Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phương pháp về các tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1/ Chứng minh ba điểm thẳng hàng a/ Kiến thức cần sữ dụng Cho điểm A(x1; y1; z1) và B(x2; y2; z2) Khi đó tọa độ véc tơ (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1) A, B, C thẳng hàng cùng phương A, B, C không thẳng hàng ( Là ba đỉnh của một tam giác) không cùng phương @ Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ( Không thẳng hàng ) ta thực hiện như sau Bược 1 : Xác định các véc tơ Bước 2 Tính Bước 3 : Nếu cùng phương A, B, C thẳng hàng Nếu không cùng phương A, B, C không thẳng hàng (A, B, C Là ba đỉnh của một tam giác ) Ví dụ 1 Xét xem trong các bộ ba điểm sau đây bộ nào thẳng hàng bộ nào không thẳng hàng a/ A(2 ; - 1 ; 3), B(4 ; 0 ; 1) và C(- 10 ; 5 ; 3) b/ A(1 ; 1; 1), B( 4 ; - 5 ; 7 ) và C( 7 ; - 11 ; 13 ) c/ A, B, và C biết 2/ Chứng minh bốn điểmA, B, C, D Đồng phẳng a/ Kiến thức cần sữ dụng Cho điểm A(x1; y1; z1) và B(x2; y2; z2) Khi đó tọa độ véc tơ (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1) A, B, C, D đồng phẳng đồng phẳng A, B, C, D Không đồng phẳng ( Là bốn đỉnh của một tứ diện ) không đồng phẳng @ Để chứng minh bốn điểm A, B, C đng phẳng ( Không đồng phẳng ) ta thực hiện như sau Bược 1 : Xác định các véc tơ Bước 2 Tính và Bước 3 : Nếu = 0 đồng phẳng A, B, C đồng phẳng Nếu không đồng A, B, C , D không đòng phẳng (A, B, C, D Là bốn đỉnh của một tứ diện ) Ví dụ 1 Xét xem trong các bộ bốn điểm sau đây bộ nào đồng phẳng bộ nào không đồng phẳng a/ A(2 ; - 1 ; 3), B(4 ; 0 ; 1) , C(- 10 ; 5 ; 3) và D ( 1; 2 ; 3) b/ A(1 ; 1; 1), B( 4 ; - 5 ; 7 ) , C( 7 ; - 11 ; 13 ) và D( 2; - 1; 3) c/ A, B, C và D biết và D( 1; 2 ; 3) 3 . Mặt phẳng trong không gian Các mặt phẳng đặc biệt mp Oxy : z = 0 véc tơ pháp tuyển mpOxz : y = 0 véc tơ pháp tuyển mpOyz : x = 0 véc tơ pháp tuyển 3.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0 ; z0 ) nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến A(x – x0) + B(y – y0) +(z – z0) = 0 Ví dụ 1 a/ Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A( 1, -3; 4) và nhận làm véc tơ pháp tuyến KQ : 3x - 2y + 5z – 1 7 = 0 3.2 Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết phương trình tổng quát (P) : Ax +By + Cz + D =0 Véc tơ pháp tuyến Ví dụ Xác định véc tơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau a/ 2x +3y - 4z – 5 = 0 b/ 2x +y – 3z = 0 c/ 5x – z + 2 = 0 d/ 2y +3z – 4 = 0 e/ x – 7 y +2 = 0 g/ x + 3 = 0 h/ y -1 = 0 k/ 3z – 1 =0 3.3 Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(xA ; yA; zA) , B(xB;; yB; zB) , C(xC; yC; zC) * Xác định các véc tơ Tính =(a ; b ; c) với a2 + b2 c2 không cùng phương * Mặt phẳng (ABC) đi qua A, B, C nên nhận làm cặp véc tơ chỉ phương do đó có một véc tơ pháp tuyến là =(a; b ; c) * mặt phẳng (ABC) đi qua A(xA ; yA; zA) nên có phương trình (ABC) : a(x - xA) + b(y – yA) + (z – zA) = 0 Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm a/ ( 1; 0; 0), B(0;2;0) , C(0 ; 0; 3) KQ : 6x + 3y + 2z - 6 = 0 b/ A(2; 0; 1) , B (-1; 1; -2) , C(1; - 2; 3) KQ 4x – 9y – 7z + 1 = 0 3.4 Lập pương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0 ; z0 ) và song song song với mặt phẳng (P) : Ax +By + Cz + D = 0 * Gọi ( Q) là mặt phẳng cần lập * Mặt phẳng (P) Ax +By + Cz + D = 0 có véc tơ pháp tuyến * mp(Q)// mp(P) nên (Q) nhận làm véc tơ pháp tuyến * mp(Q) đi qua điểm M(x0; y0 ; z0 ) nên có phương trình A(x – x0) + B(y – y0) +(z – z0) = 0 Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; -3) và song song với mặt phẳng (P) 2x + 3y + z – 5 = 0 KQ : 2x + 3y + z – 4 = 0 3.5 Lập pương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0 ; z0 ) và song song song với hai đường thẳng (d) và (d’) * Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương là * Đường thẳng (d’) có véc tơ chỉ phương là * Mặt phẳng (p) // ( d) và (P)// (d’) nên (P) nhận và làm cặp véc tơ chỉ phương nên có một véc tơ pháp tuyến là * Mặt phẳng (P) đi qua M(x0; y0 ; z0 ) nên có phương trình A(x – x0) + B(y – y0) +(z – z0) = 0 Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;2) Và song song song với hai đường thẳng KQ : x – z + 1 = 0 3.6 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng (d’) * Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương là và điểm M(x0; y0 ; z0 ) thuộc (d) * Đường thẳng (d’) có véc tơ chỉ phương là * Mặt phẳng (p) chứa ( d) và (P)// (d’) nên (P) nhận và làm cặp véc tơ chỉ phương nên có một véc tơ pháp tuyến là * Mặt phẳng (P) chứa (d) nên đi qua M(x0; y0 ; z0 ) do đó (P) có phương trình A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 3.7 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P) : Ax +By + Cz + D = 0 * Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương là và điểm M(x0; y0 ; z0 ) thuộc (d) * Mặt phẳng (P) Ax +By + Cz + D = 0 có véc tơ pháp tuyến * Mặt phẳng ( Q) cần lập chứa (d) và vuông góc với (P) nên (Q) nhận và làm cặp véc tơ chỉ phương nên có một véc tơ pháp tuyến là * Mặt phẳng (P) chứa (d) nên đi qua M(x0; y0 ; z0 ) do đó (P) có phương trình m(x – x0) + n(y – y0) +l(z – z0) = 0 Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M1( 1; -1; -2), M2(3; 1; 1 ) và vuông góc với mặt phẳng x – 2y + 3 z - 5 = 0 KQ : 4x – y – 2z – 9 = 0 3.8 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng (d’) * Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương là và điểm M(x0; y0 ; z0 ) thuộc (d) * Đường thẳng (d’) có véc tơ chỉ phương là * Mặt phẳng (p) chứa ( d) và (P)// (d’) nên (P) nhận và làm cặp véc tơ chỉ phương nên có một véc tơ pháp tuyến là * Mặt phẳng (P) chứa (d) nên đi qua M(x0; y0 ; z0 ) do đó (P) có phương trình A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M1( 2; -1; 1), M2(3; 1; 2) và song song với trục Oy KQ: x – z – 1 = 0 3.9 Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0 ; z0 ) và vuông góc với đường thẳng (d) * Đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương là * Mặt phẳng (p) vuông góc với (d) nên có một véc tơ pháp tuyến là * Mặt phẳng (P) đi qua M(x0; y0 ; z0 ) do đó (P) có phương trình a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Ví dụ1 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A( 1; - 2; 3) và vuông góc với đường thẳng KQ 2x – 5y + z - 15 = 0 Ví dụ 2 : Lập phương trình mặt phẳng trung trực cuả đoạn thẳng AB với A( 1; 3; -2), B ( 1; 2; 1) KQ : y – 3z – 4 = 0 3.10 Xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) : Ax +By + Cz + D =0 và (P’) : A’x +B’y + C’z + D’ = 0 * (P) và (P’) cắt nhau theo một đường thẳng (d) Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (P’). (d) : * (P) // (P’) * (P) 3.9 Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) : Ax +By + Cz + D =0 và (P’) : A’x +B’y + C’z + D’ = 0 * Mặt phẳng (P) : Ax +By + Cz + D =0 có véc tơ pháp tuyến * Mặt phẳng (P’) : A’x +B’y + C’z + D’ =0 có véc tơ pháp tuyến Gọi là góc tạo bởi (P) và (P’) khí đó ta có