Giáo án lớp 12 môn Hình học - Một số dạng toán cực trị hình học

M
T S DNG TOÁN CuchoanangC TR HÌNH HC I M VÀ uchoaNG THNG Bài 1. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñiểm ( ) ( )A 1, 4,2 , B 1,2, 4− và ñường thẳng x 1 y 2 zd : 1 1 2 − + = = − 1) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng d sao cho: a) MA MB+






 nhỏ nhất. b) 2 2MA MB+ nhỏ nhất. (Chính thức.khối D năm 2007) c) MA MB+ nhỏ nhất. d) MA MB− lớn nhất. e) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất. 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng d sao cho khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (P) là lớn nhất. 3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ñường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất. 4) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa ñường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn nhất. 5) Trong số các ñường thẳng ñi qua A và cắt ñường thẳng d, viết phương trình các ñường thẳng sao cho khoảng cách từ B ñến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? 6) Cho ñường thẳng 1 x 1 y 1 z 1d : 2 1 1 − + − = = . Trong số các ñường thẳng ñi qua A và cắt ñường thẳng d, viết phương trình ñường thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và 1d lớn nhất? Bài 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho ñường thẳng ( ) x 2 t d : y 1 2t ; t R z t 3 = +  = − ∈  = − Tìm ñiểm ( )m m mM x , y ,z thuộc ñường thẳng d sao cho 2 2 2m m mx y z+ + nhỏ nhất. Bài 3. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñiểm ( )A 2,5,3 và ñường thẳng x 1 y z 2d : 2 1 2 − − = = . 1) Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của A trên ñường thẳng d. 2) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa ñường thẳng d sao cho khoảng cách từ A ñến mặt phẳng ( )α là lớn nhất. (Chính thức.khối A năm 2008) Bài 4. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñường thẳng 1 2 x 1 t x 3 y 1 z : y 1 t , : 1 2 1 z 2 = + − −∆ = − − ∆ = = − = 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa ñường thẳng 1∆ và song song với ñường thẳng 2∆ 2) Xác ñịnh ñiểm A trên 1∆ và ñiểm B trên 2∆ sao cho ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất. (Dự bị 1.khối B năm 2006) Bài 5. Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát ( ) ( ) ( ) ( )1A a;0;0 , B a;0;0 , C 0;1;0 , B a;0;b , a 0, b 0.− − > > 1) Tình khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b. 2) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoaû maõn a + b = 4. Tìm a,b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 lôùn nhaát. (Chính thức.khối D năm 2004) Bài 6. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng: 1 x 2y z 0 : x 2y 2z 4 0 − + =∆  + − + = vaø 2 x 1 t : y 2 t z 1 2t = + ∆ = +  = + a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng 1∆ vaø song song vôùi ñöôøng thaèng 2∆ b) Cho ñieåm ( )M 2 ;1, 4 . Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng 2∆ sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû nhaát. (Chính thức.khối A năm 2002) I M VÀ M T PHNG Bài 1. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñiểm ( ) ( )A 3;1;0 , B 9;4;9− và mặt phẳng ( )P : 2x y z 1 0− + + = . Tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB− ñạt giá trị lớn nhất? Bài 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñiểm ( ) ( )A 1; 3;0 , B 5; 1; 2− − − và mặt phẳng ( )P : x y z 1 0+ + − = . Tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB+






 ñạt giá trị nhỏ nhất? Bài 3. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm ( ) ( )A 1,3, 2 , B 3,7, 18− − − − và mặt phẳng ( )P : 2x y z 1 0− + + = . 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). 2) Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho MA MB+ nhỏ nhất. (Dự bị 2.khối A năm 2007) Bài 4. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x y z 3 0− + + = . và hai ñiểm ( ) ( )A 1, 3, 2 , B 5,7,12− − − − . 1) Tìm tọa ñộ ñiểm C ñối xứng với ñiểm A qua mặt phẳng (P). 2) Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho MA MB+ nhỏ nhất. (Dự bị 2.khối B năm 2002) Bài 5. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñiểm ( ) ( )A 3,5, 5 , B 5, 3,7− − − và mặt phẳng ( )P : x y z 0+ + = . 1) Tìm giao ñiểm I của ñường thẳng AB và mặt phẳng (P). 2) Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất. ( ðây là bài thử sức của các thầy cô, các thầy cô thử giải xem) (Dự bị 2.khối B năm 2007) Bài 6. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x 2y 2z 5 0− + − = và hai ñiểm ( ) ( )A 3;0;1 , B 1; 1;3− − . Trong các ñường thẳng ñi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình ñường thẳng mà khoảng cách từ B ñến ñường thẳng ñó là nhỏ nhất. (Chính thức.khối B năm 2009) Bài 7. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x 3y mz 6 m 0.+ + − − = a) Chứng minh rằng (P) luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh M. Tìm tọa ñộ ñiểm M. b) Giả sử (P) cắt Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại A, B, C. i) Tính OA, OB, OC ñể tứ diện OABC ñạt giá trị nhỏ nhất. ii) Tính OA, OB, OC ñể OA OB OC+ + ñạt giá trị nhỏ nhất. M T CU Bài 1. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x 3y 3z 1 0+ − + = ñường thẳng 1 x 3 y z 5d : 2 9 1 − + = = và 3 ñiểm ( ) ( ) ( )A 4;0;3 , B 1; 1;3 , C 3;2;6− − . 1) Viết phương trình mặt cầu ( )S ñi qua 3 ñiểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ñường thẳng d và cắt mặt cầu ( )S theo một ñường tròn có bán kính lớn nhất. (Dự bị 2.khối A năm 2008) Bài 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ ðề-các vuông góc Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2 2 2S : x y z 2x 4y 2z 3 0+ + − + + − = và mặt phẳng ( )P : 2x y 2z 14 0− + − = . 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một ñường tròn có bán kính bằng 3. 2) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M ñến mặt phẳng (P) lớn nhất. (Chính thức.khối B năm 2007) TAM GIÁC Bài 1. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho hai ñiểm ( ) ( )A 2,0,0 , B 1,1,1 . 1) Tìm tọa ñộ ñiểm ñối xứng của O qua ñường thẳng AM. 2) Gọi (P) là mặt phẳng thay ñổi luôn ñi qua ñường thẳng AM, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các ñiểm B, C. Giả sử ( ) ( )B 0;b;0 , C 0;0;c , b 0,c 0.> > . Chứng minh rằng bcb c 2 + = . Xác ñịnh b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. (Dự bị 2.khối B năm 2004) Bài 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ vuông góc Oxyz, cho tứ diện ABCD với ( )A 2,3,2 , ( ) ( ) ( )B 6, 1,2 , C 1, 4,3 , D 1,6, 5− − − − . 1) Tính góc giữa hai ñường thẳng AB và CD 2) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. (Dự bị 2.khối A năm 2003) Bài 3. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ba ñiểm ( ) ( ) ( )A 1;4;5 B 0;3;1 ,C 2; 1;0− và mặt phẳng ( )P : 3x 3y 2z 15 0− − − = . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể ñiểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phương khoảng cách ñến các ñiểm A, B, C nhỏ nhất thì ñiểm M phải là hình chiếu vuông góc của ñiểm G lên mặt phẳng (P). Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M ñó. ---------- HẾT ----------