Giáo án lớp 12 môn Hình học - Mặt cầu, khối cầu (3 tiết)

CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN §1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU (3 tiết) I. MỤC TIÊU: 1. Về kiến thức: - Làm cho HS hiểu được định nghĩa mặt cầu, hình cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng giữa mặt cầu và đường thẳng. - Nắm được các công thức diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. - Nhận biết được một số hình đa diện có mặt cầu ngoại tiếp. 2. Về kỹ năng - Biết xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, mặt cầu và đường thẳng. 3. Về tư duy và thái độ: - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: 1. Chuẩn bị của GV: Ngoài giáo án, phấn bảng còn có: Phiếu học tập. Các slides trình chiếu. Bảng phụ. 2. Chuẩn bị của HS: Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút còn có: - Kiến thức cũ về hình học không gian, về khối đa diện. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức, như: thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề, trình chiếu. Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề. IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: TIẾT 14: MẶT CẦU, KHỐI CẦU 1. Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số. 2. Kiểm tra bài cũ. 3. Bài mới: Hoạt động 1: Hình thành định nghĩa mặt cầu, khối cầu Các quả bóng như bóng đá cho ta về một hìh ảnh của một hình trong không gian ta sẽ gọi là mặt cầu. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng HĐTP 1: Đ/nghĩa mặt cầu ? Nêu định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng? gv hình thành và nêu đ/n mặt cầu trong không gian tương tự như định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng. + HS trả lời 1. Định nghĩa mặt cầu ĐỊNH NGHĨA: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi gọi là mặt cầu có tâm O và bán kính R. S(O;R)= HĐTP 2: Các thuật ngữ liên quan đến mặt cầu + Nêu vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu (S) ? + Vị trí tương đối này tuỳ thuộc vào yếu tố nào ? gv giới thiệu các thuật ngữ và đ/nghĩa khối cầu +HS trả lời: - điểm A nằm trong, nằm trên hoặc nằm ngoài mặt cầu. - OA và R Các thuật ngữ: Cho S(O;R) và điểm A nào đó a) Nếu OA = R thì A Î S(O;R) Þ OA gọi là bán kính. b) OA < R: A nằm trong mặt cầu. c) OA > R: A nằm ngoài mặt cầu. Định nghĩa khối cầu: Khối cầu S(O;R) là tập hợp các điểm M sao cho OM £ R HĐTP 3: Ví dụ củng cố. Yêu cầu HS theo dõi ví dụ 1 và 2 trong SGK. Yêu cầu HS làm HĐ1: H1: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. a) Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = b) Tính MG c) Phát biểu kết qủa Ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = ... b) c) Tập hợp các điểm M là S(G;) Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định. CMR: tập hợp các điểm M sao cho =0 là mặt cầu đường kính AB. Giải: Gọi I là trung điểm của AB, ta có: = MI2 – IA2 Þ đpcm Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 Hoạt động 2: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng HĐTP 1: Vị trí tương đối giữa mp và mặt cầu GV : bằng ví dụ trực quan : tung quả bóng trên mặt nước (hoặc 1 ví dụ khác) Yêu cầu HS thực hiện hoạt động 2 và 3 SGK/40. H2: Hãy chứng tỏ rằng điểm M là điểm chung của mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O;R) Û M Î (P) và HM2 = R2 – d2 H3: Từ hoạt động 2, có thể kết luận gì về giao của mặt cầu với mặt phẳng (P) trong các trường hợp: d > R; d < R; d = R. GV củng cố lại và đưa ra kết luận đầy đủ HS quan sát - Nếu d > R thì (P) không cắt mặt cầu. - d = R: (P) cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất H - d < R: (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn trên (P) có tâm là H, bán kính là r = 2. Vị trí tương đối giữa mp và mặt cầu. Cho S(O;R) và mặt phẳng (P). d = OH = d(O;(P)). Ta có các vị trí tương đối sau: a) d > R: b) d = R: (P) tiếp xúc với S(O;R). Ta gọi (P) là tiếp diện của mặt cầu tại H, H gọi là tiếp điểm. c) d < R Đặt biệt nếu d = 0, (P) đi qua tâm O của mặt cầu, (P) gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính và mặt cầu là đường tròn (O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu. ?1: Mệnh đề sau đây có đúng không: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H là (P) ^ OH tại H. Mệnh đề đúng. 4. Củng cố: Câu hỏi củng cố: - Định nghĩa mặt cầu, khối cầu. - Nêu các vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà: - Học lý thuyết. - Đọc trước phần còn lại của bài. TIẾT 15: MẶT CẦU, KHỐI CẦU (tiếp) I. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số: 2. Kiểm tra bài cũ: CH: Trình bày các vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. 3. Bài mới : Hoạt động 1 : Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Yêu cầu HS theo dõi bài toán 1 trong sách giáo khoa và thực hiện hoạt động 4. H4: a) Nếu hình chóp SA1...An nội tiếp một mặt cầu thì vì sao có thể kết luận rằng đa giác đáy A1AAn nội tiếp một đường tròn. b) Cho hình chóp SA1An có đáy nội tiếp đường tròn tâm I. Hãy xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp. ® GV kết luận HS thảo luận nhóm và đứng tại chỗ trả lời a) Hình chóp SA1...An nội tiếp một mặt cầu Þ các đỉnh A1 ,A2,,An nằm trên giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng đáy Þ thuộc đường tròn. b) Gọi D là trục của đường tròn tâm I. Gọi O là giao điểm của D với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Þ OS = OA1 = ...= OAn Þ hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp.. Hs ghi nhớ 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng (tiếp). Khái niệm: Mặt cầu đi qua mọi điểm của hình đa diện H được gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình H và hình H gọi là đa diện nội tiếp mặt cầu đó. Bài toán 1: Cho hình chóp SA1..An. Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp đường tròn. Kết luận: Hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp đường tròn. ?2: Tại sao có thể nói hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp? Hình tứ diện có thể xem là 1 hình chóp với đáy là một tam giác Þ đáy luôn nội tiếp được đường tròn Þ hình tứ diện luôn có mặt cầu ngoại tiếp. ?3: Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên không vuông góc với đáy có thể nội tiếp một mặt cầu không? Vì sao? Không, vì hình lăng trụ sẽ có ít nhất một mặt là hình bình hành mà hình bình hành không nội tiếp được đường tròn. Áp dụng phương pháp chứng minh bài toán 1 để tìm tâm. Trước hết hãy tính SI: Để tính bán kính ta dựa vào các tam giác đồng dạng. Gọi D là trục của tam giác đáy ABC. Gọi a là mặt phẳng trung trực của SA O = D Ç a Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABCD. Ta có: SI = Tam giác SMO đồng dạng với DSIA Þ Þ SO = = Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Hoạt động 2: Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng *Cho S(O;R) và đt D Gọi H là hình chiếu của O trên D và d = OH là khoảng cách từ O tới D . - Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, cho biết vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và đt D ? - Vị trí tương đối đó có được khi ta so sánh các đại lượng nào? Hs trả lời - D có thể cắt mặt cầu tại hai điểm phân biết, tại duy nhất một điểm hoặc không cắt mặt cầu. - Giao điểm của D và mặt cầu phụ thuộc vào mối quan hệ giữa d và R. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Vị trí tương đối: * d < R thì D Ç (S) = {A;B}. * d = R: D Ç (S) = {H}. Ta gọi D là tiếp tuyến với mặt cầu (H là tiếp điểm). - Nếu d > R thì D Ç (S) = Æ ?4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H là D vuông góc với bán kính OH tại H. b) Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H. Mệnh đề a) đúng. Mệnh đều b) đúng, các đường thẳng đó nằm trên tiếp diện của mặt cầu S. Yêu cầu HS thực hiện H5 trong SGK/42. H5: Gọi O là trọng tâm của tứ diện. Hãy chứng minh rằng khoảng cách từ O đến các cạnh của tứ diện đó bằng nhau. Vì O là trọng tâm của tứ diện đều nên OA = OB = OC = OD Þ các tam giác cân OAB, OAC, OBD, OAD, OBC, OCD bằng nhau Þ khoảng cách từ O đến các cạnh của tứ diện đó bằng nhau Þ có mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD. Bài toán 2: Hãy chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước. ?5: Đường thẳng đi qua điểm A nằm trong mặt cầu có tiếp xúc với mặt cầu hay không Không vì không thoả mãn mệnh đề a) câu hỏi 4. Trường hợp điểm A nằm ngoài mặt cầu, ta có định lý sau đây. ĐỊNH LÝ: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó: a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm bằng nhau. b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu. Yêu cầu HS làm HĐ6/43 H6: Lấy một mặt phẳng bấy kỳ đi qua AO, nó cắt mặt cầu S(O;R) theo một đường tròn (C). Gọi AH là một tiếp tuyến của đtròn đó. CMR: AH tiếp xúc với S(O;R). a) Tính độ dài AH theo R và d = OA. b) Kẻ HI ^ OA. CMR: I là điểm cố định. Vì AH là tiếp tuyến của đt (C)tại H nên khoảng cách từ O đến AH bằng R Þ AH cũng tiếp xúc với S(O;R) tại H a) AH = b) Trong tam giác vuông AHO ta có: OI.OA = OH2 Þ (không đổi) Þ I là điểm cố định Þ H nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với OA tại I Þ H Î (I;IH) = (P) Ç S(O;R) 4. Củng cố. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà. Phương pháp chứng minh một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp và biết áp dụng để tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một đa diện. Bài tập củng cố: Bài 1/SGK45: Trong không gian cho 3 đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho: AB ^ BC, BC ^ CD, CD ^ AB. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Tính bán kính nếu AB = a, BC = b, CD = c. (Gv vẽ hình, hs thảo luận nhóm và đứng tại chỗ trình bày bài giải). Giải: Giả thiết Þ AB ^ BD và AC ^ CD. Gọi I là trung điểm của AD Þ I cách đều 4 điểm A, B, C, D Þ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bán kính R = AD/ 2 Þ R = 4. Bài tập về nhà. Làm các bài tập 2, 3, 4, 5, 6 sgk trang 45 TIẾT 16: MẶT CẦU, KHỐI CẦU (tiếp) I. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số: 2. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1) Trả lời câu hỏi và làm bài tập 3 trong SGK/45: CH: Trình bày vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng. Bài tập: Học sinh làm bài tập 3 trong sách giáo khoa. Cho điểm M nằm trong mặt cầu (S). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng: a) Mọi mặt phẳng đi qua M đều cắt (S) theo một đường tròn. b) Mọi đường thẳng đi qua M đều cắt (S) tại 2 điểm phân biệt. HS1: Trình bày lý thuyết HS1 trả lời: Cả hai mệnh đề a) và b) đều đúng Các HS khác theo dõi câu trả lời của bạn. 2) Trả lời câu hỏi: Thế nào là mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện. Bài tập 5: Trong các mệnh đề sau: mệnh đề nào đúng: a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn b) Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu HS2 trả lời câu hỏi. a) là mệnh đề đúng. b) Sai. Hình minh hoạ: Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) Þ tứ diện ABCDE không nội tiếp mặc dù tất cả các mặt của đa diện này đều nội tiếp đường tròn. Nhận xét đánh giá bài làm của học sinh. Cho điểm HS khác nhận xét bài làm của bạn 3. Bài mới. Hoạt động 1: Các công thức tính thể tích và diện tích. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng Giới thiệu công thức tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu Ghi nhận kiến thức 4. Diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. S = 4PR2 V = 4PR3/3 Hoạt động 2 : Củng cố thông qua ví dụ Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - Hãy xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. - Xác định bán kính của mặt cầu ngoại tiếp. Từ đó tính bán kính. - Tính diện tích mặt cầu. a) Gọi O là giao điểm của các đường chéo của hình lập phương (O là tâm của hình lập phương) Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. - Bán kính là R = OA - R = B'D/2 = Diện tích mặt cầu S = 3pa2 (đvdt) b) Ta thấy khoảng cách từ O đến tất cả các mặt của hình lập phương bằng nhau Þ O chính là tâm của mặt cầu nội tiếp hình vuông. Bán kính r = khoảng cách từ O đến một mặt bất kỳ. Þ r = a/2 Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương b) Tính diện tích mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương (mặt cầu nội tiếp hình lập phương). Tiết trước chúng ta đã học cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (ví dụ 1- tiết 15). Yêu cầu HS trình bày lại cách xác định tâm. Tâm O là giao của đường cao SI với mặt phẳng trung trực của cạnh SA. Xét DSMO đồng dạng DSIA Þ Þ SO= mà SA2 = SI2 + IA2 =Þ R= Vậy thể tích của khối cầu phải tìm là V = Ví dụ 2: (Bài 7a/45) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. 4. Củng cố. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà. TIẾT 17: BÀI TẬP I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức : - Nắm định nghĩa mặt cầu, hình cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và đường thẳng. 2. Kỹ năng : - Nhận biết được 1 số hình đa diện có mặt cầu ngoại tiếp. - Xác định được tâm và bán kính mặt cầu. - Tính được diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 3. Tư duy, thái độ : - Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo. II. CHUẨN BỊ 1. Giáo viên: Hệ thống bài tập và câu hỏi gợi mở 2. Học sinh: Chuẩn bị kiến thức cũ liên quan đến trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác, mặt cầu, khối cầu, làm bài tập ở nhà. III. PHƯƠNG PHÁP: Vấn đáp, gợi mở, thuyết giảng. IV. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG 1. Ổn định lớp : 2. Kiểm tra bài cũ : - Định nghĩa mặt cầu, nêu công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. 3. Nội dung luyện tập. Hoạt động 1: Xác định tâm, bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Hoạt động của GV Hoạt động HS Ghi bảng Củng cố: Có vô số mặt cầu qua 3 điểm không thẳng hàng , tâm của mặt cầu nằm trên trục của ABC. + Có duy nhất một mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng a) Là mặt phẳng trung trực của AB b) Nếu A, B, C không thẳng hàng: - Gọi I là tâm của mặt cầu thì IA=IB=IC I d : trục ABC - Không có mặt cầu qua 3 điểm thẳng hàng c) Tập hợp tâm I là trục của đường tròn (C) cho trước. d) Có. Gọi M là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn (C), A Î (C). Gọi D là trục của đường tròn Þ I = D Ç mặt phẳng trung trục của MA Bài 2 /Trang 45 SGK a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 2 điểm phân biệt A, B cho trước b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 3 điểm phân biệt A, B, C cho trước c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước. d) Có hay không một mặt cầu đi qua 1 đtròn và 1 điểm nằm ngoài mp chứa đtròn Hướng dẫn HS áp dụng định lý trong SGK về tiếp tuyến với mặt cầu. a) Là trục của đường tròn nội tiếp tam giác. b) Bài 6/ Trang 45 a) Tìm tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. b) Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của hình tứ diện ABCD thì AB + CD = AC + BD = AD + BC. Hoạt động 2: Tính diện tích và thể tích mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp hình chóp Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - Hãy xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. HD: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD - Gọi O là trung điểm của IJ, hãy chứng mính O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có DABC =DBAD (c.c.c) Þ CI = DI Þ tam giác ICD cân Þ IJ ^ CD Tương tự IJ ^ AB. - Vì O là trung điểm IJ Þ hai tam giác vuông OBI và OCJ bằng nhau Þ OB = OC Mà O Î IJ Þ OA = OB và OC = OD Þ OA = OB = OC = OD Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có: CI2 = Þ IJ2 = Þ R2 = S = b) Giao của mặt cầu với các mặt của tứ diện là các đường tròn có bán kính bằng nhau Þ khoảng cách từ tâm O đến các mặt của tứ diện bằng nhau Þ tồn tại mặt cầu nội tiếp tứ diện. Bài 8/45: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Chứng minh rằng có một mặt cầu nội tiếp tứ diện. + Công thức tính dtích mặt cầu + Phát vấn hs cách làm + Gọi hs xác định tâm + Gọi hs xác định bkính + Củng cố : Đối với hình chóp có cạnh bên và trục của đáy nằm trong 1 mp thì tâm mặt cầu I = ad với a : trung trực của cạnh bên. d : trục của mặt đáy - - Tìm tâm và bán kính - Tìm tâm theo yêu cầu. + Trục và cạnh bên nằm cùng 1 mp nên dựng đường trung trực của cạnh SC Bài 9/45 : Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đôi một vuông góc - Cmr điểm S, trọng tâm ABC, và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC thẳng hàng. S = b) Goi G = SO Ç AI Þ G là trọng tâm của tam giác. 4. Củng cố : - Nắm được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện. - Biết cách tính dtích mặt cầu, thể tích khối cầu. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà: - Xem lại các bài tập đã chữa. BTVN: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đều = a. Xác định tâm và bkính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính dtích của mặt cầu ngoại tiếp đó và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu ngoại tiếp đó.