Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phương trình mặt phẳng (tiết 4)

Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian 204 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng. Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: a) Đi qua ba điểm      1,2,3 , 2, 4,3 , 4,5,6 .A B C  b) Đi qua điểm  0 1,3, 2M  và vuông góc với trục Oy . c) Đi qua điểm  0 1,3, 2M  và vuông góc với đường thẳng BC với    0,2, 3 , 1, 4,1B C  . d) Đi qua điểm  0 1,3, 2M  và song song với mặt phẳng   : 2 3 4 0.x y z     e) Đi qua điểm    3,1, 1 , 2, 1,4A B  và vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 4 0.x y z     f) Đi qua điểm  0 2, 1,2M  song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 4 0.x y z     g) Đi qua điểm  0 2,3,1M  và vuông góc với hai mặt phẳng  1 : 2 2 5 0.x y z      2 :3 2 3 0.x y z     h) Cho hai điểm    1,1,1 , 3, 1,1A B  . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: a) Đi qua ba điểm      3, 1,5 , 4,2, 1 , 1, 2,3 .I M N   b) Đi qua điểm  3, 1,5I  và vuông góc với MN , biết  4,2, 1M  và  1, 2,3N  . c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm  1, 2,5M   và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:  1 : 2 3 1 0.x y z      2 : 2 3 1 0.x y z     d) Đi qua điểm  1, 2,3M  và song song với mặt phẳng 3 2 13 0.x y z    e) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB , biết  3,2,1A  và  9,4,3 .B f) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm    2,1,1 , 3,2,2A B và vuông góc với mặt phẳng 2 5 3 0.x y z    Bài 3. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh        7,9,1 , 2, 3,2 , 1,5,5 , 6,2,5A B C D   . Gọi G là trọng tâm của tứ diện, I là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ diện. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , B G I . Bài 4. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh        5,1,3 , 1,6,2 , 5,0,4 , 4,0,6A B C D . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , A B C . b) Tính chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD . Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm    1 22,1,1 , 3,1,2M M và  3 0, 1, 4M   . H×nh häc kh«ng gian 12 ph-¬ng ph¸p täa ®ä trong kh«ng gian 205 a) Chứng minh rằng 1 2 3, ,M M M không thẳng hàng và tính diện tích tam giác 1 2 3M M M . b) Tính thể tích tứ diện 1 2 3OM M M c) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua ba điểm 1 2 3, ,M M M d) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm 1M và vuông góc với đường thẳng 2 3M M . e) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm 1 2,M M và song song với đường thẳng 3OM . Bài 6. Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm  1,2,3M a) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M cắt , , Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , ,A B C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC . b) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M cắt , , Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , ,P Q R sao cho M là trực tâm tam giác PQR . c) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M cắt , , Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , ,D E F sao cho tứ diện ODEF có thể tích bé nhất. Bài 7. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm    1 21,0,1 , 2, 1,0M M  và  3 0,0,1M . a) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm 1 2,M M mà khoảng cách từ 3M tới   bằng 2 2 . b) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3M mà khoảng cách từ 1M và 2M tới   đều bằng 2 2 . Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  1,2,3M ,  2, 2,4N  và song song với Oy . Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  0,0,0O và vuông góc với mặt phẳng   : 2 0Q x y z   và tạo với mặt phẳng  Oyz một góc 045 . Bài 10. Cho điểm  2, 2,0A  ,  4,2, 2 .B  Viết phương trinh mặt phẳng  P vuông góc với AB và cách điểm  1, 1,0M  một khoảng bằng 3 . Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng   : 0,Q x y z   song song với trục Oz và tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2: 2 2 4 3 0.S x y z x y z       Bài 12. Cho mặt phẳng   : 4 6 10 0x ay z     và   : 12 12 4 0.bx y z     Xác định , a b để    / /  , rồi tính khoảng cách từ mặt phẳng   đến mặt phẳng   . Bài 13. Cho điểm  2,3,1A ,  4,1, 2B  ,  6,3,7C , và  5, 4,8D   . Tính độ dài đường cao thuộc đỉnh A của tứ diện ABCD . Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian 206 Bài 14. Cho mặt phẳng   : 2 0P x y z   và điểm  2, 3,1M  . Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng  P đồng thời tạo với mặt phẳng 0x  một góc 045 . Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng   có phương trình 2 5 0x y z   một góc là 060 . Bài 16. Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua điểm  3,0,0A ,  0,0,1C và tạo với mặt phẳng  Oxy một góc là 060 . Bài 17. Cho mặt phẳng   : 2 2 0P x y z   và điểm  1,1,1A . Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua gốc tọa độ, điểm A và tạo với mặt phẳng  P một góc là 045 . Bài 18. Cho mặt phẳng  P có phương trình 2 0x y z   và điểm  2, 3,1 .A  Viết phương trình mặt phẳng đi qua A , gốc tọa độ và vuông góc với  .P Bài 19. Cho mặt phẳng  P có phương trình 2 0x y z   và hai điểm    1,0,0 , 2, 3,0 .A B  Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua A và B đồng thời tạo với mặt phẳng  P một góc là 060 . Bài 20. Cho mặt phẳng   có phương trình 2 0.x y z    Viết phương trình mặt phẳng  P song song với mặt phẳng   và cách mặt phẳng   một khoảng cách là 3h  . Bài 21. Viết phương trình mặt phẳng    / /Q P và cách mặt phẳng  P một khoảng cách là ,h trong mỗi trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng  P có phương trình là 2 2 0x y z   và 3.h  b) Mặt phẳng  P có phương trình 4 0x  và có 2.h  Bài 22. Cho hai mặt phẳng  1 : 2 0P x y z   và mặt phẳng  2 : 2 8 0.P x y z    Viết phương trình mặt phẳng  P song song và cách đều hai mặt phẳng đã cho. Bài 23. Cho hai điểm  1,0,2A và  0, 1,0B . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A và B , cách gốc tọa độ một khoảng cách  1 2 h . Bài 24. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua hai điểm ,A B và cách điểm M một khoảng cách là h trong các trường hợp sau: a)      1,0,1 , 0,2,0 , 1,1,1A B M và  1 3 h . b)      0, 2,1 , 1,1,1 , 0,0,0A B M và 1h . H×nh häc kh«ng gian 12 ph-¬ng ph¸p täa ®ä trong kh«ng gian 207 Bài 25. Cho hai điểm  1,0,1A và  0,1,0B . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua gốc tọa độ và tạo với các đường thẳng ,OA OB các góc bằng 030 . Bài 26. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  1,2,3M và tạo với các trục ,Ox Oy những góc tương ứng bằng 045 và 030 . Bài 27. Cho các điểm         1,1,0 , 0,0,0 , 2,0, 1 , 0,2, 3 .A O B C Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua O và tạo với đường thẳng , OA BC những góc tương ứng là 045 và  với   1 sin . 3 Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua điểm  0 2,1, 1M và qua giao tuyến của hai mặt phẳng          4 0 3 1 0 x y z x y z b) Đi qua điểm  0 2, 2,0M và qua giao tuyến của hai mặt phẳng   2 0x y và   2 1 0.x z Bài 29. Viết phương trình mặt phảng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   2 4 0y z và    3 0x y z đồng thời song song với mặt phẳng    2 0.x y z Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3 2 0x y z    và 4 5 0x y   , đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2 7 0.x z   Bài 31. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm  0 1,1,1M cắt các tia , ,Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , , A B C sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. Dạng II. Tìm điểm. Bài 32. Tìm a để bốn điểm  1,2,1 ,A  2, ,0 ,B a  4, 2,5 ,C   6,6,6D thuộc cùng một mặt phẳng. Bài 33. Cho hai điểm    0,0, 3 , 2,0, 1A B  và mặt phẳng  P có phương trình 3 8 7 1 0.x y z    a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  .P b) Tìm điểm C nằm trên mặt phẳng  P sao cho tam giác ABC là tam giác đều. Bài 34. Tìm trên Oy những điểm cách đều hai mặt phẳng   : 1 0x y z     và   : 5 0.x y z     Bài 35. Cho ba mặt phẳng   : 6 0x y z       : 2 1 0mx y z m         : 1 2 0mx m y z m      a) Xác định giá trị của m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau. b) Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng khi ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau. Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian 208 Bài 36. Trong không gín với hệ tọa độ trực chuẩn ,Oxyz xét tam giác đều OAB trong mặt phẳng  Oxy có cạnh bằng a , đường thẳng AB song song với trục ,Oy điểm A thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng  Oxy . Xét điểm 0,0, 3 a S       a) Hãy xác định toạ độ các điểm , A B và trung điểm E của đoạn OA , sau đó viết phương trình mặt phẳng  P chứa SE và song song với Ox . b) Tính khoảng cách từ O đến  P , từ đó suy ra khoảng cách giữa Ox và SE . Bài 37. Cho ba điểm      1,-3,4 , 1,-5,2 , 1,-3,0A B C và mặt phẳng  P có phương trình 0.x y z   Tìm trên mặt phẳng  P điểm I sao cho IA IB IC  . Dạng III. Góc giữa hai mặt phẳng. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Bài 38. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau: a) - 2 - 4 0x y z  và 10 10 20 40 0x y z    b) 3 2 3 5 0x y z    và 9 6 9 5 0.x y z    c) 1 0x y z    và 2 2 2 3 0.x y z    d) 2 3 0x y z    và 2 4 2 0.x y z    e) 2 5 0x y z    và 2 3 7 4 0.x y z    Bài 39. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau đây: a) 2 4 0x y z    và 2 3 0.x y z     b) 3 1 0y z   và 2 3 3 0.x y z    c) 3 2 5 4 0x y z    và 2 3 5 8 0.x y z    d) 2 12 0x y z    và 2 2 7 0.x y z    e) 5 1 0x z   và 6 2 6 5 0.x y z    Bài 40. Xác định giá trị , m để các cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau: a) 2 3 5 0x y z    và 6 6 2 0.mx y z    b)    2 1 0x y z         và   1 0.x my m z      c) 3 5 3 0x y mz    và 2 5 0.x y z   d) 3 2 1 0mx y z    và 2 5 0.x y z   Bài 41. a) Tìm a để hai mặt phẳng sau: 1 5 0 4 x y z    và 3sin cos sin 2 0x y z      là vuông góc với nhau. b) Tìm  để vectơ  sin ,0,sin cos2u    có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng   : 2 6 0.P x y z    c) Cho hai mặt phẳng có phương trình  1 : 2 3 6 0.x my z m      H×nh häc kh«ng gian 12 ph-¬ng ph¸p täa ®ä trong kh«ng gian 209 và      2 : 3 2 5 1 10 0.m x y m z       Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng  1 và  2 : i) Song song với nhau. ii) Trùng nhau. iii) Cắt nhau. iv) Vuông góc với nhau. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 42. Cho ba điểm      ,0,0 , 0, ,0 , 0,0,A a B b C c với , , a b c là các số thực dương thay đổi sao cho 2 2 2 3.a b c   Xác định , , a b c sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC là lớn nhất. Bài 43. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có        0,0,0 , ,0,0 , 0, ,0 , ' 0,0,A B a D a A b với , , a b c là các số thực dương và M là trung điểm của 'CC . a) Tính thể tích tứ diện ' .BDA M b) Tìm tỷ số a b để mặt phẳng  'A BD vuông góc với mặt phẳng  .MBD Bài 44. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  .ABI Bài 45. Cho khối lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh bằng 1. a) Tính góc tạo bởi đường thẳng 'AC và 'A B . b) Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh ' ', , 'A B BC DD . Chứng minh rằng 'AC vuông góc với mặt phẳng  .MNP c) Tính thể tích tứ diện .AMNP Bài 46. Cho tứ diện ABCD với        3,5, 1 , 7,5,3 , 9, 1,5 , 5,3, 3 .A B C D   Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó. Bài 47. Trong không gian Oxyz cho hai điểm  1 1 1 1, ,M x y z và  2 2 2 2, , ,M x y z không nằm trên mặt phẳng   : 0.Ax By Cz D     Tìm điều kiện cần và đủ để: a) Đường thẳng 1 2 M M cắt   . b) Đoạn thẳng 1 2 M M cắt  . c) Đường thẳng 1 2 M M cắt   tại điểm I sao cho điểm 1M nằm giữa I và điểm 2M . d) Đường thẳng 1 2 M M cắt   tại điểm I sao cho diểm 2M nằm giữa I và điểm 1.M Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian 210 Bài 48. Cho mặt cầu  S có phương trình: 2 2 2 12 4 6 24 0,x y z x y z       và mặt phẳng  P có phương trình: 2 2 1 0.x y z    a) Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng  .P b) Viết phương trình đường tròn tiếp diện ( nếu có ). Bài 49. Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trên hai mặt phẳng  1 : 2 4 7 0.    x y z  2 : 4 5 14 0.    x y z đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  1 : 2 2 2 0   P x y z và mặt phẳng  2 : 2 2 4 0.   P x y z Bài 50. Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai mặt phẳng   :5 4 6 0   P x y z   : 2 7 0   Q x y z và hai mặt phẳng  1 : 2 3 0,    x y z  2 : 3 0.    x y z a) Viết phương trình mặt cầu có tâm tại giao điểm I của mặt phẳng  P và đường thẳng b) Tìm tọa độ điểm 1I đối xứng với I qua mặt phẳng  .Q Bài 51. a) Cho mặt cầu có phương trình: 2 2 2 6 2 4 5 0x y z x y z       và điểm  0 4,3,0M . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm 0M . b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I  2,1,0 và tiếp xúc với mặt phẳng   có phương trình 2 2 5 0.x y z    c) Cho bốn điểm        3, 2, 2 , 3,2,0 , 0,2,1 , 1,1,2 .A B C D   Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng  BCD . d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm      1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A B C và có tâm I nằm trên mặt phẳng 3 0.x y z   