Giáo án lớp 12 môn Hình học - Khoảng cách và góc

1 Khoảng cách và góc Loại 1. Khoảng cách A. Tóm tắt lý thuyết Cho điểm  0 0M x ;y , đường thẳng : ax by c 0    ( 2 2a b 0  ). Khi đó khoảng cách  d M; từ M đến  được tính bởi công thức   0 0 2 2 | ax by c | d M; a b      . B. Các ví dụ Ví dụ 1. [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau 1)  M 13;14 và : 4x 3y 15 0    . 2)  M 5; 1 và x 7 2t : y 4 3t        . Giải 1)   4.13 3.14 15 2 24 3 d M; 5      . 2) Từ PTTS của  , khử tham số t , ta được: y 4x 7 2 3:      : 3x 2y 13 0         3.5 2. 1 13 2 23 2 d M; 0        . Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho các đường thẳng 1d : x y 3 0   , 2d : x y 4 0   , 3d : x 2y 0  . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . Giải 3M d  tọa độ M có dạng  M 2a;a . Ta có   2a a 3 3 a 11 2 2 21 1 d M;d       ,     2a a 4 a 4 2 2 221 1 d M;d        . Do đó    1 2d M;d 2d M;d  3 a 1 a 4 2 2 2.   3 a 1 2 a 4   2          3 a 1 2 a 4 3 a 1 2 a 4           a 11 a 1          M 22; 11 M 2;1      . Vậy  M 22; 11  hoặc  M 2;1 . Ví dụ 3. [SGK10NC] Cho ba điểm  A 3;0 ,  B 5;4 và  P 10;2 . Viết PTĐTH đi qua P đồng thời cách đều A và B . Giải Giả sử  là đường thẳng cần tìm.  đi qua P  phương trình  có dạng    : a x 10 b y 2 0     ( 2 2a b 0  )  : ax by 10a 2b 0     . Ta có   3a 10a 2b 7a 2b 2 2 2 2a b a b d A;         ,   5a 4b 10a 2b 15a 2b 2 2 2 2a b a b d B;           .    d A; d B;    7a 2b 15a 2b    7a 2b 15a 2b 7a 2b 15a 2b          b 2a a 0    . * Xét trường hợp b 2a : cho a 1  b 2  x 2x 14 0   . * Xét trường hợp a 0 ( b 0 ): :by 2b 0    : y 2 0   . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Biết  A 2;0 ,  B 4; 2 , ABCS 10 và C nằm trên đường thẳng d : y x . Giải * Ta có  1ABC 2S AB.d C;AB    2SABC ABd C;AB  . Lại có  AB 6; 2    AB 2 10     d C;AB 10 1 . * yx 26 2AB :     AB : x 3y 2 0   . C d  tọa độ C có dạng  a;a     a 3a 2 2 2a 1 2 2 101 3 d C;AB 2      . Từ  1 và  2 suy ra 2 2a 1 10 10   2a 1 5   2a 1 5 2a 1 5        a 2 a 3          C 2;2 C 3; 3     . 3 Vậy  C 2;2 hoặc  C 3; 3  . Ví dụ 5. [ĐHB02] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm  12I ;0 , AB: x – 2y 2 0  và AB 2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C , D biết rằng A có hoành độ âm. Giải * Gọi H là trung điểm của AB  12AH AB , 1 2IH AD  AH 2IH (do giả thiết AB 2AD )  1 .     1 2 52 2221 2 IH d I;AB        2 . Từ  1 và  2  AH 5 . * Ta thấy AHI vuông tại H nên  2 2 2 254AI AH HI 3   . A AB  tọa độ A có dạng  A 2a 2;a   52AI 2a; a         2 22 25 252 4AI 2a a 5a 10a 4       . Từ  3 và  4 suy ra 2 25 25 4 45a 10a    2a 2a 0   a 0 a 2             thoûa maõn loaïi A 2;0 A 2;2     . * B AB , 2 2BI AI   B 2;2 . C I A C I A x 2x x y 2y y        C 3;0 , D I B D I B x 2x x y 2y y        D 1; 2  . Vậy  A 2;0 ,  B 2;2 ,  C 3;0 ,  D 1; 2  . Ví dụ 6. Cho 1 1 2 2 : ax by c 0 : ax by c 0          , ( 2 2a b 0  ). Chứng minh công thức tính khoảng cách  1 2d ;  giữa 1 , 2   1 21 2 2 2 | c c |d ; a b      . Giải Lấy  0 0 2M x ;y   0 0 2ax by c 0   . Ta có  1 2d ;    1d M;  0 0 12 2 | ax by c | a b        0 0 2 1 2 2 2 | ax by c c c | a b       1 2 2 2 | c c | a b   (ĐPCM). 4 Ví dụ 7. [SGKNC] Viết PTĐTH ' song song và cách đường thẳng : ax by c 0    một khoảng bằng h cho trước. Giải '/ /   phương trình ' có dạng ' : ax by c' 0    .  d '; h    2 2 | c c' | h a b     2 2| c c' | h a b    2 2 2 2 c c' h a b c c' h a b           2 2 2 2 c' c h a b c' c h a b          2 2 2 2 ' : ax by c h a b 0 ' : ax by c h a b 0              . Vậy 2 2' : ax by c h a b 0      hoặc 2 2' : ax by c h a b 0      . 5 C. Bài tập Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau 1)  M 1;1 , d : x y 2 0   . 2)  M 2;1 , y 1x 11 1d :    . 3)  M 1;5 , x 2t d : y 4 t     . Bài 2. Cho  0 0M x ;y . Chứng minh   0d M;Ox y ,   0d M;Oy x . Bài 3. Cho  P 2;5 và  Q 5;1 . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng các từ Q tới đường thẳng đó bằng 3 . Bài 4. [CĐ09NC] Cho các đường thẳng 1:x 2y 3 0    và 2:x y 1 0    . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng 1 2 . Bài 5. [ĐHB04] Cho hai điểm  A 1;1 ,  B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thằng x – 2y – 1 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6 . Bài 6. Biết diện tích ABC là 32S  ,  A 2; 3 ,  B 3; 2 và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng có phương trình d : 3x y 8 0   . Tìm tọa độ đỉnh C . Bài 7. [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh  A 1;4 và các đỉnh B , C thuộc đường thẳng x y 4 0   . Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18 . Bài 8. [ĐHD10NC] Cho điểm  A 0;2 và  là đường thẳng đi qua O . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH . Bài 9. Cho d : 3x 2y 4 0   . Viết phương trình đường thẳng d' trong các trường hợp sau 1)  d d,d' 2 . 2)  d d,d' 3 . 6 D. Đáp số Bài 1 1) 2 . 2) 3 22 . 3) 1 5 . Bài 3 d : x 2 0  hoặc d : 7x 24y 134 0   . Bài 4  M 1; 1 hoặc  513 3M ;  . Bài 5  C 7;3 hoặc  43 2711 11C ;  . Bài 6  C 1; 1 hoặc  C 2; 10  . Bài 7 ĐS:  3112 2B ; ,  3 52 2C ; hoặc  3 52 2B ; ,  3112 2C ; . Bài 8  : 5 1 x 2 5 2 y 0     hoặc  : 5 1 x 2 5 2 y 0     . Bài 9 1) 2) 7 Loại 2. Phân giác A. Tóm tắt lý thuyết Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình 1 1 1 1: a x b y c 0    , 2 2 2 2: a x b y c 0    . Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng là 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c 0 a b a b         . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [SGKNC] Cho ABC với  74A ;3 ,  B 1;2 và  C 4;3 . Viết phương trình đường phân giác trong góc A . Giải Ta có 7x y 34 7 2 31 4 AB :      AB : 4x 3y 2 0   , AC : y 3 0   phương trình các đường phân giác góc A là 4x 3y 2 y 3 5 1 4x 3y 2 y 3 5 1 0 0                   1 2 4x 2y 13 0 d 4x 8y 17 0 d         . Ký hiệu  F x;y là vế trái của PTĐTH 1d , ta có        F B .F C 5 . 17 85 0      B và C nằm về cùng một phía 1d  1d là phân giác ngoài góc A  2d là phân giác trong góc A . Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là 2d : 4x 8y 17 0   . Ví dụ 2. Cho 1 : 3x y 7 0    và 1 : 2x 6y 0   . 1) Chứng minh 1 và 2 cắt nhau và viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 . 2) Xác định phân giác góc tù tạo bởi 1 và 2 . Giải 1) Ta có 3 1 16 0 2 6       1 và 2 cắt nhau. Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là 8    2 22 2 3x y 7 2x 6y 0 3 1 2 6           4x 4y 7 0 2x 2y 7 0        . Vậy phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là: 1d : 4x 4y 7 0   và 2d : 2x 2y 7 0   . 2) Ta thấy   1A 0;7  . Ta có     0 28 7 21 1 2 4 224 4 d A;d       ,   0 14 7 212 2 2 2 22 2 d A;d      . Từ    1 2d A;d d A;d  2d là phân giác góc tù tạo bởi 1 và 2 . Chú ý: Xét hai đường thẳng cắt nhau 1 và 2 . Giả sử 1d , 2d là hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 . Lấy 1 2A   , tính các khoảng cách từ A đến 1d , 2d . Khi đó +) Khoảng cách lớn hơn là khoảng cách từ A đến phân giác góc tù, khoảng cách nhỉ hơn là khoảng cách từ A đến phân giác góc nhọn. +) Hai khoảng cách bằng nhau trong trường hợp 1 2    . Ví dụ 3. [SGKNC] Cho hai đường thẳng 1 : x 2y 3 0    , 2 : 3x y 2 0    . Viết PTĐTH  đi qua điểm  P 3;1 và cắt 1 , 2 lần lượt tại A và B một tam giác cân có đáy là AB . Giải Ta thấy:  thỏa mãn yêu cầu bài toán   vuông góc với một trong hai phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 . Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là x 2y 3 3x y 2 5 10 x 2y 3 3x y 2 5 10 0 0                              1 2 2 3 x 2 2 1 y 3 2 2 0 d 2 3 x 2 2 1 y 3 2 2 0 d                . * 1d    2 2 1; 2 3             : 2 2 1 x 3 2 3 y 1 0           : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       . * 2d    2 2 1; 2 3             : 2 2 1 x 3 2 3 y 1 0           : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       . Vậy    : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       hoặc    : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       . 9 C. Bài tập Bài 1. Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng 1d và 2d trong các trường hợp sau 1) 1d : x 2y 1 0   , 2d : x 3y 3 0   . 2) 1 x 2t d : y 4 t     , 2d : x y 7 0   . 3) 1 x 3t d : y 4 t     , 2 x t d : y 3t    . ĐS: 1)         1 2 : 2 1 x 2 2 3 y 2 3 0 : 2 1 x 2 2 3 y 2 3 0                . 2) 1 2 : 2y 11 0 : 2x 3 0       . 3) 1 2 : x 2y 6 0 : 2x y 6 0         . Bài 2. Viết phương trình các đường phân giác trong của ABC biết rằng các cạnh của nó nằm trên các đường thẳng có phương trình 3x 4y 0  , 4x 3y 0  và 5x 12y 101 0   . Bài 3. Cho  A 1;2 ,  B 3; 4 và  C 1; 2  . Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của ABC . Bài 4. Cho 1 : 3x y 1 0    và 2 x 2 t : y t      . Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo bởi 1 và 2 . Bài 5. Lập phương trình đường thẳng qua  P 2; 1 sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng 1d : 2x y 5 0   và 2d : 3x 6y 1 0   tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1d và 2d . ĐS: d : 3x y 5 0 d : x 3y 5 0        . Bài 6. [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh  C 4; 1 , phân giác trong góc A có phương trình x y – 5 0  . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. ĐS: BC : 3x 4y 16 0   . 10 Loại 3. Góc giữa hai đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b được ký hiệu là  a,b hoặc đơn giản hơn là  a,b và số đo của nó được định nghĩa như sau: +) Nếu a và b cắt nhau thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b . +) Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước số đo góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 0 . * Nhận xét: +)  a,b 90  . +) Gọi u  và v  lần lượt là các véc-tơ chỉ phương của các đường thẳng a và b , ta có:  u, v 90        a,b u, v         cos a,b cos u, v 1   .  u, v 90        a,b 180 u, v            cos a,b cos 180 u, v cos u, v 2         . Từ  1 và  2     cos a,b cos u, v   . * Định lý: 1 1 1 1 2 2 2 2 : a x b y c 0 : a x b y c 0             a a b b1 2 1 21 2 2 2 2 2a b . a b1 1 2 2 cos ,       . * Nhận xét: +)    1 2 1 2cos , cos ,n n     , trong đó 1n  và 2n  lần lượt là các véc-tơ pháp tuyến của 1 và 2 . +) 1 1    1 2 1 2a a b b 0  . 11 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [SGKNC] Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 , 2 trong các trường hợp sau 1) 1 x 13 t : y 2 2t        và 2 x 5 2t ' : y 7 t '       ; 2) 1 : x 5  và 2 : 2x y 14 0    ; 3) 1 x 4 t : y 4 3t        và 2 : 2x 3y 1 0    . Ví dụ 2. [SGKNC] Cho ba điểm  A 4; 1 ,  B 3;2 ,  C 1;6 . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB , AC . Ví dụ 3. Cho điểm  A 2; 3 . Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng x 3y 2 0   một góc 45 . Ví dụ 4. Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết rằng tam giác này cân tại A , AB , BC có phương trình lần lượt là y 3x 3  , x y 1  và AC qua  73M 0; . Giải AC qua  73M 0;  phương trình AC có dạng 7b3AC : ax by 0   ( 2 2a b 0  ). Đưa phương trình AB , BC về dạng tổng quát ta được: AB : 3x y 3 0   , BC : x y 1 0   . Tam giác ABC cân tại A   ABC ACB   cos ABC cos ACB  3 1 a b 2 10 2 22 a b      2 2a 2ab b 2 2 2 5a b      2 23a 10ab 3b 0    1 . * Thay b 0 vào  1 ta được a 0 (loại). * Nếu b 0 chia hai vế  1 cho 2b và đặt abt  ta thu được phương trình 23t 10t 3 0    1 3t t 3        . 12 +) 13t    a 1 b 3   b 3a  . Cho a 1  b 3   AC : x 3y 7 0    AC không song song với AB (thỏa mãn). A AB AC   3x y 3 0 A : x 3y 7 0          A 2;3 . +) t 3   ab 3   a 3b  . Cho b 1   a 3  73AC : 3x y 0    AC AB (loại) Vậy  A 2;3 . Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x – 2y 1 0  , BD : x – 7y 14 0  , AC đi qua  M 2;1 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải B AB BD   x – 2y 1 0 B : x – 7y 14 0        13215 5B ; . AC đi qua M  phương trình AC có dạng:    AC : a x 2 b y 1 0     AC : ax by 2a b 0    ( 2 2a b 0  ). Ta có:    AC, AB BD;AB     cos AC, AB cos BD;AB    a 2b 1 14 5.502 25 a b      2 27a 8ab b 0    1 . * Thay b 0 vào  1 ta được a 0 (loại). * Nếu b 0 chia hai vế  1 cho 2b và đặt abt  ta thu được phương trình 27t 8t 1 0    1 7 t 1 t      . +) t 1   ab 1   a b  . Cho b 1   a 1  AC : x y 1 0    AC không song song với BD (thỏa mãn). A AB AC   x – 2y 1 0 A : x y 1 0         A 3;2 . 13 I AC BD   x y 1 0 I : x – 7y 14 0         572 2I ; . C I A C I A x 2x x y 2y y        C 4;3 , D I B D I B x 2x x y 2y y        14 125 5D ; . +) 17t    a 1 b 7   b 7a  . Cho a 1  b 7   AC : x 7y 5 0    AC BD , loại. Vậy  A 3;2 ,  13215 5B ; ,  C 4;3 ,  14 125 5D ; . Ví dụ 6. [ĐHA12] Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND . Giả sử  11 12 2M ; và đường thẳng AN có phương trình 2x y 3 0   . Tìm tọa độ điểm A . Giải Giả sử hình vuông có cạnh là a . Ta có 2 22 2 2 2 a 5a 4 4AM AB BM a     , 2 22 2 2 2 a 10a 9 9AN AD DN a     , 2 2 22 2 2 a 4a 25a 4 9 36MN CM CN     . Suy ra:  2 2 25a 10a 25a2 2 2 2AM AN MN 4 9 36 2AM.AN 2a 5 a 102 .2 3 cos MAN       . Ta có: A AN  tọa độ A có dạng  A a;2a 3   11 72 2AM a; 2a    1 . AN : 2x y 2 0     AN u 1;2    2 . Từ  1 và  2 suy ra         11 7a 2 2a2 2 2 211 75 a 2a2 2 cos u;AM                . Ta có       u, AM MAN u, AM 180 MAN                   cos u, AM cos MAN cos u, AM cos MAN              2 2cos u, AM cos MAN   14        211 7a 2 2a2 2 1 22 211 75 a 2a2 2                  a 1 a 4         A 1; 1 A 4;5     . 15 C. Bài tập Bài 1. Cho 1 1 1d : y k x b  và 2 2 2d : y k x b  . 1) Chứng minh 1 2d d  1 2k k 1  . 2) Trong trường hợp 1d và 2d không vuông góc. Chứng minh rằng   1 21 2 1 2 k k tan d ,d 1 k .k    . Bài 2. Tính góc giữa 1d và 2d trong các trường hợp sau: 1) 1 x 2t d : y 4 t     , 2 x 2u d : y 2u    . 2) 1 x 2t d : y 4 t     , 2d : x y 7 0   . 3) 1d : x 2y 1 0   , 2d : x 4y 3 0   . 4) 1d : mx y 2 0   , 2d : x my m 1 0    . Bài 3. Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau: 1)  qua  M 1;1 và tạo với x 2t d : y 4 t     một góc o30 . 2)  qua  M 1;1 và tạo với d : x y 2 0   một góc o45 . D. Đáp số Bài 2 1)  1 2 3cos d ,d 10  . 2)  1 2 1cos d ,d 10  . 3)  1 2 9cos d ,d 85  . 4)  1 2 2 2mcos d ,d m 1   . Bài 3 1)  : x 8 75 y 7 75 0      , hoặc  : x 8 75y 7 75 0      . 2) : x 1 0   hoặc : y 1 0   .