Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phần 2 : Phương pháp toạ độ trong không gian

Phần 2 :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tọa độ điểm và véctơ : † Tọađộ điểm : † Tọa độ véctơ : † CÔNG THỨC : ta có : Toạ độ véc tơ : Tổng – Hiệu hai véc tơ : Nhân một số với một véc tơ : Điều kiện hai véc tơ bằng nhau : Điều kiện hai véc tơ cùng phương : Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước . ( k 1 ) ĐN : Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k Khi đó Toạ độ trung điểm I của đoạn AB : Toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua điểm I : Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : Toạ độ trọng tâm K của tứ diện ABCD : Tích vô hướng của hai véc tơ : Độ dài véc tơ : Độ dài đoạn thẳng ( Khoảng cách giữa hai điểm AB ) : Góc giữa hai véc tơ : Gọi Lưu ý : Góc giữa hai véc tơ thường dùng để tính số đo góc tam giác . Điều kiện hai véc tơ vuông góc : Công thức về tích có hướng và tích hỗn tạp 1/ đồng phẳng 2/ không đồng phẳng 3/ A,B,C,D đồng phẳng 4/ ABCD là tứ diện 5/ Diện tích tam giác ABC : 6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: 7/ Thể tích tứ diện ABCD : Chú ý: † Một số điểm đặc biệt : i. M Ox M( x;0;0 ) , M Oy M( 0;y;0 ) , M Oz M( 0;0;z ) ii.M OxyM( x;y;0 ), M Oxz M( x;0;z ), M Oyz M( 0;y;z) II. Mặt phẳng : Định lý : Mpqua điểm và nhận làm VTPT có phương trình tổng quát là : Chú y : MpOxy có phương trình : z = 0 có VTPT MpOxz có phương trình : y = 0 có VTPT MpOyz có phương trình : x = 0 có VTPT Định lý :mặt phẳng chắn các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại với có pttq là : III. Đường thẳng : Định lý:Đường thẳng d đi qua điểm Mvà nhận làm VTCP có phương trình tham số là : t R và phương trình chính tắc là : () Chú ý : Trục Ox có phương trình có VTCP , Trục Oy có phương trình có VTCP , Trục Oz có phương trình có VTCP IV. Vị trí tương đối của đường thẳng - mặt phẳng : 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng TH1 : cắt TH2 : song song TH3 : 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng có VTCP và qua điểm A đường thẳng có VTCP và qua điểm B TH1 : cắt TH2 : song song không cùng phương TH3 : TH4 : , chéo nhau Chú y : , đồng phẳng 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cách 1 : Cho đường thẳng d có VTCP và qua điểm A Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT TH1 : d cắt () Û ¹ 0 () TH2 : d // () Û TH3 : d Ì () Û Cách 2 : Tìm giao điểm và đưa ra kết luận Chú y : d ^ () Û a1 : a2 : a3 = A : B : C V. Khoảng cách : 1. Khoảng cách từ một điểm M đến mp() Cho điểm M mp() : Ax + By + Cz + D = 0 Ta có : Chú ý : , , Các dạng khoảng cách khác : i. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và Phương pháp : Lấy 1 điểm M mp ii. Khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng Phương pháp : Lấy 1 điểm M đường thẳng 2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đt B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đt B2: H = B3: Công thức : có véctơ và đi qua điểm A Chú y : Để tính khoảng cách từ điểm M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên trục tương ứng và tính MH Hệ quả : Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và có véctơ và đi qua điểm A có véctơ và đi qua điểm B 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và có véctơ và đi qua điểm A có véctơ và đi qua điểm B Phương pháp : Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song d2 . Công thức : VI. Góc : 1. Góc giữa hai mặt phẳng va Gọi Hệ quả : 2. Góc giữa hai đường thẳng và : Gọi Hệ quả : Chú ý : Trong tam giác ABC ta có : 3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng Gọi Hệ quả : VII. Mặt cầu : ĐL1 : Mặt cầu ( S ) có tâm I( a ; b ;c ) và bán kính R có phương trình : ĐL2 :Mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0 đk: a2 + b2 + c2 – d > 0 đều là phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) và bán kính Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ( S ) : TH1 : cắt ( S ) TH2 : không cắt ( S ) TH3 : tiếp xúc ( S ) Thường hợp này gọi là tiếp diện MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : VẤN ĐỀ 1 : Lập phương trình mặt phẳng Phương pháp : Tìm một điểm và một véctơ pháp tuyến ( hoặc một cặp VTCP ) . VẤN ĐỀ 2 : Lập phương trình mặt đường thẳng Phương pháp : Tìm một điểm và một véctơ chỉ phương ( hoặc một cặp VTPT ) . VẤN ĐỀ 3 : Hình chiếu – Đối xứng . Dạng 1 : Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vuông góc mp B2: H = d Chú y : Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp M’ cũng đối xứng với điểm M qua điểm H Dạng 2 : Hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đt d B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đt d B2: H = d Đặc biệt : Cho điểm M( x;y; z ) ta có : + Hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox có tọa độ là ( x;0;0 ) ---------------------------------------M trên trục Oy có tọa độ là ( 0;y;0 ) ---------------------------------------M trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0;z ) +Hình chiếu vuông góc của điểm M trên Mp(Oxy) có tọa độ là (x;y;0 ) ---------------------------------------M trên Mp(Oxz) có tọa độ là (x;0;z ) --------------------------------------M trên Mp(Oyz) có tọa độ là (0;y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ là M’( x;-y;-z ) -----------------------------------M qua trục Oy có tọa độ là M’( -x;y;-z ) -----------------------------------M qua trục Oz có tọa độ là M’( -x;-y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ là M’(x;y;-z) --------------------------------------M qua Mp(Oxz) có tọa độ là M’(x;-y;z) ------------------------------------- M qua Mp(Oyz) có tọa độ là M’(-x;y;z) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ là M’( -x;-y;-z ) Dạng 3 : Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d xuống mặt phẳng Phương pháp : Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của đtd xuống mp B1: Tìm giao điểm I của đt d và mp B2 : Lấy 1 điểm A đường thẳng d và tìm hình chiếu H của A trên mp KL : Đt d’ qua hai điểm I và A . Đặt biệt : Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d : trên mặt phẳng tọa độ Oxy có pt là : trên mặt phẳng tọa độ Oxz có pt là : trên mặt phẳng tọa độ Oyz có pt là : VẤN ĐỀ 4 : Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và có véctơ và qua điểm A có véctơ và qua điểm B Phương pháp : Gọi là đường vuông góc chung của và B1: Gọi là VTCP của đường vuông góc chung Vì B2: Lập mặt phẳng chứa và d1 qua điểm A và có cặp VTCP B3: Tìm giao điểm I của với KL: Đường vuông góc chung qua điểm I và có VTCP VẤN ĐỀ 5 : Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước và thỏa điều kiện khác . Dạng 1 :Lập đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng , Phương pháp : B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và chứa đường thẳng d1 . B2: Tìm giao điểm I của với Đường thẳng qua hai điểm M và I B3: So sánh VTCP của và VTCP của đường thẳng Kết luận . Dạng 2 : Lập đường thẳng qua điểm M , vuông góc đường thẳng và cắt đường thẳng Phương pháp : B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đường thẳng d1 . B2: Tìm giao điểm I của với Đường thẳng qua hai điểm M và I Dạng 3 : Lập đường thẳng qua điểm M , vuông góc và cắt đường thẳng d Phương pháp : B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đường thẳng d . B2: Tìm giao điểm I của với Đường thẳng qua hai điểm M và I Dạng 4 : Lập đường thẳng qua điểm M , song song mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d Phương pháp : B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và song song mặt phẳng ( P ) B2: Tìm giao điểm I của với . Đường thẳng qua hai điểm M và I Dạng 5 : Lập đường thẳng D nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước . Phương pháp : B1: Tìm giao điểm A và B của d1 , d2 và mp( P ) B2: D là đường thẳng qua hai điểm A và B . VẤN ĐỀ 6 : Lập đường thẳng D nằm trong mp( P ) và cách đường thẳng cho trước một khoảng L . Phương pháp : Cho đường thẳng d có VTCP và qua điểm A Mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT B1: Lập mặt phẳng vuông góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d và cách điểm A một khoảng L . B2: Lấy một điểm Đường thẳng qua điểm M và có VTCP VẤN ĐỀ 7 : Lập đường thẳng D nằm trong mp( P ) và vuông góc đường thẳng d cho trước tại giao điểm I của d và mp( P ) . Phương pháp : B1: Tìm giao điểm I của d và mp( P ) B2: Vì d có VTCP Đường thẳng qua điểm I và có VTCP VẤN ĐỀ 8 : Lập phương trình mặt cầu ( S ) . Phương pháp1: Tìm tâm và bán kính . Phương pháp2 : ( Có dữ kiện mặt cầu qua điểm ) B1 : Chỉ dạng @ Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 @ Nếu không có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0 B2 : Khai thác các dữ kiện để lập hệ phương trình . VẤN ĐỀ 9 : Đường tròn giao tuyến Phương trình đường tròn giao tuyến : Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường tròn giao tuyến có pt : Tâm của đường tròn giao tuyến : Gọi K là tâm của đường tròn giao tuyến K là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vuông góc mp B2: H = d Chú ý : Toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ : Bán kính của đường tròn giao tuyến hoặc VẤN ĐỀ 10 : Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S ) . (Lập phương trình mặt phẳng tiép xúc ) Dạng 1 : Tiếp diện tại điểm M thuộc ( S ) Phương pháp : Tiếp diện tại điểm M vuông góc IM có véctơ pháp tuyến là Dạng 2 : Tiếp diện song song mặt phẳng hoặc song song hai đường thẳng không cùng phương hoặc vuông góc đường thẳng cho trước . Phương pháp : B1 : Tìm véctơ pháp tuyến của tiếp diện Phương trình của tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = 0 B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc