Giáo án lớp 12 môn Hình học - Mặt phẳng tọa độ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Mặt phẳng tọa độ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các định nghĩa * Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i  , véc-tơ đơn vị trên Oy là j  . * Tọa độ của véc-tơ:  a x;y   a xi yj     . * Tọa độ của điểm:  M x;y   OM x;y  . O y x j i 2. Tính chất * Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho  a x;y  và  b x';y '  , ta có +) a b    x x' y y '    ; +)  a b x x';y y '      ; +)  ka kx;ky  ; +) a b. xx' yy'    ; +) 2 2a x y   ; +)   2 2 2 2 a b xx' yy 'cos a,b a b x y x' y '              (a  , b 0   ); +) a b    xx' yy ' 0  ; +) a b     x kx'k y ky '      xy ' x'y . Đặc biệt: khi cả y và y ' đều khác 0 , ta có a b     yxx y  . * Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử  A A AA x ;y ;z ,  B B BB x ;y ;z ,  C C CC x ;y ;z , ta có +)  B A B AAB x x ;y y    ,    2 2B A B AAB x x y y    ; +)  M MM x ;y là trung điểm của AB  x xA B M 2 y yA B M 2 x y        ; +)  G GG x ;y là trọng tâm tam giác ABC  x x xA B C G 3 y y yA B C G 3 x y          . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ  a 1;2  ,  b 2; 4  . 1) Tìm tọa độ của các véc-tơ a b   , a b   , 4a 3b   . 2) Tính độ dài của hai véc-tơ a  , b  , tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ a  , b  . Góc giữa hai véc-tơ a  , b  là góc nhọn hay góc tù. Giải 1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có  a b 3; 2     ,  a b 1;6     . Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có  4a 4;8  ,  3b 6; 12   , suy ra  4a 3b 2;20     . 2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có a 5  , b 2 5  . Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có a b 6     ,   a b 6 3cos a,b 55 2 5a b             .  cos a,b 0   nên  a,b   là góc tù. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có  A 1;2 ,  B 3;7 ,  C 2; 6 . Xác định tọa độ trung điểm các cạnh và trọng tâm của tam giác nói trên. Giải Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Sử dụng công thức xác định trung điểm của đoạn thẳng ta có  92M 2; ,  5 12 2N ; và  32P ; 2 . Gọi G là trọng tâm của tam giác, theo công thức xác định tọa độ trọng tâm của tam giác thì  G 2;1 . Ví dụ 3. Cho các điểm  A 1;4 ,  B 2; 3 ,  C 1;18 ,  D 4;5 . Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng và ba điểm A , B , D không thẳng hàng. Giải Ta có  AB 1; 7  ,  AC 2;14  . Ta thấy AC 2AB    , suy ra hai véc-tơ AC  và AB  cùng phương, tức là A , B , C thẳng hàng. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Ta có  AD 5;1  . Vì 1 75 1    nên AB  và AD  không cùng phương, suy ra A , B , D không thẳng hàng. Ví dụ 4. Cho hai véc-tơ  a m;3  ,  b 2;2m 1   ( m là tham số). Tìm m để hai véc-tơ đã cho cùng phương. Giải Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi 3m2 2m 1     , hay 22m m 6 0   . Giải phương trình này ta được m 2  hoặc 32m  . Ví dụ 5. Cho hai điểm  A 1;2 và  B 3;7 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa độ. Giải Ta có  AB 4;5  . C thuộc trục hoành thì tọa độ C có dạng  C c;0 , suy ra  AC c 1; 2   . Từ điều kiện A , B , C thẳng hàng ta có c 1 24 5   hay 135c   . Vậy  135C ;0 . Tương tự, D thuộc trục tung nên tọa độ D có dạng  D 0;d , suy ra  AD 1;d 2  . Từ điều kiện A , B , C thẳng hàng ta có d 214 5  hay 134d  . Vậy  134D 0; . Ví dụ 6. Cho  A 1;2 ,  B 5;6 ,  C 3; 1 . 1) Chứng minh A , B , C không thẳng hàng. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Giải 1) Ta có  AB 4;4  ,  AC 2; 3  . Vì 4 42 3 nên A , B , C không thẳng hàng. 2) Vì A , B , C không thẳng hàng nên tồn tại điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Giả sử  D a;b , suy ra  DC 3 a; 1 b    . ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC   . C A B D Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta có 4 3 a 4 1 b       . Giải hệ ta được a 1  và b 5  . Vậy  D 1;5 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 Ví dụ 7. Cho tam giác ABC . Biết  M 1;2 ,  N 3; 2  ,  P 5;0 lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Giải Ta thấy AM PN   . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta có A A 1 x 8 2 y 2         . Suy ra  A 7;4 . Vì B đối xứng với A qua M nên B M A B M A x 2x x 9 y 2y y 0         , suy ra  B 9;0 . M P N A B C Vì C đối xứng với B qua N nên C N B C N B x 2x x 3 y 2y y 4         , suy ra  C 3; 4 . Vậy  A 7;4 ,  B 9;0 ,  C 3; 4 . Ví dụ 8. Cho tam giác ABC . Biết  A 1;2 ,  B 3;4 và C thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O . Giải Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng  C c;0 . Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm thì x x xA B C c 2 G 3 3 y y yA B C G 3 x y 3             , hay  c 23G ;3 . Ta có  c 23OG ;3  ,  OB 3;4  . G thuộc đường thẳng qua B và gốc tọa độ khi và chỉ khi OG  và OB  cùng phương, có nghĩa là c 2 3 3 3 4   . Giải phương trình này ta được 354c  . Vậy  354C ;0 . Ví dụ 9. Cho  A 1;2 và  B 3;7 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC cân tại C . Giải Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi AC BC và A , B , C không thẳng hàng. Điểm C thuộc trục tung nên tọa độ C có dạng  C 0;c . Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5  AC 1;c 2    2 2AC c 4c 5   ,  BC 3;c 7   2 2BC c 14c 58   . Phương trình AC BC tương đương với 2 2c 4c 5 c 14c 58     . Phương trình này có nghiệm duy nhất 5310c  . Khi đó  AB 4;5  , 33AC 1; 10        . Vì 4 5331 10    nên A , B , C không thẳng hàng. Vậy 53C 0; 10       . Ví dụ 10. Cho  A 3;2 ,  B 1;3 . Tìm điểm C thuộc trục hoành sao cho ACB 45  . Giải Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ C có dạng  C c;0 . Ta có  CA 3 c;2   ,  CB 1 c;3   . Sử dụng công thức tính cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có            2 2 2 2 22 2 3 c 1 c 2.3 c 4c 9cos ACB cos CA,CB c 6c 13. c 2c 103 c 2 . 1 c 3                     . Do đó điều kiện ACB 45  tương đương đương với  1cos ACB 2  , hay 2 2 2 c 4c 9 1 2c 6c 13. c 2c 10        . Ta thấy 2c 4c 9 0   với mọi c nên bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình tương đương       22 2 2 c 4c 9 1 2c 6c 13 c 2c 10        . Phương trình nói trên tương đương với      2c 1 c 2 c 5c 16 0      c 1c 2      ( 2c 5c 16 0   c ). Vậy  C 1;0 hoặc  C 2;0 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Ví dụ 11. Cho  A 1;2 ,  B 4;5 ,  C 2; 7  . 1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 2) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC . Giải 1) Ta có  AB 3;3  ,  BC 6; 12   . Vì 3 3 6 12    nên A , B , C không thẳng hàng. Do đó A , B , C là ba đỉnh một tam giác 2) Giả sử  I a;b . Ta có  IA 1 a;2 b       2 22 2 2IA 1 a 2 b a b 2a 4b 5         ,  IB 4 a;5 b       2 22 2 2IB 4 a 5 b a b 8a 10b 41         ,  IC 2 a; 7 b         2 22 2 2IC 2 a 7 b a b 4a 14b 53           . I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA IB IB IC    . Điều này tương đương với hệ 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 8a 10b 41 a b 8a 10b 41 a a b b 4a 14 2a 5 b 53 4b                     . Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương a b 6 a 2b 1        a 13 b 7     Vậy  I 13; 7 . Ví dụ 12. Cho tam giác ABC với  A 2;3 ,  B 2;0 ,  C 6;3 . Tìm tọa độ D là chân đường phân giác trong góc A . Giải Ta có  AB 4; 3    AB 16 9 5   ,  AB 4;0   AC 16 0 4   . D là chân đường phân giác trong góc A nên DB DC   và BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 DB DC AB AC  , hay 4DB 5DC . Suy ra 4DB 5DC 0     . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương với      4 2 a; b 5 6 a;3 b 0;0       , hay 9a 22 0 9b 15 0        . Giải hệ ta được 229a  , 5 3b  . Vậy  5229 3D ; . Ví dụ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 2f x x 2x 5 x 2x 10      . Giải Ta có      2 22 2f x 1 x 2 1 x 3      . Đặt  u 1 x;2   ,  u 1 x;3   . Áp dụng bất đẳng thức u v u u       (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v   ), ta có   2 2f x 2 5 29   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v   , hay 1 x 2 0 1 x 3     . Phương trình có nghiệm duy nhất 1 5x  .Vậy giá trị nhỏ nhất của  f x là 29 (đạt đươc khi 1 5x  ). BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 C. Bài tập Bài 1. Cho  a 1;2 ,  b 2;3  ,  c 3;7 . Hãy biểu diễn c qua a , b  . Bài 2. Cho  A 1;1 ,  B 1;2 ,  C 4;0 . Tìm toạ độ điểm M sao cho: 1) AM 2BC 3AC     . 2) AM 2BM 3CM 0       . 3) ABCM là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo. Bài 3. Cho  A 3;4 ,  B 4;0 . Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ  O 0;0 là trọng tâm ABC . Bài 4. [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh  A 1;0 ,  B 4;0 ,  C 0;m với m 0 . tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . Đáp số:  m3G 1; , m 3 6  . Bài 5. Cho  A 1; 1 ,  B 2;4 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ. Bài 6. Cho  A 2;5 ,  B 2;4 . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với các trục toạ độ. Đáp số: Giao điểm là  92I 0; . Bài 7. Cho  A 1; 2 ,  B 3;4 . Tìm tọa độ điểm C Ox sao cho 1) Tam giác ABC vuông tại A . 2) Tam giác ABC cân tại A . Đáp số: 1)  C 5;0 . 2)  C 7;0 hoặc  C 5;0 . Bài 8. Cho  A 3;6 ,  B 1; 2 ,  C 6;3 . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Đáp số: Tâm đường tròn ngoại tiếp là  5 14 2I ; . Bài 9. Cho ABC với  A 2;4 ,  B 2;1 ,  C 6;1 . 1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 Bài 10. Cho  A 3;4 ,  B 4;0 . Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1 . Bài 11. Cho ABC . Biết  A 1;2 ,  M 0;1 là trung điểm của AB ,  N 3; 1 là trung điểm của AC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 12. Cho ABC . Biết  A 1;2 ,  M 0;1 là trung điểm của AB ,  P 3;1 là trung điểm của BC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 13. Cho ABC . Biết  A 3; 4  và các trung tuyến đi qua B , C lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:  B 3;0 ,  C 0;4 . Bài 14. Cho ABC . Biết  A 1;3 và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 15. Cho ABC . Biết  A 2;5 và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 16. Cho  A 1;2 ,  B 3;4 . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 1) MA MB nhỏ nhất. 2) MA MB lớn nhất. Bài 17. Cho  A 2;4 . Tìm B Ox , C Oy sao cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu? Bài 18. Chứng minh với mọi x , y , z , t ta có:    2 22 2 2 2x y z t x z y t       . Hãy chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào.