Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phần II: Mặt và đường trong không gian

PHẦN II MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN I.ĐIỂM VÀ VÉC TƠ: 1)Tọa độ của 1 điểm và của 1 véctơ: 2) Công thức : * , ( ngọn trừ gốc) *AB= * * *Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 *M là trung điểm AB *G là trọng tâm ABC *K là trọng tâm tứ diện ABCD * cùng phương ( A, B, C thẳng hàng cùng phương) * ( tổng các tọa độ nhân với nhau) * = 0 * * * ( nâng cao) * cùng phương * , đồng phẳng * Diện tích ABC SABC = *Thể tích tứ diện ABCD V = *Thể tích hình hộp ABCD.A/B/C/D/ V = II -PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. * Mp () đi qua M0(x0;y0,z0) có véctơ pháp tuyến =(A;B,C) có pt tổng quát là ( ):A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Hay ( ):Ax + By + Cz + D = 0 ( Thế tọa độ của M0 vào để xác định D ) *Các trường hợp đặc biệt : +(Oxy) : z = 0 có =(0;0;1) +(Oyz) : x = 0 có =(1;0;0) +(Oxz) : y = 0 có =(0;1;0) Chú ý: + Mất chữ nào ( x hoặc y hoặc z ) thì song song với trục đó (// Ox hoặc Oy hoặc Oz ) +Chỉ có 1 chữ ( x hoặc y hoặc z ) thì vuông góc với trục đo ù(Ox hoặc Oy hoặc Oz ) *Pt mặt phẳng theo đoạn chắn : cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0), Cắt Oz tại C(0;0;c) có pt: (): 1)Vị trí tương đối của 2 mp: (): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 + (Chỉ cần 1) cắt + // + Ghi nhớ : Để viết được pt của 1 mp ta cần 1 pháp véc tơ và 1 điểm thuộc mp. 2.Tìm giao điểm của đt và mp a/ ( ): và (): Ax + By + Cz + D = 0 thì thế x, y, z từ ptts của đt vào pttq của mp ta được một pt bậc nhất theo biến t, +Nếu pt có 1 nghiệm thì cắt . Tọa độ giao điểm là thế giá trị t vào ptts của đt +Nếu pt có dạng 0t = m 0 vô nghiệm // +Nếu pt có dạng 0t = 0 có vô số nghiệm b/Đt có pt chính tắc thì chuyển về tham số ( như dạng a) c/*Pt tổng quát : ( Dạng bài tập của nâng cao) ( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 thì cóthể đưa về tham số ( như dạng a) hoặc giải hệ Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm 3.Vị trí tương đối giữa 2 đt ( Nâng cao) ( 1 ): đi qua M1 (x1;y1;z1) có VTCP (a1;a2;a3) ( 2 ): đi qua M2 (x2;y2;z2) có VTCP (b1;b2;b3) + 1 và 2 chéo nhau ,, không đồng phẳng [,]. 0 + 1 và 2 đồng phẳng ,, đồng phẳng [,].= 0 + 1 cắt 2 + 1 // 2 + 1 2 3.Vị trí tương đối giữa 2 đt ( Cơ bản) ( 1 ): đi qua M1 (x1;y1;z1) có VTCP (a1;a2;a3) ( 2 ): đi qua M2 (x2;y2;z2) có VTCP (b1;b2;b3) Khi đĩ: + 1 // 2 + 1 2 + 1 cắt 2 cĩ đúng một nghiệm + 1 chéo 2 vơ nghiệm MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài toán 1 Lập phương trình mp qua ba điểm A,B,C. HD + Tính + Pt tổng quát Mp () cĩ dạng: ( ):A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Hay ( ):Ax + By + Cz + D = 0 ( Thế tọa độ của A hoặc B hoặc C vào để xác định D ) Bài toán 2: Viết pt mp chứa đường thẳng d và song song với đt ? HD: +và đi qua A d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) Bài toán 3: : Viết pt mp chứa đường thẳng d và vuơng gĩc với mp ( P) cho trước? HD: +và đi qua A d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) (Bài tốn Viết pt mp qua hai điểm A,B và vuơng gĩc với mp ( P) cho trước cũng làm tương tự) Bài toán 4: Tìm hình chiếu của M0 lên đt ? HD: +Viết pt mp đi qua M0 và vuông góc với .( mp nhận vtcp của làm vec tơ pháp tuyến . và đi qua M0 ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) + Thế x, y, z từ ptts của đt vào pttq của mp ta tìm được t, thay t vào ptts ta tìm được giao điểm H .Hình chiếu H của M0 chính là giao của và Bài toán 5:Tìm điểm đối xứng của M0 qua ? HD: + Tìm hình chiếu H của M0 trên ( bài tốn 4) + N là điểm đối xứng của M0 qua H là trung điểm M0N , áp dụng công thức trung điểm tìm N. Bài toán 6: Tìm hình chiếu của đt lên mp ? HD: + Viết pt mp chứa và vuông góc với . ] và đi qua điểm M9 + Hình chiếu / của chính là giao của và Bài toán 7: Tìm hình chiếu của M0 lên mp ? HD: +Viết pt đt đi qua M0 và vuông góc với ,( pt đt nhận vec tơ pháp tuyến của làm véc tơ chỉ phương ).Khi đĩ suy ra phương trình tham số của . + Thế x, y, z từ ptts của đt vào pttq của mp ta tìm được t, thay t vào ptts ta tìm được hình chiếu H của M0 chính là giao của và . Bài toán 8: Tìm điểm đối xứng của M0 qua ? HD: + Tìm hình chiếu H của M0 trên ( bài tốn 7) + N là điểm đối xứng của M0 qua H là trung điểm M0N , áp dụng công thức trung điểm tìm N. Bài toán 9: ( Dạng bài tốn NC)Viết pt đt đi qua M0 vuông góc với đt d và cắt đt ? HD: +Viết ptmp qua M0 và vuông góc với d + Tìm giao điểm N = d + là đt qua 2 điểm M0 và N Bài toán 10: ( Dạng bài tốn NC ).Viết pt đt đi qua M0 vuông góc và cắt đt d ? HD: Tìm hình chiếu H của M0 trên d, chính là đt qua 2 điểm M0 ,H. Bài toán 11: ( Dạng bài tốn NC ). Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau 1 và 2 ? HD:+Gọi là đường vuông góc chung thì vec tơ chỉ phương của là + Gọilà mp chứavà1 thì , M1 + Gọi là mp chứa và 2 thì , M2 Khi đĩ = III.MẶT CẦU 1) ĐN: M S(I,R) IM = R 2) Pt mặt cầu: * Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có pt : (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 *Dạng khai triển : (S): x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by –2cz + d = 0 với a2+b2+c2-d 0 có bán kính R = Ứng dụng : Bài toán 1:Viết pt mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D HD: Lần lượt thế các tọa độ của 4 điểm A,B,C,D vào pt mặt cầu ta được 1 hệ 4 pt bậc nhất a,b, c, d ( giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bấm máy vinacal tìm a,b, c, d) Bài toán 2:Viết pt mặt cầu biết tâm I và tiếp xúc với 1mp HD: Khoảng cách từ tâm I đến mp chính là bán kính mặt cầu := R Bài toán 3: Viết pt tiếp diện của mặt cầu tại M0 (S) HD: là pháp véc tơ của mp tiếp diện và M0 là điểm mp đi qua Bài toán 4:Viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C . HD: + Viết pt măt phẳng qua 3 điểm A,B,C + Tìm 1 mặt cầu qua 3 điểm A,B,C ( Thường là mặt cầu đã có sẳn, chẳng hạn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, . ) 3)Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu *> R () và( S) không có điểm chung *= R () tiếp xúc với ( S) , tiếp điểm T là hình chiếu của I lên () *< R () cắt ( S) , giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I lên () và bán kính với d = 4) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu: *> R ( ) và( S) không có điểm chung *= R ( ) tiếp xúc với ( S) , tiếp điểm H là hình chiếu của I lên ( ) *< R ( ) cắt ( S) tại điểm. Để tìm tọa độ giao điểm ta thế x,y,z từ pt tham số của ( ) vào pt của (S), ta được một pt bậc 2 theo t, giải tìm t, thế t vào pt tham số của () , được tọa độ giao điểm.