Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định diện tích đáy và đường cao của khối chóp

Phương pháp tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định diện tích đáy và đường cao của khối chóp I. Kiến thức cơ bản: A C B H 1. Cho vuông ở A ta có : - Định lý Pitago : - - AB. AC = BC. AH - - 2. Công thức tính diện tích tam giác : - Đặc biệt : vuông ở A : , đều cạnh a: 3. Định lý đường trung bình, Talet. 4. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý: S C/ B/ A/ C B A 5. Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: 6. Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng - Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a - Lưu ý về công thức tỉ số thể tích Cho hình chóp SABC, , ta có: II. Nội dung chính: - Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Đối với thể tích khối chóp ta có thể phân chia ra nhiều loại khác nhau. Sau đây tối xin trình bày dạng tính thể tích của khối chóp bằng cách xác định “chiều cao và diện tích đáy” của khối chóp. - Đối với dạng này ta có thể chia ra làm 5 loại sau: Loại 1. Khối chóp đều a. Phương pháp. S H C B A K O Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy. - Đường cao của hình chóp là SO (O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) do đó ta cần xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp đa gác đáy của hình chóp đó. - Diện tích đấy là diện tích của đa giác đều b. Cho hình chóp đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp khi biết: 1. Cạnh bên bằng , góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 450. 2. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 600. 3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Giải: Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiết tam giác ABC ta có (đường cao của hình chóp).B = 1. Xét tam giác SOA vuông tại O và SA = góc . Mặt khác H trung điểm BC ta có . Giọ x > 0 là cạnh của tam giác đều ABC Bài tập. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tính thể tích khối chóp khi biết: 1. Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là 450 2. Cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 600. 3. Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Loại 2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy a. Phương pháp - Cho hình chóp S.A1A2...An có khi đó ta có SA1 = h là đường cao của hình chóp. - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác . b. Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Tính thể tích của khối chóp MBCD. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được góc. + Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA. S A D C M B H +Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông Lời giải: 1. Ta có . Xét 2. Kẻ Ta có: , Nhận xét: + Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông. c. Bài tập. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA .Hãy tính thể tích của khói chóp S.ABCD khi biết: 1. Cạnh đáy AB = , AD = a, SA = . 2. Cạnh đáy AB = , AD = a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300. 3. Cạnh đáy AB = , AD = a, góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 600. 4. SA = a, khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng a, đường chéo BD = 2a. Loại 3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy. a. Phương pháp - Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là đường cao của tam giác mặt bên đó (phát xuất từ đỉnh khối chóp ) - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác . b. Ví dụ S C D H K A B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt phẳng .Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết. Tam giác SAB đều. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao SH. + Tính độ dài đường cao SH + Xác định được đường cao hình thang đáy. + Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối. Lời giải: - Gọi H là trung điểm AB là đường Cao của khối chóp. - Gọi K là hình chiếu của D lên ABlà đường cao của hình thang ABCD. - - Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diện tích đáy vì không xác định được góc A = 600. - Không nhận ra được đường cao là SH. c. Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng .Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi biết: Cạnh đáy AB = a, AD = 2a, tam giác SAB đều. Cạnh đáy AB = 2a, AD = a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 450. Cạnh đáy AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 600,khoảng cách giữa đường thẳng AB tới mặt phẳng (SCD) bẳng a. Loai 4. Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau vuông góc với đáy a. Phương pháp - Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau đi qua đỉnh vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là giao tuyến của hai mặt bên đó. - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác . b. Ví dụ S A D C B Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, SA = a đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 1200. Tính thể tích khối chóp tạo bỡi hình chóp S.BCD. Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SA. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Tính được diện tích hình thói ABCD Lời giải: Ta có . Giã thiết SA = a. . Mà giã thiết góc A= 1200 góc D bằng 600 nên tam giác ACD đếu ta có . đvtt Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được góc D = 600. - Không nhận ra được đường cao là SA. c. Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Loại 5 . Hình chóp bất kỳ a. Phương pháp - Xác định đường cao ta tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng chứa đa giác đáy và tính độ dài đường cao - Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giã thiết của bài toán khi cho đa giác . b. Ví dụ D S B A C O Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, , SB = SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Yêu cầu: + Học sinh xác định được đường cao của khối chóp là SO. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Xác định được công thức thể tích của khối +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông. + Tính được diện tích hình thói ABCD Lời giải: Gọi O giã thiết ta có là đường cao của khối chóp. Ta lại có tam giác ABD đều= h . Mà đvtt Nhận xét : - Đối với bài này học sinh gặp khó khăn khi tính diệm tích đáy vì không xác định được tam giác ABD là tam giác đều. - Không chứng minh được đường cao của khối chóp. c. Bài tập. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC = và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 600. 1. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) 2. Tính góc gữa dường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Phần A: Thể tích khối đa diện. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là , cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt (SAD) góc . Tìm thể tích hình chóp S.ABC HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là: Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết Đặt BD = x suy ra: Do đó: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh SA vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN HDG: Theo giả thiết Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD) Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: Vậy: Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng , và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và G là trực tâm ∆SCD Mà và Vì I là trung điểm của SH nên : Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền . Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử , góc nhọn và mặt phẳng (AA1C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc . Tìm thể tích lăng trụ. Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết và các góc đều bằng . HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC1D1 là tứ diện đều cạnh a nên có Theo công thức tỉ số thể tích: Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh , và . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ HDG: Gọi , suy ra và đi qua I Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên Theo công thức tỉ số thể tích: Vậy: Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD). HDG: Ta có: Áp dụng pitago ta có: , , vuông tại A nên Vậy khoảng cách cần tìm là: Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có và có Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC). HDG: Ta có: Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có: Áp dụng pitago trong tam giác vuông: Ta có: Vậy khoảng cách cần tìm là: Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng . Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có: Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được Xét tam giác AHD có: Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là: Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. HDG: Gọi là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ. Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có: Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng nên ta có đpcm. Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC, AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn . Thiết diện với hình chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q. Chứng minh Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương. Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc . Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ số . HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD): . Kẻ Vậy (ACM) là thiết diện. Đặt Ta có: . Gọi N là trung điểm của CD Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh và . Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). Chứng minh vuông tại S. HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì nên . Mà vì ABCD là hình thoi, nên Có: Bài 2: Tứ diện SABC có Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và Chứng minh và (Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm) HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác , theo giả thiết . Nên Do K là trực tâm Từ đó suy ra (đpcm) 2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: Mà . Do đó: Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Chứng minh Chứng minh HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên 2. Từ giả thiết suy ra: , mà Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: và HDG: Từ giả thiết suy ra: Mà . Do đó Ngoài ra ta cũng có nên: Chứng minh tương tự ta được và Vậy ta có đpcm. Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và . Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc Chứng minh Chứng minh là điều kiện cần và đủ để . HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra: vuông tại B nên . Tương tự ta có Dễ thấy: , từ trên suy ra 2. Vì BM là trung tuyến của nên: cân đỉnh B (Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có và vuông góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: SB và CD SC và BD HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên Lại có: Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và 2. Gọi AC và BD vuông góc nhau tại O, mà . Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD Ta có: Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ABC nên , từ đó suy ra . Trong kẻ . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Ta có: Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh cạnh bên SC vuông góc với mp(ABC) và Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh và Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. HDG: Dễ chứng minh được (vì ) Trong mp(SAC) kẻ OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Ta có: Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh và góc . Đoạn và SO vuông góc với mp(ABCD). Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC). Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD) Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính HDG: Ta có: Gọi . Mà nên:góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là Do đó: Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt Chứng minh rằng: là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc . HDG: Ta có: Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc Do đó: