Giáo án lớp 12 môn Hình học - Một số bài toán cực trị trong không gian toạ độ

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ (Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán ) Bài Toán 3 Bài tập ï: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng . Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất Lờ giải tham khảo. Cách 1: Phương pháp hình học. Gọi là đường thẳng qua A và cắt d; và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d). Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên thì BK . Vậy BK chính là khoảng cách từ B đến . * Trong tam giác vuông BKH thì BK BH nên BK ngắn nhất khi K . Khi ấy đi qua hai điểm A và H. *Trong tam giác vuông BKA thì BK BA nên BK lớn nhất khi K . Khi ấy đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với BA Trường hợp d(B, nhỏ nhất. Phương trình mp(P)= mp(A,d). VTCP của d là . Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và . Do đó VTPT của mp (P) là . Ta chọn . Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 5x-y+3z-7 = 0. Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được . Như thế véctơ chỉ phương của là . Chonï VTCP của là . Ta đựơc phương trình của : Trường hợp d(B, lớn nhất Trường hợp nầy thì nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA. Ta có ; VTPT của (P) là . Do đó VTCP của là: =(-4;16;12) . Chọn Ta được phương trình đường thẳng Cách 2: Phương pháp giải tích. Gọi M = d thì M( 1-t;-2+t;2t) và có VTCP là . Ta có: . Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng là: Trang 7 Xét hàm số . Ta có . f ’(t)= 0 t = -2 hoặc t= 30/11. Bảng biến thiên: t f’(t) f(t) - + -2 0 0 - + + 12 Ta thấy: max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5 khi t = 30/11. Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d= khi t=-2 cho . Chọn VTCP củalà ta được phương trình Với min f(t)= mind2= 4/15 , ta có min d= khi cho Chọn VTCP của là . Ta được phương trình của là: Hết bài toán 3 (GV Nguyễn Ngọc Ấn) Trang 8