Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chuû ñeà 1. Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng Baøi 1. Trên mặt phẳng toạ độ, cho u (x, y) , u (x , y )   . Chứng minh rằng u , u cùng phương khi và chỉ khi xy x y 0   . Baøi 2. Trên mặt phẳng toạ độ, cho A(1, 2) , B(3,4) , C(5,6) . Chứng minh A , B , C thẳng hàng. Baøi 3. Trên mặt phẳng toạ độ, cho A(1, 1) , B(2,4) . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ. Baøi 4. Trên mặt phẳng toạ độ, cho a (1, 2) , b ( 2, 3)   , c ( 3,7)  . Hãy biểu diễn c qua a , b  . Baøi 5. Trên mặt phẳng toạ độ, cho A( 1,1) , B(1, 2) , C(4,0) . Tìm toạ độ điểm M sao cho (a) AM 2BC 3AC     . (b) AM 2BM 3CM 0       . (c) ABCM là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo. Baøi 6. Trên mặt phẳng toạ độ, cho A( 2,5) , B(2,4) . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực của AB với các trục toạ độ. Baøi 7. Trên mặt phẳng toạ độ, cho A( 3,6) , B(1, 2) , C(6, 3) . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Baøi 8. Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A( 1,1) , B(3, 2) , 1C( , 1) 2   . (a) Tính chu vi ABC . (b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Baøi 9. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC với A(2,4) , B(2,1) , C(6,1) . (a) Tính độ dài đường phân giác trong góc A . (b) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC . Baøi 10. Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A( 3,4) , B( 4,0) . Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ O(0,0) là trọng tâm tam giác. Baøi 11. Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-3, 4), B(-4, 0). Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoàng một đoạn có độ dài bằng 1 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 2 Baøi 12. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC . Biết A(1, 2) , M(0,1) là trung điểm của AB , N(3, 1) là trung điểm của AC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Baøi 13. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC . Biết A(1, 2) , M(0,1) là trung điểm của AB , P(3,1) là trung điểm của BC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Baøi 14. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC . Biết M( 1,2) , N( 3, 2)  , P(5,0) lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Baøi 15. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC . Biết A( 3, 4)  và các trung tuyến đi qua B , C lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Baøi 16. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC . Biết A(1, 3) và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Baøi 17. Trên mặt phẳng toạ độ, cho ABC . Biết A(2,5) và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Baøi 18. Trên mặt phẳng toạ độ cho A(1, 2) , B(3,4) . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho (a) (MA MB) nhỏ nhất. (b) | MA MB | lớn nhất. Baøi 19. Cho A(2,4) . Tìm B Ox , C Oy sao cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu? Baøi 20. Chứng minh với mọi x , y , z , t ta có: 2 2 2 2 2 2x y z t (x z) (y t) .       Baøi 21. Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến A(1, 2) và B(3,4) đạt giá trị nhỏ nhất. Baøi 22. Cho 1 1 1M (x , y ) , 2 2 2M (x , y ) , 3 3 3M (x , y ) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của ABC . Hãy xác định tọa độ của A , B , C theo tọa độ của 1M , 2M , 3M . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 3 Chuû ñeà 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng I. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình tổng quát : ax by c 0    , ( 2 2a b 0  ).  nhận n(a,b)  làm vectơ pháp tuyến (Hình 1). Hình 1 * Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát +) : ax c 0   , (a 0 ).  song song hoặc trùng với Oy (Hình 2). +) :by c 0   , (b 0 ).  song song hoặc trùng với Ox (Hình 3). +) : ax by 0   , ( 2 2a b 0  ).  đi qua gốc tọa độ (Hình 4). Hình 2 Hình 3 Hình 4 +) Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: x y: 1 a b    .  qua A(a,0) và B(0,b) (ab 0 ) (Hình 5). +) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: : y kx m   , (k được gọi là hệ số góc của  ). Nếu k 0 đặt M Ox  , gọi Mt là nửa đường thẳng  ở phía trên Ox . Khi đó k tan xMt (Hình 6). x O  y x O  y n(a,b)   x O  y Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 4 Hình 5 Hình 6 II. Các bài toán cơ bản Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng 0 0 0 0n(a,b) qua M(x ,y ) : a(x x ) b(y y ) 0          . Bài toán 2 Viết phương trình đường thẳng biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng 0 0 0 0u(a,b) qua M(x ,y ) : b(x x ) a(y y ) 0 / /          . Bài toán 3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng 0 0 0 0 qua M(x ,y ) : a(x x ) b(y y ) 0 / / ' : ax by c 0             . ( M ) Bài toán 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng 0 0 0 0 qua M(x ,y ) : b(x x ) a(y y ) 0 ' : ax by c 0              . Bài toán 5 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước Phương trình đường thẳng  qua 0 0M(x , y ) và có hệ số góc k là: 0 0y k(x x ) y   . Bài toán 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Quy về Bài toán 2: đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ AB  làm vectơ chỉ phương. x O  y M t k tan xMt x O y A(a,0) B(0,b)  Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 5 Bài toán 7 Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng Quy về Bài toán 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận AB  làm vectơ pháp tuyến. Bài toán 8 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước  đi qua 0 0M(x , y ) và tạo với Ox góc  ( o o0 90   ) 0 0 : y k(x x ) y | k | tan         . Bài toán 9 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  , ta làm như sau * Lập phương trình đường thẳng ' qua M , vuông góc với  (Bài toán 4). * H là hình chiếu vuông góc của M lên  H '   . Bài toán 10 Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng Giả sử cần tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng  , ta làm như sau * Lập phương trình đường thẳng ' qua M , vuông góc với  (Bài toán 4). * Tìm giao điểm I của  và ' . * M' đối xứng với M qua '  M' đối xứng với M qua I . III. Bài tập * Các bài toán lập phương trình đường thẳng đơn giản Bài 1. Lập phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau (a)  qua M(2, 1) và nhận n(3, 1)  làm vectơ pháp tuyến. (b)  qua 1M , 3 2       và nhận u(2,0)  làm vectơ chỉ phương. (c)  qua M(1,4) và song song với đường thẳng ' : x 2x 12 0    . (d)  qua 3M 1, 4       và vuông góc với đường thẳng ' : x 3x 12 0     . (e)  qua M(1,4) và có hệ số góc bằng 5 . (f)  đi qua hai điểm A(2,4) và B(2, 1) . (g)  đi qua hai điểm A(3,0) và B(0, 1) . (h)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A( 1,7) và B(2, 4) . (i)  qua 2M 3, 3       và tạo với Ox góc o30 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 6 Bài 2. Tìm tọa độ điểm A trong các trường hợp sau (a) A là giao điểm của các đường thẳng : 3x 4y 3 0    và ' :10x 4y 10 0    . (b) A là giao điểm của các đường thẳng : x 2y 5 0    và ' : 4x 5y 14 0    . (c) A là hình chiếu vuông góc của B(3, 1) lên đường thẳng : x 3y 4 0    (d) A đối xứng với B( 1,2) qua đường thẳng : x 2y 0   . * Các bài toán về tam giác Bài 3. Cho tam giác ABC với A(1, 2) , B( 1, 2)  , C(3, 3) . Hãy lập phương trình các cạnh và các đường cao của tam giác. ĐS: AB : 2x y 0  , BC : x 4y 9 0   , CA : 5x 2y 9 0   . Gọi Ad , Bd , Cd lần lượt là các đường cao qua A , B , C , ta có Ad : 4x y 2 0   , Bd : 2x 5y 8 0   , Cd : x 2y 3 0   . Bài 4. Viết phương trình các cạnh của ABC biết trung điểm của các cạnh là M(2,1) , N(5, 3) , P(3, 4) . Bài 5. Viết phương trình các đường trung trực của ABC biết trung điểm các cạnh là M( 1, 1)  , N(1,9) , P(9,1) . Bài 6. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác cân ABC biết B( 3; 2)  , C(5;2) và A nằm trên đường thẳng d : x 2y 7 0   . ĐS: A( 1;4) . Bài 7. Viết phương trình các cạnh của ABC biết B( 4, 5)  và phương trình hai đường cao: 1(d ) : 5x 3y 4 0   và 2(d ) : 3x 8y 13 0   . Bài 8. Cho ABC có (AB) : 5x 3y 2 0   và các đường cao đi qua A , B có phương trình lần lượt là 1(d ) : 4x 3y 1 0   và 2(d ) : 7x 2y 22 0   . Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao còn lại của tam giác. Bài 9. [ĐHD04] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh  A 1;0 , B (4;0) ,  C 0;m với m 0 . tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . xác định m để tam giác GAB vuông tại G . Bài 10. [ĐHB03] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB AC , BAC 90  . Biết  M 1; 1 là trung điểm cạnh BC và 2G ;0 3       là trọng tâm tam Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 7 giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C . ĐS: A(0, 2) . Bài 11. [CĐ09Chuẩn] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có  C 1;2 , đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình l5x y-9 0  và x 3y-5 0  . Tìm toạ độ các đỉnh A và B . Bài 12. Viết phương trình các cạnh của ABC biết C(4, 1) , đường cao và trung tuyến kẻ từ cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là 1d : 2x 3y 12 0   và 2d : 2x 3y 0  . ĐS: Giả sử 1 2d d A  . AB : 9x 11y 5 0   , BC : 3x 2y 10 0   , CA : 3x 7y 5 0   . Bài 13. Viết phương trình các cạnh của ABC biết A(1, 3) và hai trung tuyến có phương trình là 1d : x 2y 1 0   và 2d : y 1 0  . ĐS: Giả sử 1d là trung tuyến qua B , 2d là trung tuyến qua C . AB : x y 2 0   , BC : x 4y 1 0   , CA : x 2y 7 0   . Bài 14. Cho ABC có M( 1,1) là trung điểm của một cạnh, hai cạnh còn lại có phương trình là x y 2 0   , 2x 6y 3 0   . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. Bài 15. Cho ABC có phương trình hai cạnh là 5x 2y 6 0   và 4x 7y 21 0   . Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác. ĐS: Giả sử AB : 5x 2y 6 0   , BC : 4x 7y 21 0   . CA : y 7 0  . Bài 16. Cho ABC với A(2, 1) và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt là B(d ) : x 2y 1 0   và C(d ) : x y 3 0   . Lập phương trình các cạnh của tam giác. Bài 17. [ĐHD09] Cho ABC có M(2,0) là trung điểm cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao đi qua A có phương trình lần lượt là 7x 2y 3 0   và 6x y 4 0   . Viết phương trình đường thẳng AC . Bài 18. [ĐHA02] Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A , phương trình đường thẳng BC là 3x y 3 0   , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 . tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . ĐS: 2 3 1 3 3G , 3 3         hoặc 5 2 3 3 3G , 3 3         . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 8 Bài 19. [ĐHB07] Cho  A 2;2 và 1d : x y – 2 0  , 2d : x y – 8 0  . Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc 1d và 2d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . Bài 20. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thằng AB là  H 1; 1  , đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y 2 0  và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y – 1 0  . Bài 21. [ĐHA10NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) , đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x y 4 0   . Tìm tọa độ các đỉnh B và C , E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. ĐS: B(0; 4) , C( 4;0) hoặc B( 6;2) , C(2; 6) . Bài 22. [ĐHD10Chuẩn] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh  A 3; 7 , trực tâm là  H 3; 1 , tâm đường tṛòn ngoại tiếp là  I 2;0 . Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương. ĐS:  C 2 65;3  . * Các bài toán về hình thang Bài 23. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết A(2,2) , B(4,1) ,C( 3,1) . Tìm tọa độ đỉnh D của hình thang biết rằng CD 3AB . ĐS: D( 9,4) . Bài 24. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết đường thẳng AB cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 3 , AD : x 2  , C nằm trên trục hoành, B có tung độ bằng hai lần hoành độ và đường trung bình của hình thang có phương trình d : x 3y 1 0   . Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình thang. ĐS: A( 2,1) , B(1, 2) , C(7,0) , D( 2, 3)  . Bài 25. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết A(-1,1) , BC : x 4y 9 0   , đường trung bình của hình thang có phương trình 1d : y x 2  và DC 2AB . Hãy lập phương trình các cạnh và xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang. ĐS: B(1, 2) , C(5,1) , D( 1, 2)  . AB : x 2y 3 0   , CD : x 2y 3 0   , DA : x 1 0  . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 9 Bài 26. Cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD ). Biết 1M( 3, ) 2  là trung điểm của AB , AD : y 3x 12  và đường trung bình của hình thang có phương trình d : 2x 4y 3 0   . Hãy lập phương trình các cạnh còn lại và xác định tọa độ các đỉnh của hình thang. ĐS: A(-4,0) , B(-2,1) , C(1,0) , D(-5, -3) . * Các bài toán về hình bình hành Bài 27. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết rằng hai đường chéo của hình hành này cắt nhau tại gốc tọa độ và các đỉnh A , B , C , D lần lượt thuộc các đường thẳng 1d : y 3x 5  , 2d : x y 1 0   , 3d : 2x 3y 7 0   , 4d : x 2y 1 0   . ĐS: A(-2,1) , B(-1,0) , C(-2, -1) , D(1,0) . * Các bài toán về hình chữ nhật Bài 28. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết rằng hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại 3 3I , 2 2       , các đường thẳng chứa các cạnh AB , BC , CD lần lượt đi đi qua các điểm M( 2, 3) , 4N , 3 3       , P( 2,1) . ĐS: A( 5, 2) , B(1,4) , C(2,1) , D( 4, 1)  , AB : x 3y 11 0   , BC : 3x y 7 0   , CD : x 3y 1 0   , DA : 3x y 13 0   . Bài 29. [ĐHA09Chuẩn] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm  I 6;2 là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm  M 1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc đường thẳng : x y 5 0    . Viết phương trình đường thẳng AB . ĐS: AB : x 4y 19 0   . Bài 30. [ĐHB02] Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1I ;0 2       , phương trình đường thẳng AB là x – 2y 2 0  và AB 2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C , D biết rằng A có hoành độ âm. ĐS: A( 2,0) , B(2, 2) , C(3,0) , D( 1, 2)  . * Các bài toán về hình vuông Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 10 Bài 31. Cho hình vuông ABCD có I(1, 2) là giao điểm của hai đường chéo. A và C lần lượt nằm trên các đường thẳng 1d : x y 3 0   và 2d : x 2y 5 0   . Biết thêm rằng B có hoành độ dương. Hãy xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vuông. ĐS: A(7, 4) , B(3,4) , C( 5,0) , D(-1, -8) , AB : 2x y 10 0   , BC : x 2y 5 0   , CD : 2x y 10 0   , DA : x 2y 15 0   . Bài 32. Cho hình vuông ABCD có 1 1I , 2 2        là giao điểm của hai đường chéo. Điểm 5M 1, 4       thuộc đường thẳng AB , 5N 1, 2       là trung điểm của CD . Biết thêm rằng A có hoành độ âm, hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. ĐS: A(-2, 2) , B(2,1) , C(1, -4) , D(-3, -2) . Bài 33. Cho hình vuông ABCD có A( 4,1) và đường chéo BD có phương trình y 5x 8  . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. ĐS: A(-4,1) , B(-1, 3) , C(1,0) , D(-2, -2) hoặc A(-4,1) , B(-2, 2) , C(1,0) , D(-1, 3) . Bài 34. [ĐHA05] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng 1d : x – y 0 và 2d : 2x y – 1 0  . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , C thuộc 2d và các đỉnh B , D thuộc trục hoành. Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 11 Chuû ñeà 3. Phương trình tham số của đường thẳng I. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình tham số của đường thẳng * Bài toán: Lập phương trình của đường thẳng  , biết 0 0 qua M(x , y ) / /u(a,b)     , ( 2 2a b 0  ). Lời giải: 00 0 0 x x at M(x,y) M M / /u t : M M t.u t : y y bt                     . Hệ 0 2 20x x at , ( y y bt a b 0)        (0.1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  , với tham số t . * Chú ý 1 (về ý nghĩa của phương trình tham số): +) Thay mỗi t vào phương trình tham số (0.1), ta được một điểm M(x,y) . +) Điểm M(x,y) thì có một số t sao cho x , y thỏa mãn hệ. * Chú ý 2: một đường thẳng luôn có vô số phương trình tham số. 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng Nếu a 0 , b 0 , từ (0.1), khử tham số t , ta được 0 0 x x y y a b    . (0.2) Phương trình (0.2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng qua 0 0 0M (x , y ) và nhận u(a,b)  là một vectơ chỉ phương. Trong trường hợp a 0 hoặc b 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. II. Các ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các trường hợp sau: (a)  qua M(1,6) và nhận u(2, 1)  làm vectơ chỉ phương. (b)  qua M(4, 2) và nhận 1u ,0 2        làm vectơ chỉ phương. (c)  qua 3M ,1 4       và nhận n(2,1)  làm vectơ pháp tuyến. Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 12 (d)  qua A( 1, 2) và B(1,4) . Giải. (a) * Phương trình tham số: x 1 2t : y 1 6t        , trong đó t là tham số. * Từ phương trình tham số của  , khử tham số t , ta được x 1 y 1 x 1 y 1 2 6 1 3        . Suy ra phương trình chính tắc x 1 y 1: 1 3     . * Ta có x 1 y 1 3(x 1) y 1 3x y 4 0 1 3            . Suy ra phương trình tổng quát : 3x y 4 0    . (b) * Phương trình tham số: 1x 4 t : 2 y 2        , trong đó t là tham số. *  không có phương trình chính tắc. * Ta có y 2 y 2 0    . Suy ra phương trình tổng quát: : y 2 0   . (c) * Ta thấy n(1, 2)   (do n u   ). Từ đó suy ra phương trình tham số 3x t : 4 y 1 2t         , trong đó t là tham số. * Từ phương trình tham số của  , khử tham số t , ta được phương trình chính tắc 3 4x y 1: 1 1      . * Ta có: 3 4x y 1 4x 3 y 1 (4x 3) 4(y 1) 4x 4y 7 0 1 1 4 1                   . Suy ra phương trình tổng quát : 4x 4y 7 0    . (d) Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 13 * Ta có qua A( 1, 2) / /AB(2,4) / /(1, 2)      phương trình tham số x 1 t: y 2 2t        , trong đó t là tham số. * Từ phương trình tham số của  , khử tham số t , ta được phương trình tham số x 1 y 2: 1 2     . * Ta có x 1 y 2 2x y 4 0 1 2        . Từ đó suy ra phương trình tổng quát : 2x y 4 0    . Ví dụ 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng  trong các trường hợp sau: (a) : x 1 0   . (b) : 3x 2y 6 0    . (c) 1x y 52: 3 5     . Giải. (a) x 1 : , y t     trong đó t là tham số. (b) 1x t 3: 1y 3 t 2         , trong đó t là tham số. (c) 1x 3t : 2 y 5 5t           , trong đó t là tham số. Ví dụ 3. Cho 3x t : 4 y 3 3t          , trong đó t là tham số. (a) Xác định các điểm nằm trên  tương ứng với giá trị 1 , 2 , 3 của tham số. (b) Trong các điểm 3A , 3 4       , 21B 1, 4       , C(2, 3) , điểm nào thuộc  ? Giải. (a) Thay các giá trị 1 , 2 , 3 của tham số t vào phương trình tham số của  , ta có các điểm tương ứng là 7M ,6 4       , 11N ,9 4       , 15M ,12 4       . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 14 (b) Ta có 3 3 t t 0 M4 4 3 3 3t             . 11 3 t t 2 N4 4 9 3 3t             . 3 112 t t t P4 4 3 3 3t t 0                   . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 15 Chuû ñeà 4. Khoảng cách và góc I. Tóm tắt lý thuyết 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng M M 2 2 | ax by c |: ax by c 0 d(M, ) a b           . 2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Giả sử : ax by c 0    . Khi đó: +) M và N nằm khác phía đối với  M M N N(ax by c)(ax by c) 0      . +) M và N nằm cùng phía đối với  M M N N(ax by c)(ax by c) 0      . 3. Hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng Cho 1 1 1 1 2 2 2 2 : a x b y c 0 : a x b y c 0          . Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 có dạng 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b         . 4. Góc giữa hai đường thẳng 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 2 : a x b y c 0 | a a b b | cos( , ) : a x b y c 0 a b . a b                . II. Bài tập * Các bài tập về khoảng cách Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau (a) M(1,1) , d : x y 2 0   . (b) M(2,1) , x 1 y 1d : 1 1     . (c) M(1,5) , x 2t d : y 4 t     , t là tham số. ĐS: (a) 2 . (b) 3 2 2 . (c) 1 5 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 16 Bài 2. Cho tam giác ABC . Biết A( 2,0) , B(4, 2) , S( ABC) 10  và C nằm trên đường thẳng d : y x . ĐS: C(2,2) C( 3, 3)     . Bài 3. Biết diện tích ABC là 3S 2  , A(2, 3) , B(3, 2) và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng có phương trình (d) : 3x y 8 0   . Tìm tọa độ đỉnh C . Bài 4. [ĐHA06] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đường thẳng 1d : x y 3 0   , 2d : x y 4 0   , 3d : x 2y 0  . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . Bài 5. [ĐHB09NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A( 1;4) và các đỉnh B , C thuộc đường thẳng x y 4 0   . Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC .bằng 18 . Bài 6. [CĐ09NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho các đường thẳng 1:x 2y 3 0    và 2:x y 1 0    . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng 1 2 . Bài 7. [ĐHB04] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm  A 1;1 ,  B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thằng x – 2y – 1 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6 . Bài 8. [ĐHD10NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đi