Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phương pháp tọa độ trong không gian (tiết 3)

HÌNH HỌC 12 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần tính , (tích vô hướng), (tích hữu hướng ) và cos xin xem lại Hướng dẫn sử dụng (phần vectơ) Ví dụ 1 : Cho các vectơ , , a) Tìm tọa độ của các vectơ : ; ; b) Tính độ dài của c) Tính tích vô hướng của d) Tìm k , h và t sao cho Giải : Vào chương trình tính vectơ ấn ba lần MODE 3 ( màn hình hiện chữ VCT ) a) Nhập vào các vectơ : ấn SHIFT 5 (nghĩa là chương trình vectơ VCT ) . Màn hình hiện : , ấn tiếp 1 ( Dim ) . Màn hình hiện : Chọn ấn 1 ( ta chọn vectơ A ) . Máy hỏi Ta nhập số chiều cho vectơ ấn 3 = Nhập tọa độ vào ấn 2 = 7 = 5 = Nhập vectơ ấn SHIFT 5 1 2 3 Nhập tọa độ của ấn (- ) 3 = 4 = 7 = Tiếp tục ấn SHIFT 5 1 3 3 để nhập tọa độ của vectơ Nhập tọa độ của ấn 0 = (- ) 7 = (- ) 3 = Ta bắt đầu tính Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ ) ấn tiếp ´ ( (-) 3 ) + 2 ´ SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ ) - SHIFT 5 3 3 ( Gọi lại vectơ ) = Kết quả : ấn tiếp „ Kết quả : ấn tiếp „ Vậy Tính tương tự như trên bằng cách gọi lại rồi đưa vào biểu thức của vectơ , ta tính được : ; b) Tính độ dài của Tính : Đặt vectơ A trong máy thay cho Ấn SHIFT 5 1 1 3 = Nhập tọa độ cho vectơ : (-) 12 = (-) 6 = 2 = SHIFT ) ( Abs là tính độ dài của vectơ) SHIFT 5 3 1 = Kết quả : Tính tương tư , ta được : Tính tích vô hướng của Tính :Nhập vectơ và vectơ như câu a) Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ ) Ấn tiếp SHIFT 5 „ 1 ( Dot dùng để tính tích vô hướng ) Ấn SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ ) Ấn = Kết quả : Ta tính được : Tìm k , h và t sao cho Với kết quả tìm được ở trên , ta có Suy ra : Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn như đã trình bày ở phần trên , ta giải được : Vậy Ví dụ 2 : Cho đường thẳng (d) Cho biết vectơ chỉ phương của (d) Giải : Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x – y + z + 4 = 0 là của –x + 2y + 3z – 1 = 0 là = (-1 , 2 , 3) Do đó (d) có vectơ chỉ phương là = ( Dùng chương trình VCT ta tính được = Cách ấn như sau : Ấn 3 lần MODE và chọn 3 (VCT) (màn hình hiện VCT) Ấn SHIFT 5 chọn 1 (Dim) sau đó chọn 1 (A) Nhập VctA = = ( 2,-1 , 1) như sau : Thấy máy hiện VctA(m) m? ấn 3 (không gian 3 chiều) máy hiện VctA1 ? ấn 2 = máy hiện VctA2 ? ấn –1 = máy hiện VctA3 ? ấn 1 = Lại ấn SHIFT 5 chọn 1 (Dim) sau đó chọn 2 (B) Nhập VctB = = (-1, 2, 3) tương tự. Sau khi đã nhập xong VctA = = (2 ,–1 , 1) ; VctB = = (–1 , 2 , 3) Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ ) ´ (dùng để tính tích hữu hướng ) Ấn SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ ) Ta được màn hình VctA ´ VctB Ấn = Kết quả -5 , ấn tiếp „ Kết quả -7 , „ Kết quả 3 Vậy (dấu ´ (hữu hướng) lấy ở phím ´ ). Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho M(1 , 3 , 2) ; N(4 , 0 , 2) ; P(0 , 4 , –3) ; Q(1 , 0 , –3) a) Viết phương trình mặt phẳng (MNP) b) Tính diện tích tam giác MNP c) Thể tích hình chóp QMNP Giải : a) Vectơ pháp tuyến của (MNP) là Nhập = VctA ; = VctB như trên ( nhập thẳng từ hiệu các tọa độ điểm) Sau đó ghi vào màn hình VctA´VctB và ấn = Kết quả : = (15 , 15 , 0) (MNP) còn qua M(1 , 3 , 2 ) nên có phương trình là: 15(x–1) + 15(y–3) + 0(z–2) = 0 hay x + y – 4 = 0 b) Cách 1 Diện tích Dùng chương trình VCT , ta tính được S=10.6066 đvdt (Nhập ; như ví dụ 1 và cuối cùng ghi và ấn = Dấu – (nhân vô hướng ) có bằng cách ấn SHIFT VCT „ 1 ( Dot ) Cách 2 : Sau khi nhập Ghi vào màn hình : 0.5 Abs(VctA´VctB) và ấn = Abs (tính độ dài ) ghi bằng phím SHIFT ) c) Thể tích V= Dùng chương trình VCT Nhập VctA , VctB , VctC như phần a) ( thực ra chỉ nhập ) và cuối cùng ghi : (1f 6) (VctA´VctB).VctC và ấn = Kết quả : đvtt Ví dụ 3 : Tính khoảng cách từ điểâm đến đường thẳng (D) có phương trình : a) b) c) Giải : Ta biết khoảng cách từ đến đường thẳng (D) qua và có Vectơ chỉ phương là a) , , = (2 , 1, 1) Nhập = VctA ; = VctB và ghi vào màn hình Abs(VctA´VctB) ¸ AbsB và ấn = Kết quả : d = 2.1213 b) Giải giống hệt câu a) c) Tìm điểm như sau Tự cho z = 0 rồi vào chương trình giải phương trình bậc nhất 3 ẩn để giải hệ Ta được Nhập tiếp theo VctA = = (2 , –1 , 1) VctB = = (–1 , 2 , 3) VctC = (nhập trực tiếp từ tọa độ ) Ghi vào màn hình VctA´VctB và ấn = (được vectơ chỉ phương của (D) ) Và ghi tiếp và màn hình Abs(VctC´VctAns)¸AbsVctAns và ấn = ( VctAns ghi bằng cách ấn SHIFT 5 3 4 ) Kết quả : d = 3.4467 Ví dụ 4 : Cho hình hộp mà ba cạnh tại một đỉnh được xác định bởi 3 vectơ ; ; a) Tính diện tích toàn phần S. b) Tính thể tích V. c) Tính đường cao h với , là vectơ chỉ phương của mặt đáy. Giải : a) S = Nhập VctA= ; VctB= ; VctC= Rồi ghi vào màn hình 2(Abs(VctA´VctB)+ Abs(VctB´VctC)+ Abs(VctC´VctA)) và ấn = Kết quả : S = 225.5906 đvdt b) V = (´). Cách 1 : Ghi vào màn hình E = (VctA´VctB).VctC Và ấn = V = 219 (lấy giá trị tuyệt đối) Cách 2 : Dùng chương trình ma trận (MAT) Ấn MODE ba lần rồi chọn 2 (MAT) (màn hình hiện MAT) Ta biết = () = () = () nếu đặt MatA = = thì V = (´). = detMatA Cách ấn : Khi đã vào màn hình ma trận (có hiện MAT) Ta ấn tiếp SHIFT MAT chọn 1 (Dim) , chọn tiếp 1 (A) Máy hiện MatA(m´n) m ? ấn 3 = Máy hiện MatA(m´n) n ? ấn 3 = Máy hiện MatA11 ấn 3 = Máy hiện MatA12 ấn 5 = Máy hiện MatA13 ấn -1 = Máy hiện MatA21 ấn 2 = . . . . . . . . . . . . . . Máy hiện MatA33 ấn 1 = (đã nhập xong ma trận A (MatA) Ấn tiếp SHIFT MAT „ chọn 1 (Det) Ấn SHIFT MAT chọn 3 (MAT) chọn 1 (A) để có màn hình : Det MatA ấn = Kết quả : V = 219 (Câu b) được giải như trên thì nhanh hơn). c) Đường cao h định bởi Ghi vào màn hình : E ¸ Abs(VctB´VctC) và ấn = Kết quả h = 5.8635 Ví dụ 5. Cho 2 đường thẳng chéo nhau: (d) : (d’) : Thì khoảng cách h giữa (d) và (d’) chéo nhau là với = (a , b , c) ; ’ = (a’ , b’, c’) là các vectơ chỉ phương của (d) , (d’) và M() Ỵ (d) , M’() Ỵ (d’) Áp dụng bằng số : Trong không gian Oxyz cho (d) : (d’) : thì (d) qua M(0 , 1 , –1) và có vectơ chỉ phương =(2 , 1 , –1) còn (d’) có vectơ chỉ phương ’= (2 , 1 , –1) ´ (1 , –1 , 1) = (0 , –3 , –3) và qua (tính được tọa độ M’ bằng cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (d’) với z = 0) Nhập = VctA , ’= VctB , (VctC được nhập trực tiếp từ tọa độ các điểm M , M’) Xong ghi vào màn hình : (VctA´VctB).VctC ¸Abs(VctA´VctB) Kết quả h = 2.3094 Ghi chú. Muốn tính góc a của d, d’ với (d ) có vectơ chỉ phương và (d’) có vectơ chỉphương ’ thì dùng công thức cosa = Nhập = VctA , ’ = VctB Rồi ghi vào màn hình ( ở D) A.VctB)¸(AbsA´AbsB) và ấn = 0’’’ Ghi chú : Nếu = (a , b , c) ; ’ = (a’, b’, c’) lần lượt là các vectơ chỉ phương của (d),(d’) và () Ỵ (d),() Ỵ (d’) thì phương trình của đường thẳng vuông góc chung của (d) , (d’) là Trong đó M(x , y) là điểm thuộc đường vuông góc chung VctA = , VctB = ta cứ ghi vào màn hình như sau VctA´(VctA´VctB) và ấn = Ta được VctAns = (a”,b”,c”) Sau đó ghi tiếp vào giấy = 0 Tương tự cho dòng thứ hai của hệ phương trình xác định đường vuông góc chung . Bài toán : (d) có phương trình (d) có phương trình thì và và Áp dụng công thức trên (và tính bằng máy) , ta được Phương trình đường vuông góc chung là Bài tập thực hành : Bài 1 : Cho các vectơ , , a) Tìm tọa độ của các vectơ : ; ; b) Tính độ dài của c) Tính tích vô hướng của d) Tìm k và h sao cho Bài 2 : Cho đường thẳng (d) . Tìm vectơ chỉ phương của (d) và tính khoảng cách từ M ( 3 ;- 7 ; 5 ) đến đường thẳng (d) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(-6 , 4 , 1) ; B(7 , 1 , 3) ; C(5 , 7 , –2) ; D(1 , –8 , –7) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) ; (ABC) b) Tính diện tích tam giác BCD c) Thể tích hình chóp A.BCD Bài 4 : Trong không gian cho hai đường thẳng có phương trình ; Tính khoảng cách giữa ĐS : MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIA N Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu nếu biết a ) Tâm và đi qua điểm M( - 4 ; 5 ; 7 ) b) Mặt cầu đi qua 4 điểm A (- 1 ; 2 ; 9 ) ; ; ; Giải : Bán kính mặt cầu là : Ghi vào màn hình : ấn = Kết quả : Vậy : Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là : Cách 1 : Gọi I ( x ; y ; z) là tâm của mặt cầu cần tìm , ta có : Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn , nhập trực tiếp các hệ số a , b , c , d .Ta được Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là : Cách 2 : Với máy Vinacal ta có thể giải trực tiếp để tìm các hệ số a , b , c , d bằng cách thay tọa độ của 4 điểm A , B , C , D vào phương trình (1) Thay tọa độ của 4 điểm A , B , C , D vào phương trình (1) Ta được hệ bậc nhất 4 ẩn : Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn Ấn MODE ba lần , ấn 1 , rồi tiếp tục ấn 4 Nhập lần lượt các hệ số của phương trình trên , cuối cùng ta được nghiệm : Vậy phương trình cần tìm là : Bài tập thực hành : Viết phương trình mặt cầu nếu biết a ) Tâm và đi qua điểm M(2 ; -5 ; 3 ) b) Mặt cầu đi qua 4 điểm A (- 3 ; 5 ; 0 ) ; ; ;