Giáo án lớp 12 môn Hình học - Sử dụng phươngtrình tổng quát của mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Gửi tặng: Mathvn.com Trong chương trình THPT khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước, học sinh và đôi khi là giáo viên sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng, phương pháp đó cũng khá là ngắn gọn và hay nhưng hiện nay chỉ dùng phương pháp đó với hình thức tham khảo, điều đó làm khó khăn cho học sinh trong quá trình làm bài tập, cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy. Bài viết này hi vọng sẽ giúp đỡ các em, cũng như các bạn đồng nghiệp không cần sử dụng phương pháp đó vẫn có thể làm bài tập, không những chỉ làm với dạng bài tập đó mà còn mở rộng sang các dạng khác Một số dạng cụ thể Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là - Vuông góc với hai mặt phẳng cho trước - Song song với hai đường thẳng cho trước - Vuông góc với một mặt phẳng và song song với một đường thẳng cho trước Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là - Vuông góc với một mặt phẳng cho trước - Song song với một đường thẳng cho trước - Tạo với một mặt phẳng một góc cho trước Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước - Đi qua một điểm không thuộc đường thẳng đã cho - Song song với một đường thẳng cho trước - Vuông góc với một mặt phẳng cho trước - Tiếp xúc với một mặt cầu cho trước - Tạo với đường thẳng hay mặt phẳng một góc cho trước Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song với nhau Phương pháp chung cho tất cả các dạng: Bước 1: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C        mặt phẳng có vtpt  ; ;n A B C Bước 2: Từ điều kiện giả thiết dẫn tới một hệ ba phương trình 4 ẩn là , ,A B C và D www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 Bước 3: Từ 2 trong 3 phương trình ta rút C và D theo A và B từ đó sẽ dẫn tới hai dạng phương trình là TH 1: 0A B   , chọn , ,A B C D      phương trình mặt phẳng cần tìm TH 2:   20 2 2 0 0.... B A AA AB B B B                    quay lại TH 1  phương trình mặt phẳng cần tìm Để đơn giản, khi giải phương trình   ta có thể chọn luôn 21 0B A A       Chú ý: - Đối với TH1 khi rơi vào trường hợp đặc biệt là 0 0A A    thì ta chọn 1B  (vì 0  ) và ngược lại - Thông thường để sử dụng phương pháp này thì bao giờ cũng phải có ba điều kiện thì sẽ tương đương với một hệ bốn ẩn, ba phương trình và ta làm như trên - Để giảm độ phức tạp ta sẽ dùng phương pháp “dồn ẩn” như sau Giả sử 0A  khi đó ta chia hai vế cho A ta được 0B C Dx y z A A A     . Đặt , ,B C Db c d A A A    Khi đó ta được  2 20 0x by cz d b c      , thì khi gặp ba điều kiện của giả thiết ta được ba phương trình ba ẩn, bấm máy tính là xong, tuy nhiên chúng ta phải thử trước nhé, biết đâu 0...A  thì sao? - Vì  2 2 2 0A B C   tức là ít nhất một trong ba hệ số A, B và C phải khác 0 nên ta có thể tính A và D theo B và C hoặc A và C theo B và D hoặc A và B theo C và D hoặc B và C theo A và D điều này không ảnh hưởng gì tới kết quả của bài toán - Ở đây Tôi chỉ dụng phương pháp tổng quát, còn các phương pháp khác hiệu quả hơn (xem trong chuyên đề mặt phẳng – đường thẳng – mặt cầu của Tôi), tuy nhiên trong một số trường hợp nếu không dung phương pháp tổng quát (không tính phương pháp chùm) thì làm sao đây. Bài tập minh họa cho các dạng: Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  2; 1;2M  , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 4 0x y z     Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng   đi qua điểm  2; 1;2M   .2 .( 1) .2 0 1A B C D      - Mặt phẳng   song song với trục Oy  . 0 .0 .1 .0 0 2n j A B C       - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .2 . 1 .3 0 3n n A B C          Giải hệ (1), (2) và (3)  3, 0, 2, 2.A B C D      Vậy mặt phẳng   có phương trình là : 3 – 2 – 2 0x z  Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  3; 1; 5M   đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng   : 3 – 2 2 7 0x y z    và   : 5 – 4 3 1 0x y z    Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 - Mặt phẳng   đi qua điểm  3; 1; 5M      .3 .( 1) . 5 0 1A B C D       - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .3 . 2 .2 0 2n n A B C          - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .5 . 4 .3 0 3n n A B C          Từ (1) và (2) ta được 3 21, 6 2 2 C B A D B A    thế vào (3) ta được 2A B chọn 1, 2 2, 15B A C D       Vậy phương trình mặt phẳng   là 2 – 2 –15 0x y z  Bài 3: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm  0;1;2A và hai đường thẳng 1 1 1: , ' : 1 2 2 1 1 2 x t x y zd d y t z t               Viết phương trình mặt phẳng   đi qua A đồng thời song song với d và d’ Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng   đi qua điểm M  .0 .1 .2 0 1A B C D     - Mặt phẳng   song song với đường thẳng d    . 0 .2 .1 . 1 0 2dn u A B C        - Mặt phẳng   song song với đường thẳng d’    '. 0 .1 . 2 .1 0 3dn u A B C        Từ (1) và (2) ta được 2 , 4 3C A B D A B     thế vào (3) ta được 3A B chọn 1, 3 5, 13A B C D      Vậy phương trình mặt phẳng   là 3 5 13 0x y z    Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  1;2;3M và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc tương ứng là 0 045 , 30 Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C       Gọi  ; ;n A B C  là vtpt của mặt phẳng  P . Các vtcp của trục Ox và Oy là  1;0;0i  và  0;1;0j  . Theo giả thiết ta có hệ 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1sin 45 222 1sin 30 2 A A BA BA B C B C BA B C A B C                     Chọn 1B  ta được 2, 1A C    Vậy phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  1;2;3M là            2 1 2 3 0; 2 1 2 3 0x y z x y z             www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 4 Bài 5: Cho mặt phẳng  P có phương trình 2 0x y z   và điểm  2; 3;1M  . Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua M vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc 045 Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C       Gọi  ; ;n A B C  là vtpt của mặt phẳng  Q . Theo giả thiết ta có hệ phương trình 2 2 2 2 0 1 2 A B C A A B C         . Giải hệ trên ta được    1;1;0 , 5; 3;4n n    Vậy phương trình mặt phẳng  Q đi qua điểm  2; 3;1M  là 1 0x y   hoặc      5 2 3 3 4 1 0x y z      Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3: 1 1 4 x y z     và điểm  0; 2;0 .M  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4. Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0ax by cz d a b c       Phẳng phẳng  P đi qua  0; 2;0 2M d b   suy ra   : 2 0P ax by cz b    . Đường thẳng  đi qua điểm A(1;3;0) và có một vectơ chỉ phương (1;1;4)u   Từ giả thiết ta có 2 2 2 . 4 0/ /( ) (1) | 5 | 4( ; ( )) 4 (2) n u a b cP a bd A P a b c                 Thế 4b a c   vào (2) ta có 2 2 2 2 2 4 ( 5 ) (2 17 8 ) 2 8 0 2 a ca c a c ac a ac c a c                 Với 4a c  chọn 4, 1 8a c b     . Phương trình mặt phẳng  1 : 4 8 16 0.P x y z    Với 2a c   chọn 2, 1 2a c b     . Phương trình mặt phẳng  2 : 2 2 4 0.P x y z    Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng   : 0Q x y z   và cách điểm  1;2; 1M  một khoảng bằng 2 Giải: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với  2 2 2 0A B C   Vì (P)  (Q) nên 1. 1. 1. 0 0A B C A B C C A B           (1) Theo giả thiết    2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 2 ( 2 ) 2( ) A B C d M P A B C A B C A B C              (2) www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 5 Thay (1) vào (2) , ta được : 2 0 8 5 0 8 5 B AB B AB         TH 1: (1)0 .B C A    Chọn 1, 1A C   thì  1 : 0P x z  TH 2: 8B = 5 A  . Chọn (1)5, 1 3A B C     thì  2 : 5 8 3 0P x y z   Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : 1 1 1 4 x y z    và điểm  0;3; 2M  . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song  và khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 3. HD: Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       Từ giả thiết ta có hệ 2 2 2 3 2 0 4 0 3 B C D A B C C D A B C               2 8 B C B C       TH 1: 2B C  chọn 1, 2 2, 8C B A D       TH 2: 8B C  chọn 1, 8 4, 26C B A D      (    ( ; ) ( , )d P d M P  , với M(0; 0; 1) ) Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là: 2 2 – 8 0; 4 – 8 26 0.x y z x y z      Bài 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2: 2 4 4 5 0S x y z x y z       , mặt phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2), vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0ax by cz d a b c       Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2)      1 1 2 0a x b y c z       Mặt cầu (S) có tâm  1; 2;2I  bán kính R = 2 Mặt phẳng (Q) có VTPT (2;1; 6)Qn    Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên 2 2 2 2 6 0 3 2 a b c b a b c         2 2 2 2 2 2 2 2 6 22 6 2 6 (I)2 59 4 4 4 3 10 0 5 11 2 a c a c b b ca c b a c b b c b cb a b c b bc c b c a c                                www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 6 Nếu c = 0 thì a = b = 0 (loại) suy ra 0c  . TH 1: Chọn 1 1, 1c a b     1 : 2 2 6 0P x y z     TH 2: Chọn 111 , 5 2 c a b            2 11: 1 5 1 2 0 11 10 2 5 0 2 P x y z x y z            Chú ý: Nếu thay đổi giả thiết là (P) đi qua một điểm M, song song với đường thẳng d và tiếp xúc với một mặt cầu thì cũng làm tương tự Bài 10: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 3 0P x y z    và   : 1 0Q x y z    . Viết phương trình mặt phẳng  R vuông góc với  P và  Q sao cho khoảng cách từ O đến  R bằng 2. Giải: Giả sử mặt phẳng  R có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng  R vuông góc với mặt phẳng  P  . 0 .1 .1 .1 0 1R Pn n A B C        - Mặt phẳng  R vuông góc với mặt phẳng  Q    . 0 .1 . 1 .1 0 2R Qn n A B C         - Khoảng cách      0; 2 2 2 2 3 2 D d R D      Cộng (1) và (2) ta được 0A C  , chọn 1 1, 0A C B     kết hợp với (3) ta được hai phương trình mặt phẳng cần tìm là  1 : 2 2 0R x z   và  2 : 2 2 0R x z   Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 11: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm    1;0;1 , 5;2;3M N và vuông góc với mặt phẳng   : 2 – – 7 0x y z   Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng   đi qua  1;0;1M  .1 .0 .1 0 1A B C D     - Mặt phẳng   đi qua  5;2;3N  .5 .2 .3 0 2A B C D     - Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .2 . 1 .1 0 3n n A B C          Từ (1) và (2) ta được – 2 – ,C A B D A B   thể vào (3) ta được –2 0B  chọn 1, 0 2, 1A B C D     Vậy phương trình mặt phẳng   là – 2 1 0x z   Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm    2;1;3 , 1; 2;1M N  và song song với đường thẳng d có phương trình là: 1 : 2 3 2 x t d y t z t          Giải: Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7 - Mặt phẳng   đi qua  2;1;3M  .2 .1 .3 0 1A B C D     - Mặt phẳng   đi qua  1; 2;1N     .1 . 2 .1 0 2A B C D      - Mặt phẳng   song song với đường thẳng d    . 0 .1 .2 . 2 0 3dn u A B C        Từ (1) và (2) ta được 1 3 1 7, 2 2 2 2 C A B D A B      thế vào (3) ta được 2 5A B  chọn 1 195, 2 , 2 2 A B C D       Vậy phương trình mặt phẳng   là 1 195 2 0 10 4 19 0 2 2 x y z x y z         Bài 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm  1;1;0M  ,  0;0; 2N  và  1;1;1I . Viết phương trình mặt phẳng  P qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ I tới mặt phẳng  P bằng 3 . Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng  P đi qua  1;1;0M     . 1 .1 .0 0 1A B C D      - Mặt phẳng  P đi qua  0;0; 2N     .0 .0 . 2 0 2A B C D      Từ (1) và (2) ta được  1 , 2 C A B D A B    Nên mặt phẳng  P có phương trình là    1 0 2 Ax By A B z A B      Theo giả thiết          2 2 2 2 2 1 72; 3 3 5 2 7 0 1 51 2 A B A B A B A Ad I P A AB B B B A B A B                        TH 1: 1A B   chọn  1, 1 1, 2 : 2 0A B C D P x y z           TH 2: 7 5 A B  chọn  7, 5 1, 2 : 7 5 2 0A B C D P x y z          Bài 14: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh      1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1A B C  và  0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng  P bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng  P Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0ax by cz d a b c       - Mặt phẳng  P đi qua  1;2;1A  .1 .2 .1 0 1a b c d     - Mặt phẳng  P đi qua  2;1;3B     . 2 .1 .3 0 2a b c d      Từ (1) và (2) ta được  3 1 5, 2 2 2 c a b d a b     www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 8 Nên mặt phẳng  P có phương trình là  3 1 5 0 2 2 2 ax by a b z a b          Theo giả thiết    , ,d C P d D P         2 2 2 2 2 2 3 1 5 5 3 1 5 5.2 . 1 .1 .0 .3 .1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 2 2 2 2 4 3 2 0 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b                                              Với 2 4a b chọn  14, 2 7, 15 : 4 2 7 15 0a b c d P x y z           Với 2 0b  chọn    2 2 3 5 3 50, 1 , : 0 : 2 3 5 0 2 2 2 2 b a c d P x z P x z              Bài 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P đi qua hai điểm  0; 1;2 ,A   1;0;3B và tiếp xúc với mặt cầu  S có phương trình: 2 2 2( 1) ( 2) ( 1) 2x y z      Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0ax by cz d a b c       - Mặt phẳng  P đi qua  1;2;1A    .0 . 1 .2 0 1a b c d      - Mặt phẳng  P đi qua  2;1;3B   .1 .0 .3 0 2a b c d     Mặt cầu  S có tâm  1;2; 1I  và có bán kính 2R  - Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu        2 2 2 .1 .2 . 1 , 2 3 a b c d d I P R a b c           Từ (1) và (2) ta được , 2 3c a b d a b     thể vào (3) và rút gọn ta được 2 2 1 3 8 11 0 8 3 a ba b ab a b             TH 1: 1a b   . Chọn 1, 1 0, 1a b c d       , suy ra phương trình  1 : 1 0P x y   TH 2: 8 3 a b   . Chọn 8, 3 5, 7a b c d       , suy ra phương trình  2 : 8 3 5 7 0P x y z    Bài 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm (0; 1;2)M  và ( 1;1;3)N  . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ  0;0;2K đến (P) đạt giá trị lớn nhất Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và N nên ta có www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 9         .0 . 1 .2 0 1 . 1 .1 .3 0 2 A B C D A B C D            Từ (1) và (2) ta được  2 , 2A B C D B C       : 2 2 0P B C x By Cz B C       Khoảng cách từ K đến mp(P) là:   , 2 24 2 4 B K P B C BC d    TH 1: Nếu 0B  thì   , 0d K P  (loại) TH 2: Nếu 0B  thì    2 2 2 1 1, 24 2 4 2 1 2 B d K P B C BC C B            Dấu “=” xảy ra khi B = – C. Chọn C = 1 và B = – 1 Vậy phương trình mặt phẳng   : – 3 0P x y z   Chú ý: Cũng có thể dùng khảo sát hàm số tìm Max với TH 2 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước Chú ý: Đối với dạng 3 này ngoài cách chọn hai điểm thuộc một đường thẳng và thuộc mặt phẳng cần tìm ta được phương trình (1) và (2) ta cũng có thể chọn một điểm và áp dụng điều kiện đường thẳng chứa trong mặt phẳng nên . 0n u    từ đó ta được phương trình (1) và (2) Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : – – 3 0x y z   và   : 3 5 –1 0x y z    đồng thời song song với mặt phẳng   : 2 – 3 0x y z    Giải: Gọi  là giao tuyến của   và     có phương trình 3 0 : 3 5 1 0 x y z x y z           Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       Chọn hai điểm  1 7;0; 4M  và  2 1; 2;0M   - Mặt phẳng  P đi qua  1 7;0; 4M     .7 .0 . 4 0 1A B C D      - Mặt phẳng  P đi qua  2 1; 2;0M     .1 . 2 .0 0 2A B C D      Từ (1) và (2) ta được 3 2 B AC  và 2 –D B A Nên mặt phẳng  P có vtpt 3; ; 2P B An A B        www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 10 Mặt phẳng   có vtpt  1;1;2n   , mặt phẳng  P song song với    Pn  và n  cùng phương  2.2 3 11 ABBA   chọn 1, 1 2, 1A B C D     Vậy mặt phẳng  P có phương trình là 2 1 0x y z    Bài 18: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng  P a. Đi qua điểm  2;1; 1oM  và qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q và  R có phương trình lần lượt là: – – 4 0x y z  và 3 – – 1 0x y z  b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3 – – 2 0x y z   và   : 4 – 5 0x y   đồng thời vuông góc với mặt phẳng   : 2 – 7 0x z   Giải: a. Gọi  là giao tuyến của  Q và  R   có phương trình – – 4 0 : 3 – –1 0 x y z x y z       Chọn hai điểm 3 11; ;0 2 2 M       và 3 11;0; 2 2 N       Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng  P đi qua 3 11; ;0 2 2 M        3 11. . .0 0 1 2 2 A B C D                 - Mặt phẳng  P đi qua 3 11;0; 2 2 N       3 11. .0 . 0 2 2 2 A B C D          - Mặt phẳng  P đi qua  2;1; 1oM     .2 .1 . 1 0 3A B C D      Giải hệ (1), (2) và (3) ta được  15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 – 16 0A B C D P x y z         b. Gọi  là giao tuyến của   và     có phương trình  :      054 023 yx zyx Chọn hai điểm  5;0; 13M  và  1;1;0N  Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng  P đi qua  5;0; 13M     .5 .0 . 13 0 1A B C D      - Mặt phẳng  P đi qua  1;1;0N  .1 .1 .0 0 2A B C D     Từ (1) và (2) ta được 4 13 A BC  và D A B   Nên mặt phẳng  P có vtpt 4; ; 13P A Bn A B        www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 11 Mặt phẳng   có vtpt  2;0; 1n    , mặt phẳng  P vuông góc với     4. .2 .0 . 1 0 22 13P A Bn n A B A B               chọn 1, 22 2, 21A B C D      Vậy mặt phẳng  P có phương trình là – 22 2 21 0x y z   Bài 19: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 4 0 : 2 2 4 0 x y z x y z           2 1 : 2 1 2 x t y t z t          Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 Giải: Chọn hai điểm 4 8;0; 3 3 M      và  0; 2;0N  1 Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Mặt phẳng  P đi qua 4 8;0; 3 3 M       4 8. .0 . 0 1 3 3 A B C D     - Mặt phẳng  P đi qua  0; 2;0N     .0 . 2 .0 0 2A B C D      Từ (1) và (2) ta được 1 3 2 4 C A B   và 2D B Nên mặt phẳng  P có vtpt 1 3; ; 2 4P n A B A B        Đường thẳng 2 có vtcp  2 1;1;2u   , mặt phẳng  P song song với đường thẳng 2  2 1 3. .1 .1 .2 0 5 0 2 4P n u A B A B B              chọn 11, 0 , 0 2 A B C D      Vậy mặt phẳng  P có phương trình là 1– 0 2 0 2 x z x z    Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1: 2 1 1 x y zd     và 2 2 1: 1 1 1 x y zd     . Viết phương trình mặt phẳng chứa 1d và hợp với 2d một góc 30 0. Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C        mặt phẳng  P có vtpt  ; ;Pn A B C  - Trên đường thẳng 1d lấy 2 điểm    1;0; 1 , 1;1;0M N  Do  P qua ,M N nên: 0 2 0 A C D C A B A B D D A B                Nên ( ) : (2 ) 0P Ax By A B z A B      . www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 12 - Theo giả thiết ta có 0 2 2 2 2 2 2 1. 1. 1.(2 )1 sin 30 2 1 ( 1) 1 . (2 ) A B A B A B A B            2 2 2 22 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0A B A AB B A AB B         Dễ thấy 0B  nên chọn 1B  , suy ra: 18 114 21 A  Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z     . Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm      1;2;0 , 0;4;0 , 0;0;3A B C . Viết phương trình mặt phẳng  P chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến  P bằng khoảng cách từ C đến  P Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       - Vì  P chứa OA suy ra  P đi qua 2 điểm    0;0;0 1;2;0 .O và A 0 0 2 0 2 D D A B A B            Suy ra mp(P) có phương trình là: 2 0Bx By Cz    - Theo giả thiết thì:       2 2 2 2 4 3 3, , 4 3 4 3 45 5 B C Bd B P d C P B C B C CB C B C              Chọn C = 4 suy ra B =  3 Vậy có 2 mp thoả mãn:    1 2: 6 3 4 0 ; : 6 3 4 0.P x y z P x y z       Bài 22: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 0 : 2 6 0 x y d x z        sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu   2 2 2: 2 2 2 1 0S x y z x y z       là đường tròn có bán kính r = 1. Giải: Giả sử mặt phẳng  P có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C       - Chọn hai điểm    2;0; 2 , 3;1;0M N d  - Mặt phẳng  P chứa d nên     .2 .0 . 2 0 , 2 .3 .1 .0 0 3 A BA B C D C M N P A B C D D A B                     Suy ra mặt phẳng có phương trình là 3 0 2 A BAx By z A B     - Mặt cầu        2 2 2: 1 1 1 4S x y z     