Giáo án lớp 12 môn Hình học - Hình học không gian tọa độ nâng cao

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ NÂNG CAO Bài 1: Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: . Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d. Bài 2: Cho điểm M(-2;3;1) và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M vuông góc với d và cắt d. Viết phương trình mặt cầu tâm I nằm trên d và bán kính IM=. Bài 3: Cho A(0;1;1), B(-1;0;2), C(-1;1;0), D(2;1;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Suy ra diện tích tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Viết pt đường thẳng d qua I và vuông góc với mp(ABC). Tính cosin của góc . Tính độ dài đường cao DH vẽ từ đỉnh D của tứ diện ABCD, biết thể tích tứ diện ABCD bằng . Bài 4: Cho A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;-2). Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tính độ dài đường cao AH vẽ từ đỉnh A của tứ diện ABCD. Bài 5: Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-z+5=0. Tìm giao điểm của d và (P). Xác định hình chiếu vuông góc của d lên (P). Bài 6: Cho d: và (P): x-2y-2z+3=0. Tìm giao điểm A của d và (P). Viết pt đường thẳng d’ qua A vuông góc d nằm trong (P). Bài 7: Cho d: và (P): x-2y+z+3=0. Tìm giao điểm d và (P). Viết pt mặt cầu có tâm I thuộc d bán kính bằng và tiếp xúc với (P). Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;0) cắt và vuông góc với đường thẳng d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P): , (Q): . Bài 9: Cho và (P): x+2y+3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d’ chứa trong (P) cắt và vuông góc với d. Bài 10(CĐ ĐL): Cho d: và (P): x-y-z-1=0. Viết pt chính tắc đường thẳng d’ qua điểm A(1;1;-2), song song với mp(P) và vuông góc với đường thẳng d. Bài 11(CĐ SP HCM): Cho (P): x-4y-2z=0 và hai đường thẳng d: và d’: . Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt d và vuông góc với d’. Bài 12 (Đ KT ĐN): Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC). Gọi d là đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABC). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy). Bài 13 CĐSP HCM: Cho A(0;-1;1), B(0;-2;0), C(2;1;1), D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và vuông góc mặt phẳng (BCD). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính bằng độ dài đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứa trục Ox. Bài 14 CĐ Ng Tất Thành: Cho M(1;1;-2) và d: và mp(P): x-y+2z-3=0. Tìm tọa độ giao điểm N của d và (P). Tính khoảng cách từ M đến (P). Suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm M và tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 15: CĐ KT: Cho hai đường thẳng d: và (P): y+2z=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) và cắt cả hai đường thẳng d và d’. Bài 16: Cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC). Bài 17: Cho (P): 2x+y-z+5=0 và A(0;0;4), B(2;0;0). Viết pt hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mp(P). Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với (P). ĐS: a=1, b=1, c=2. Bài 18: Cho A(-3;5;-5), B(5;-3;7) và (P): x+y+z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). Bài 19: Cho (P): 4x-3y+11z-26=0, d:, d’: . Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết pt đt nằm trong (P) cắt cả d và d’. Bài 20: Cho . Viết pt mp(P) chứa d1 và song song với d2. Xác định A thuộc d1 và B thuộc d2 sao cho đoạn thẳng AB nhỏ nhất. ĐS: A(1;-1;2), B(3;1;0). AD: AB vuông góc với d1 và d2. Bài 21: Cho (P): 3x+2y-z+4=0 và hai điểm A(4;0;0), B(0;4;0). Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với (P) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mp(P). ĐS: . Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A(0;0;0), B(2;0;0), C(0;2;0), A’(0;0;2). Chứng minh A’C vuông góc BC. Viết pt mp(ABC’). Viết pt hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’ lên mp(ABC’). Bài 23: Tìm giao điểm đt d: và (P): 2x-y+5z-4=0. Bài 24: Cho d: và (P): 2x+y+z-8=0. Tìm giao điểm của d và (P). Viết pt đt d’ là hình chiếu của d lên d’. Bài 25: Cho d: và (P): 2x+y+z-1=0. Tính góc giữa d và (P). Tìm giao điểm của d và (P). Viết pt đt d’ qua A vuông góc với d và nằm trên (P). Bài 26: Viết pt mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S): và vuông góc với đt d: . Bài 27: Cho M(-2;3;1) và d: . Tìm N thuộc d sao cho MN=. Bài 28: Tìm a để mp(P): 3x+4y-5z+a=0 tiếp xúc mc(S): . Bài 29: Cho A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0), D(-1;2;3). Viết pt mp(P) đi qua 3 điểm A, B, C. Tính khoảng cách từ D đến mp(P). Bài 30: Cho 4 điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2). Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện. Bài 31: Cho 2 đt . Chứng minh d và d’ chéo nhau. Tính độ dài đoạn vuông góc chung. Bài 32: Cho A(1;4;0), B(0;2;1), C(1;0;-4). Viết pt tổng quát mp(P) đi qua C và vuông góc với AB. Tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường thẳng AB. Bài 33: Cho A(1;1;-1), B(3;1;1) và (P): x+y+z-2=0. Tìm trên (P) điểm M sao cho tam giác MAB là tam giác đều. Bài 34: Cho d: và (P): 2x+y+z-1=0. Viết pt đường thẳng đi qua giao điểm của d và (P), vuông góc với d và nằm trong (P). Bài 35: Cho M(1;2;-3), N(-1;0;0), P(0;4;-3). Viết pt mp(MNP). Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi mp(MNP) và các mp tọa độ. Bài 36: Cho A(2;-1;1), B(-2;3;7) và d: . Chứng minh đt AB và đt d cùng thuộc một mp. Viết pt mp đó. Bài 37: Cho G(1;1;1). Viết pt mp(P) qua G và vuông góc OG. Mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 38: Viết pt đt d qua H(1;2;-1) cắt d’: song song với (P): x+y-z+3=0. Bài 39: Cho 4 điểm S(2;2;6), A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0). Chứng minh hình chóp S.ABCO là hình chóp đều. Viết pt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO. Bài 40: Cho d: . Chứng minh d và d’ thuộc 1 mp, viết pt mp đó. Bài 41: Cho (P): x+y+z-4=0 và 3 điểm A(3;0;0), B(0;-6;0), C(0;0;6). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm hình chiếu vuông góc của G lên (P). Bài 42: Cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;-2;0), C(2;1;-1). Viết pt mp(ABC). Viết pt tham số đt vuông góc mp(ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 43: Cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Viết pt mp(ABC). Gọi d là đường thẳng đi qua D(-1;-2;-3) và song song với đường thẳng AB. Tính khoảng cách giữa đt d và mp(ABC). Bài 44: Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Bài 45. Cho . Viết pt đường thẳng d qua M(3;2;1) vuông góc với d1 và cắt d2. Bài 46. Cho A(0;1;1), B(1;0;0), C(1;2;-1). Viết pt mp(P) đi qua 3 điểm A, B, C. Viết pt mp(Q) đi qua D(0;1;0) biết rằng giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d: . Bài 47: Cho và (P):2x+y-2z+9=0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2. Tìm giao điểm A của đt d và mp(P). Viết pt đt d’ qua A nằm trong (P), biết rằng d’ qua A và vuông góc với d. Bài 48: Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và (P): x+y+z-2=0. Viết pt mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P). Bài 49: Cho A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0), D(3;1;-2). Chứng minh rằng tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau. Chứng minh rằng hình chóp D.ABC là hình chóp đều. HD: Hìnhchóp đều có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Bài 50: Viết pt mặt cầu qua A(1;2;2), B(0;1;0) và có tâm thuộc trục Oz. Bài 51: Viết pt mặt cầu qua A(2;1;1), B(1;1;0), C(0;2;4) và có tâm thuộc mp(Oyz). Bài 52: Viết pt mặt cầu qua A(2;1;1), B(1;1;0), C(0;2;4) và có bán kính bằng . Bài 53: Viết pt mặt cầu qua A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1). Bài 54: Tìm điều kiện của m để họ đường cong là một họ mặt cầu. Bài 55: Tìm điều kiện của m để họ đường cong là một họ mặt cầu. Bài 56: Cho A(1;-1;5), B(0;0;1). Tìm M thuộc Oy sao cho tam giác MAB cân tại M. Bài 57: Cho A(2;1;-3), B(3;2;-1) và (P): x+2y+3z-4=0. Tìm I thuộc (P) sao cho I, A, B thẳng hàng. Giải Bài 58: Viết pt mp(P) đi qua G(1;2;3) vằ cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Giải Giả sử (P) cắt Ox tại A(a;0;0), Oy tại B(0;b;0), C(0;0;c). Pt (P): . Do G là trọng tâm tam giác ABC pt(P).................... Bài 59: Cho (P): 2x-3y+2z-3=0 và (S): Viết pt mp(Q) song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn. Bài 60: Cho (P): x+2y+3z-10=0 và (S): . Chứng minh (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tọa độ tâm H và bk r’ của (C). ĐS: H(3;2;1). Bài 61: Chú ý: Cho d: . Bài 62: Cho M(1;2-1) và d: . Tìm hình chiếu của M lên d. Suy ra M’ đối xứng với M qua d. Bài 63: Tìm giao điểm của d: và (P): y+z=0. H(0;0;0). Bài 64: Cho A(4;-1;-1) và . Chứng d và d’ chéo nhau. Viết pt đt qua A vuông góc với d và cắt d’. Bài 65: Cho d: và (P): 2x+2y+z-5=0. Chứng minh rằng d và (P) cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm A. Tính góc giữa d và (P). Viết pt đt d’ qua A nằm trong (P) vuông góc với d. Viết pt mặt cầu có tâm thuộc d bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P). Bài 66: Cho . Chứng minh rằng d và d’ song song với nhau. Tính khoảng cách giữa d và d’. Viết pt mp(P) chứa d và d’. Bài 67: Tìm giao điểm của d: vàv (P): 2x-y-2z+6=0. Bài 68: Cho A(1;1;-1) và (P): x+y+2z-6=0. Tìm hình chiếu của A lên (P). Tìm A’ đối xứng A qua (P). Bài 69: Cho A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). Chứng minh rằng tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. Bài 70: Cho d và (P): x+2y-z+5=0. Tìm giao điểm của d và (P). Tính góc giữa d và (P). Bài 71: Cho A(1;-1;2), B(3;4;1) và (P): x+2y+2z-10=0. Tìm điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng 11. Bài 72: Cho d: và (P): y-z+1=0. Tìm giao điểm của d và (P). Tính góc giữa d và (P). Bài 73: Cho A(0;1;1), d: . Viết pt đt d’’ qua A vuông góc với d và cắt d’. Bài 74: Cho A(-1;2-3) và . Viết pt đt qua A vuông góc với vectơ và cắt d. Bài 75: Cho . Viết pt đt qua A cắt cả hai đt d và d’. Bài 76: Cho . Viết pt đt song song với d1 và cắt d2, d3. Bài 77: Viết pt đt qua A(-4;-5;3) và cắt hai đt d: . Bài 78: Viết pt đt qua A(1;-1;0) và cắt 2 đt d: . Bài 79: Cho d: và (P). Chứng minh rằng d nằm trong (P). HD: Lấy hai điểm A, B thuộc d rồi chứng A, B thuộc (P). Bài 80: Tìm giao điểm hai đường thẳng d: và d’: . Bài 81: Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt nhau . Bài 82: Cho điểm M(2;3;-1) và d: . Xác định điểm H thuộc d sao cho MH ngắn nhất. Bài 83: Cho d: và (P): 2x-y-2z+1=0. Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 1. Bài 84: Cho d: và (P): x+2y+z-1=0. Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng . Bài 85: Cho A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4). Viết pt đt BC. Hạ AH vuông góc với BC. Tìm tọa độ điểm H. Bài 86: Lập pt mặt cầu (S) qua A(3;1;0), B(5;5;0) và tâm thuộc trục Ox. Bài 89: Lập pt mc (S) qua A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và tâm thuộc (P): x+y+z-3=0. Bài 90: Lập pt mặt cầu (S) qua A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mp(P): 18x-35y-17z-2=0. Bài 91: Cho A(1;-4;3), B(1;0;5), C(0;3;-2), D(6;-1;-2). Viết pt đường vuông góc chung của AB và CD. Bài 92: Lập pt mc(S) có tâm gốc tạo độ và tiếp xúc mp(P): 16x-15y-12z+75=0. Chú ý: . Bài 93: Lập pt mc (S) có tâm thuộc d: , tiếp xúc (P): 2x+y-2z+2=0 và có bán kính bằng 1. Bài 94: Lập pt mc (S) có tâm thuộc d: và tiếp xúc hai mp(P): 3x+4y+3=0, (Q): 2x+2y-z+39=0. Bài 95: Viết pt mc (S) có bán kính bằng 3, tiếp xúc mp(P): 2x+2y+z+3=0 tại điểm M(-3;1;1). Bài 96: Cho hình chóp S.ABCD biết S(0;0;2), A(4;2;0), B(-4;2;0), C(-1;-2;0), D(1;-2;0). Viết pt các mặt bên của hính chóp. Chứng minh rằng O cách đều các mặt bên của hính chóp. Bài 97: Viết pt mặt cầu (S) có tâm thuộc d: và cắt (P): y-z=0 theo đường tròn lớn có bán kính bằng 4. ĐS: Tâm I(-1;2;2), bán kính r=4. Tâm là giao điểm của d và (P). Bài 98: Cho (P): 2x+2y+z=0. Viết pt mc(S) qua A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và cắt (P) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng 1. Giải Vì A, B, C thuộc (S) . Gọi d là khoảng cách từ tâm I(a;b;c) đến (P): . Do (P) cắt (S) theo đường tròn (C) bán kính bằng 1. Bài 99: Lập pt mc (S) có tâm I(0;2;-1) và cắt (P): 2x+y-2z-1=0 theo thiết diện là đường tròn có: Diện tích bằng 16. Chu vi bằng 2. Giải Khoảng cách từ I đến (P) bằng 1. Mp(P) cắt (S) theo (C) có bán kính r’: . Do (C) có dện tích bằng 16 . Do cu vi bằng 2. Bài 100: Chứng minh (P): y-2z+1=0 cắt (S): . Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến. Bài 101: Trong không gian cho tứ diện OABC có gốc tọa độ O, điểm A thuộc trục Ox, điểm B thuộc trục Oy, điểm C thuộc trục Oz và mp(ABC): 6x+3y+2z-6=0. Tính thể tích tứ diện OABC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Bài 102: Cho G(1;1;1). Viết pt mp(P) qua G và vuông góc OG. Mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lầ lượt tại các điểm A, B, C. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 103: Cho A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) và (P): x+2y+3z+4=0. Viết pt mp(Q) song song với (P) và cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo đường tròn có chu vi bằng . Bài 104: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết S(3;2;4), A(1;2;3), C(3;0;3). Gọi I là tâm hình vuông ABCD. Viết pt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Viết pt mặt phẳng tiếp diện tại A, B, C, D. Bài 105: Cho A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1). Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. Tính độ dài đường chéo AC và tìm giao điểm AC và BD. Bài 106: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ biêt A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Viết pt mp chứa MN và A’B. Tính góc giữa MN và A’B. Bài 107: Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1). Chứng minh ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau. Bài 108: Cho A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). Chứng minh ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau. Bài 109: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;0;1) và cắt mp(P): 2x-y+z+7=0 theo thiết diện là đường tròn có diện tích bằng . Bài 110: Xác định tâm và bán kính đường tròn: . Bài 111: Cho d: và (S): . Viết pt mp(P) vuông góc với d và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có diện tích bằng 18. Bài 112: Cho d: và (S): Chứng minh d tiếp xúc với (S) tại A. Tìm tọa độ tiếp điểm A. Viết pt mp(P) chứa d và tiếp xúc (S). HD: Tiếp diện tại A. Viết pt đt qua A và cắt (S) tại B sao cho AB lớn nhất. HD: Đt qua A và I. Viết pt đt qua A tiếp xúc (S) và vuông góc d. HD: . Viết pt đt qua A tiếp xúc (S) và tạo với d một góc 300. Giải - Giả sử . - . - Từ góc 300 suy ra: . Bài 113: Cho A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2). Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện. Bài 114: Tìm tâm và bán kính đường tròn: (P): 2x-2y-z+9=0 và (S): . Bài 115: Viết pt mc (S) có tâm thuộc d là giao tuyến hai mp(P): 2x+4y-z-7=0, (P’): 4x-5y+z-14=0 và tiếp xúc hai mp(Q): x+2y-2z-2=0, (Q’): x+2y-2z+4=0. HD: Do (Q)//(Q’). - Gọi A, B là giao điểm của d và (Q), (Q’). - Tâm I là trung điểm AB. - Bán kính bằng r=. - ĐS: . Bài 116: Viết pt mc(S) tâm I(1;2;-2) sao cho (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8.