Giáo án lớp 12 môn Hình học - Một số bài toán về tiếp tuyến

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾÙP TUYẾN1CÂU HỎI1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k? Trả lời: y – y0 = k( x – x0 ) hay: y = k(x – x0) + y02) Cho biết ý nghĩa hình học của đạo hàm?Trả lời:Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0, có đồ thị ( C) và M(x0; y0)là một điểm thuộc (C), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) là: k = f’(x0).yxMOx0y0(C)2CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; y0) thuộc đồ thị.Trả lời: y – y0 = f’(x0)(x – x0 ), hay y= f’(x0)(x – x0) + y0Hãy nêu các dạng toán về phương trình tiếp tuyến đã học?3?1. Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 hoặc biết tung độ y0 của tiếp điểm. Ta nói tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) ).2. Biết hệ số góc k của tiếp tuyến. 3. Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x0; y0) cho trước. 4. Hai đường tiếp xúc nhau.4Trả lời:Oxy(C) :y = f(x)Mx0y0Nếu chỉ biết x0, ta thay x0 vào công thức của hàm số để tính y0 .Tính f(x) rồi tính f(x0).Thay các giá trị x0, y0, f(x0) vào phương trình (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.51)Trường hợp1: Biết tọa độ (x0;y0) của tiếp điểm Phương trình cần tìm là: y = f’(x0).(x – x0) + y0 (1) Nếu chỉ biết y0, ta thay y0 vào công thức của hàm số để tính x0 .Ví dụ 1: Cho đường cong (C): Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2Giải:Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng x0 là: y = f(x0).(x – x0) + y0Theo đầu bài x0 = 2. Suy ra y0 = 1 và f(x0) = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 36 Gọi (x0 , y0) là tọa độ tiếp điểm  Tính f(x) rồi giải phương trình f(x0) = k để tính x0. Thay x0 vào hàm số để tính y0. Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến 7 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – x0) + y0 (2) ; [với: k = f’(x0) ] 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k của tiếp tuyếnGọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình có dạng: Theo giả thiết: f(x0) = 1 (1)Với x0 = 0 thì y0 = – 1. Với x0 = – 4 thì y0 = 38Ví dụ 2:Cho đường cong (C): y= f(x)= Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1 x0 = 0 hoặc x0 = – 4Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 và y = x + 7y = (x – x0) + y0 3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc (C), cách giải như nhau. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M(xM, yM) và tiếp xúc với (C). Phương trình đường thẳng (d) là: y = k(x  xM) +yM  hay: y = kx – kxM + yM (a)(d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau đây có nghiệmGiải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a), ta tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M.9xMxMyMOy  M  MxyMxMyMOPhương trình đường thẳng d qua M(0; 1) là: y = k(x  xM) + yM  y = kx  1 d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:Thay giá trị của k ở (2) vào (1), ta được phương trình: 2x3 + 3x2  1= (6x2 + 6x)x  1  4x3 + 3x2 = 0  x = 0 hoặc x =  3/4Với x = 0 ta có k = 0, với x =  3/4, ta có k =  9/8 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là: Ví dụ 3:Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0;-1)10Giải:Hai đường cong được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu chúng có chung điểm M và tiếp tuyến tại M của hai đường cong đó trùng nhau.(SGK ; tr 101)Đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm :11yOxM y = f(x) y = g(x)4) Trường hợp 4 : Hai đường cong tiếp xúc(Hệ đó cho ta hoành độ tiếp điểm)Ví dụ 4:Xác định a để đồ thị (C) của hàm số : Giải :Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm của hệ : (2)  x2  4x + 4 = 0  x = 2Thay x = 2 vào (1), ta được : tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a12CÁC BÀI TOÁN ĐỂ RÈN LUYỆN1314Cho hàm số :Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: y = x.ĐS: Mọi m khác 1Gợi ý: Như ví dụ 4. Điều kiện tiếp xúcBài số 1:Đi đến:ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng.Cho hàm số: Gọi (C) là đồ thị. Tìm phương trình tiếp của đồ thị đi qua tâm đối xứng (nếu có). 15Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1). Giống ví dụ 3 Phương trình tiếp tuyến qua điểm I. Bài số 3:Bài số 2:Cho hàm sốViết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm so.áBiết nó vuông góc với đường thẳng (a):x – 3y + 6 = 0. Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến. Vì (a) có hệ số góc 1/3 nên (d) có hệ số góc là – 3. ĐS: y = – 3x – 3 và y = – 3x – 11. Cho (C): y = f(x) = x3  3x2 + 2. Tìm trên đường thẳng y =  2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc 16Bài số 4: Gợi ý:Gọi A(a; – 2) là điểm cần tìm.Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – 2 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x2 – (3a – 1)x+2] = 0 + Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = – 2 (loại). + Với 2x2 – (3a –1)x+ 2 = 0 (*). Để bài toán được thỏa thì (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – 1 = (3a – 1)2 – 16 > 0(3x12 – 6x1)(3x22 – 6x2) = – 1Giải hệ ta được a = 55/2717Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + 4Bài số 5: Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số.ĐS: Điểm A(0;4)Gợi ý: Gọi A(0; m) là điểm cần tìm. Phương trình tiếp tuyến: y = kx + mĐiều kiện tiếp xúc:x4 – 12x2 + 4 = kx + m (1)4x3 – 24x = k (2) Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – 4 = 0 (3)Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại.