Giáo án lớp 12 môn Hình học - Ôn tập Khối nón- Khối trụ- Khối cầu

Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này Giải: C M 45 a S B A O HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên = = 450 * Sxq = Rl = .OA.SA = ..a = Tính: OA = (SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = + = b) V = = = Tính: SO = (SOA tại O) c) * Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy 1 góc 600: Kẻ = 600 * SSAC = SM.AC = .. = * Tính: SM = (SMO tại O). * Tính: AC = 2AM = * Tính: AM = = * Tính: OM = (SMO tại O) Bài 2: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón Tính thể tích của khối nón Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó Giải: HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA = 25(cm2) Tính: SA = (SOA tại O) l h O I H B A S * Stp = Sxq + Sđáy = 25 + 625 b) V = = = (cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI OH = 12cm * SSAB = .AB.SI = .40.25 = 500(cm2) * Tính: SI = = = 25(cm) (SOI tại O) * Tính: = - OI = 15(cm) (SOI tại O) * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = (cm) (AOI tại I) Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC Giải: a) * Thiết diện qua trục là SAB vuông cân tại S nên = = 450 C M a 2 S B A O * Sxq = Rl = .OA.SA = ..a = Tính: OA = = ; Tính: SA = a (SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = + = b) V = = = * Tính: SO = (SOA tại O)c) * Kẻ OM BC = 600 ; * SSBC = = = * Tính SM = (SOM tại O) * Tính: BM =(SMB tại M) Bài 4: Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là 600. a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ. b)Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’. Giải: Thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ: Ta có vuông cân nên AD=OA Trong tam giác vuông ADA’, ta có: Vậy Thể tích khối đa diện ABCDB’A’: Ta có: và các đoạn AB, CD,A’B’ song song và bằng nhau nên khối đa diện ABCDB’A’ là lăng trụ đứng có đáy là tam giác AA’D và chiều cao là CD. Vậy A A’ C B B’ O Bài 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc sao cho .Tính thể tích của khối tứ diện ACDM. Giải: Ta có: (1). đều . Bài 6: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ Giải: HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r. r = 2r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 + 2r2 = 2 (r2 b) * V = = = r 3 H A B O O' A' r c) * OO’//AA’ = 300 * Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO’ của hình trụ * Tính: O’H = (vì BA’O’ đều cạnh r) * C/m: BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r (AA’B tại A’) Cách khác: * Tính O’H = = (A’O’H tại H) * Tính: A’H = = * Tính: A’B = r (AA’B tại A’ Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ Tính thể tích của khối trụ Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên Giải: h r l B' A' O' I O B A HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2) b) * V = = = .52.7 = 175(cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm * = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) (OAI tại I) Bài 8: Bên trong hình trụ có mét h×nh vu«ng ABCD c¹nh a néi tiÕp mµ A, B thuéc ®­êng trßn ®¸y thø nhÊt vµ C, D thuéc ®­êng trßn ®¸y thø hai cña h×nh trô mÆt ph¼ng h×nh vu«ng t¹o víi ®¸y h×nh trụ một góc 450. Tính thể tích khối trụ. Giải: Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD Ta có : OI AB; IJ cắt OO’ tại trung điểm M của OO’ . MIO = 45o lµ gãc cña mÆt (ABCD) víi ®¸y, Do đó : O’I = ; R = h = 2OM = Vậy : V = R2h = KHỐI CẦU Bài 1: Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy AB = a vaø caïnh beân SA = a. AC caét BD taïi O. a/ Chöùng minh raèng O laø taâm cuûa maët caàu (S) ñi qua 5 ñieåm S, A, B, C, D vaø tính baùn kính R cuûa noù. b/ Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD. Giải: b/ (ñvtt Bài 2: Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a , SA(ABCD) vaø SA = a . Tính baùn kính cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hính choùp theo a . Giải: HD: a) * Gọi O là trung điểm SC * Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC lần lượt vuông tại A, D, B * OA = OB = OC = OD = OS = S(O; ) b) * R = = = * S = ; * V = Bài 3: Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a và ñöôøng cheùo taïo vôùi ñaùy moät goùc . Tính theå tích cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï . Giải: Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Giải: a) * Gọi O là trung điểm của CD. * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: DAC vuông tại A OA = OC = OD = CD (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) * Chứng minh: DBC vuông tại B OB = CD * OA = OB = OC = OD = CD A, B, C, D mặt cầu S(O; ) b) * Bán kính R = = = = * S = ; * V = R3 = O D C B A Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Giải: HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ vuông góc với mp(SAB) tại I * Dựng mp trung trực của SC cắt tại O OC = OS (1) * I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông tại S) OA = OB = OS (2) * Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS. c b a I O S C B A Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) * R = OA = = * S = * V = Bài 6: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó . Giải: Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng vuông góc với mp(SAB) thì là trục của vuông . Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường trung trực của cạnh SC của cắt tại O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật . Ta tính được : SI = , OI = JS = 1 , bán kính R = OS = Diện tích : S = Thể tích : V = Bài 7: Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC), SA = a; AB = AC= b, . X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n h×nh cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn S.ABC. Giải: S A C B O I Gäi I lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC; ®­êng th¼ng (d) ®i qua I , vu«ng gãc víi mp(ABC). mp trung trùc cña SA c¾t (d) t¹i O, OA =OB = OC = OS nªn O lµ t©m mÆt cÇu. Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a . Giải: ¡ Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp thí tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’ . Bán kính Diện tích : Bài 9: Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¸c c¹nh ®Òu b»ng a, c¹nh bªn b»ng b. TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ®i qua c¸c ®Ønh cña l¨ng trô Giải: -Gäi O vµ O’ lµ t©m ∆ABC vµ ∆A’B’C’ th× OO’ lµ trôc cña c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC vµ∆A’B’C’ -Gäi I lµ trung ®iÓm OO’ th× IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp l¨ng trô -B¸n kÝnh mÆt cÇu lµ R = IA Tam gi¸c vu«ng AOI cã: AO = OI = ⇒AI2 = OA2+OI2 =⇒ AI = V= AI2 = V= Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao h = 1. Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải: Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC .Khi đó SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra : SO(ABC) Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d của cạnh SA , cắt SO tại I . Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I và bán kính R = SI Ta có . VìSAO vuông tại O nên SA = == Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên : SI = == = . Vậy bán kính R = SI = . Diện tích mặt cầu : (đvdt) Bài 11: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã c¹nh ®¸y b»ng a, c¹nh bªn hîp víi ®¸y mét gãc 30o. TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. Giải: Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Ta cã SO b (ABCD), SO lµ trôc cña ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o Gäi M lµ trung ®iÓm SA Trung trùc cña SA c¾t SO t¹i I ⇒ I lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp ⋄OIMA lµ tõ gi¸c néi tiÕp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = Víi AO = , AS = , SO = SA sin30o = ⇒SI = = a ⇒ VMcÇu = Bài 12 : Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600. 1/ Tính diện tích hình xung quanh và thể tích của hình nón. 2/ Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó. 3/ Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường tròn đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt đáy của hình nón. Biết bán kính của hình trụ bằng một nửa bán kính đáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ. Giải: * Câu 1: đều ; .* Câu 2 Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO Bán kính mặt cầu r = O’O. ; V= * Câu 3 N trung điểm OB.; ON bán kính hình trụ: ON= ; .V=