Oxz) cắt d1, d2 tại A, B Tính diện tích tam giác OAB. 5) Cho 2 đường thẳng: 1 8 23 0 : 4 10 0 x z d y z        2 2 3 0 : 2 2 0 x z d y z        a) CMR đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả 2 đường thẳng trên và song song với Oz. 6) Cho 2 điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) và đường thẳng 3 1 2 2 2 2 :        zyx d a) CMR đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc 1 mặt phẳng. b) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA+IB nhỏ nhất. 7) Cho 2 điểm A(2;4;1) B(3;5;2) và đường thẳng: 2 1 0 ( ) : 2 0 x y z x y z           a) Xét vị trí tương đối giữa AB và (∆). b) Tìm điểm M thuộc thuộc (∆) sao cho MA MB   đạt GTNN. 8) Cho 3 điểm A(2; 0; 1) C(1 ; 0 ;1) B(2 ; -1; 0) và đường thẳng: 0 ( ) : 2 0 x y z d x y       Tìm điểm M thuộc thuộc (d) sao cho MA MB MC     đạt GTNN 9) Trong hệ trục Oxyz cho A(2; 0 ; 0) C(0 ; 4; 0) S(0 ; 0 ; 4). a) Tìm toạ độ B thuộc Oxy sao cho OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. b) Tìm toạ độ điểm A1 xứng A qua SC. 10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABC) và SA = a, E là trung điểm CD. Tính theo a khoảng cách từ S tới BE. 11) cho hai đường thẳng: 1 2 1 2 4 0 ( ) : , ( ) : 2 2 2 4 0 1 2 x t x y z y t x y z z t                    a) Lập PT mp(P) chứa (1) và song song với (2). b) Cho M(2; 1; 4). Tìm toạ độ H ((2) sao cho độ dài đoạn thẳng MH là ngắn nhất. 12. (Đề CT- khối A năm 2008)Trong không gian với hện toạ độ Oxy ,cho điểm A(2;5;3) và đuường thẳng d : 1 2 2 1 2 x y z    1.Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 2.Viết phương trình mp( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất . 13.( CT-KB-08) cho 3 điểm A(0;1;2),B(2;-2;1), C(-2;0;1). 1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C. 2.Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x +2y +z -3 = 0 sao cho MA=MB=MC. 13.(Đề CT- K D - 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). 1.Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểmA,B,C,D. 2.Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 14. (KA - 07)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 3 d1: 2 x = 1 2 1 1 y z    và d2: 1 2 1 3 x t y t z         1.Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau 2.Viết phương trình đương thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2 15. (KB - 07)Cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2-2x+4y+2z-3=0 và mặt phẳng (P) : 2x -y +2z -14 = 0. 1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 . 2.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớnnhất. 16.Cho hai điểm A(1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng 1 2 : 1 1 2 x y z      a)Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm G của tam giác OAB và vuông góc Với mặt phẳng (OAB) b)Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng  sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất 17.(DBKA - 07) cho 2 điểm A(-1;3;-2) , B(-3;7;-18) và mặt phẳng (P) : 2x-y+z+1 =0. 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) . 2.Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA +MB nhỏ nhất. 18. Cho các điểm A( 2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) và đường thẳng d:      024236 0236 zyx zyx a)Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau. b)Viết phương trình đường thẳng d// và cắt các đường thẳng AB,OC 19.(DBKB - 07Cho các điểm A(-3;5;-5) , B(5;-3;7) và mặt phẳng (P) x +y +z = 0. 1.Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) 2.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho (MA2 +MB2 ) nhỏ nhất 20.(DBKB - 07)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), M(0;-3;6). 1.Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x+ 2y-9 =0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO. Tìm toạ độ tiếp điểm . 2.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A,M và cắt các trục Oy,Oz tại các điểm tương ứng B,Csao cho VOABC =3 (đvtt ) . 21.(DBKD - 0)cho đường thẳng d: 1 1 1 2 2 3       zyx Và mặt phẳng (P) : x + + z +2 = 0. 1.Tìm giao điểm M của d và P . 2.Viết phương trình )(P sao cho d và d(M, ) = 42 22.(DBKD - 07)cho mp(P) : x – 2y +2z -1 = 0 và các đường thẳng d1: .: 5 5 46 5 d và 23 3 2 1 2          zyxzyx 1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P). 2.Tìm các điểm 21 d N, dM sao cho MN// (P)và cách (P) một khoảng bằng 2. 23 (KA - 06)Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0) 1.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN 2.Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  biết cos = 1 6 24.(DBKA - 06)cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(0,0,0), B(2,0,0),C(0,2,0) ,A'(0,0,2). a).Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC'). b).Chứng minh A'C vuông góc với BC'.Viết phương trình mặt phẳng (ABC'). 25.(DBKA - 06) cho mặt phẳng ( ) : 3x +2y -z +4 =0 và hai điểm A(4,0,0) ,B(0,4,0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . 1.Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( ) . 2.Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( ) ,đồng thời K cách đều gốc toạ độ O và mặt phẳng ( ) . 26.(KB - 06) Cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng : 1 1 1 1 2 :D , .2 21 1 : 21              zyx tz ty tx D 1.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với d1 và d2. 2.Tìm toạ dộ điểm N thuộc D1 và điểm M thuộc D2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng . 4 27(DBKB - 06) cho hai đường thẳng : 12 1 1 3 :D , 2 1 1 : 21 zyx z ty tx D              1.Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng D1và song song với đường D2. 2.Xác định điểm A trên D1 và điểm B trên D2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất . 28.(DBKB - 06) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P) : 2x - y +2z +5 = 0 và các điểm A(0;0;4),B(2;0;0). 1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) . 2.Viết phương trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) . 29.(KD - 06) Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng: 1 2 2 2 3 1 1 1 : , : . 2 1 1 1 2 1 x y z x y z d d             a)Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b)Viết phương trình đường thẳng  di qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. 30.(DBKD - 06) cho mặt phẳng (P) : 4x-3y+11z-26=0 và hai đường thẳng 1 2 3 1 4 3 : , d : . 1 2 3 1 1 2 x y z x y z d          1.Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau . 2.Viết phương trình đường thẳng ( )P ,đồng thời cắt cả d1 và d2 . 31. (DBKD - 06) cho A(1,2,0) ,B(0,4,0) ,C(0,0,3). 1.Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 2.Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA,sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P). 32. (KA - 05)Cho đường thẳng d: x 1 y 3 z 3 1 2 1       Và mặt phẳng (P) : 2x +y -2z +9 = 0. 1.Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) .Viết phương trình tham số của đường a)Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bẳng 2. b)thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) ,biết  đi qua A và vuông góc với d. 33. (DBKA - 05)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0) ,C(0,4,0) ,S(0,0,4). a)Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua đường thẳng SC. b)Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hìn chữ nhật . Trong đó O là gốc toạ độ .Viết phương trình mặt cầu đi qua O,B,C,S. 34. (DBKA - 05)Cho lăng trụ đứng OAB.O'B'C' với O(0,0,0), A(2,0,0) ,B(0,4,0) , O'(0,0,4) . a).Tìm toạ độ các điểm A',B'.Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A',B',O'. b).Gọi M là trung điểm của AB ,mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O'A và cắt OA, A'A lần lượt tại K,N,Tìm độ dài đoạn KN. 35.(KB - 05) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz trong hình lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 với A (0;-3;0), B (4;0;0), C (0;3;0), B1 (4;0;4). a)Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng b)Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, M và song song với a)BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. 36. (DBKB - 05)Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 có A(0;0;0), B(2;0;0), D1(0;2;2). Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của a)BC. Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc với nhau. b)Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N A) đến hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. 37. (DBKB - 05)Cho ba điểm A(1,1,0), B(0,2,0), C(0,0,2) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC .Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AC với mặt phẳng (P). b)Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.Viết phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC. 38. (KD - 05) Cho hai đường thẳng d1:       x 1 y 2 z 1 3 1 2 và d2: x y z x y 2 0 3 12 0         a)Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau .Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cảc hai đường thẳng d1 và d2 . b)mặt phẳng toạ dộ Oxy cắt hai đường thẳng d1,d2 lần lượt tại các điểmA,B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ). 39. (DBKD - 05)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 : 1 1 2 x y z d   và d2: 1 2 1 x t y t z t         5 a)Xét vị trí tương đối của d1 và d2. b)Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) x -y +z =0 và độ dai đoạn MN bằng 2 . 40. (DBKD - 05) cho điểm M(5,2,-3) và mặt phẳng(P) : 2x +2y –z +1 =0. a) Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) .Tìm toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn M1M. (D): x y z . 1 1 5 2 1 6       b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và chứa đường thẳng 41. (KA-09)Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho maởt phaỳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 vaứ maởt caàu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chửựng minh raống: maởt phaỳng (P) caột maởt caàu (S) theo moọt ủửụứng troứn. Xaực ủũnh toùa ủoọ taõm vaứ tớnh baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn ủoự. 42. (KA-09)Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho maởt phaỳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 vaứ 2 ủửụứng thaỳng 1 : x 1 y z 9 1 1 6     ; 2 : x 1 y 3 z 1 2 1 2       . Xaực ủũnh toùa ủoọ ủieồm M thuoọc ủửụứng thaỳng 1 sao cho khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn ủửụứng thaỳng 2 vaứ khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn maởt phaỳng (P) baống nhau. 43. (KB-09)Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD cú cỏc đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cỏch từ C đến (P) bằng khoảng cỏch từ D đến (P) 44. (KB-09)Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(- 3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc đường thẳng đi qua A và song song với (P), hóy viết phương trỡnh đường thẳng mà khoảng cỏch từ B đến đường thẳng đú là nhỏ nhất. 45. (KD-09) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xỏc định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). 46. (KD-09) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 2 y 2 z 1 1 1      và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuụng gúc với đường thẳng .