Giáo án lớp 12 môn Hình học - Thể tích khối đa diện (tiết 1)

- 1 - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 . ĐS: V = 2 (đvtt) 2 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp. ĐS:  3 a 2 V 2 (đvtt)   3 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối hộp . ĐS: V =180 (đvtt)         2 3 ABCD 4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy (ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp . a 3 3 đs: V = S .BB' .a tan a tan 2 2 5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp . Giải Gọi M là trung điểm BC , vì      đl3đ (ABC) ABC đều nên AM BC (1) Do AM = hc SM,AM BC SM BC (2) Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3) Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA          a 3 SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan 2    2 3 ABC 1 1 a 3 a 3 a Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan 3 3 4 2 8     6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.     (ABC) (ABCD) ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi M là trung điểm BC . Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH SHA vuông tại H có SAH nên AH = S          2 2 2 ABC A.cos a.cos . SH = AH.tan acos .tan asin . 2 3 3 Mặt khác : AH = AM AM .AH acos 3 2 2 2.AM 2 3 Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos 23 3 ( 3acos ) . 3 3 3a cos S 4 4 Vậy thể tích                        2 2 3 2 ABC 1 1 3 3a cos 3 của khối chóp là V = .S .SH . .asi n a cos sin 3 3 4 4       - 2 - a 3 7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và 2 mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) . b  ) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) . c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC Giải a) Dựng SH (ABC) a 3 Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC 2 H là tâm của đường tròn ngoại        2 2 2 2 2 2 (ABC) (ABC) tiếp ABC Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC . a 3 a 3a a 2 Do SH SB HB ( ) ( ) SH 2 2 4 2 b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60 SH SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH AH                       acr tan 2 c) Gọi M là trung điểm AB   (ABC) (ABC) đlí 3 đ 2 Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC MS AB (2) Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60 a 2 1 a 6 a 6 SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 . AC 2MH , 2 6 33 MB HB MH                       2 2 2a a 6 a 3 a 3 ( ) ( ) AB 2MB 2 6 6 3       2 2 3 ABC ABC 1 1 a 3 a 6 a 2 1 1 a 2 a 2 a S .AB.AC . . V .S .SH . . 2 2 3 3 6 3 2 6 2 12          8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC . a) Tính thể tích khối chóp           2 3 S.ABC ABC S.ABC . b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') . c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' . HD 1 1 a a a) Ta có : V .S .SA .a. 3 3 2 6 b) Ta có : BC AB BC (SAB) BC AB' (1) BC SA SAB c           S.AB'C' AB'C' ân tại A nên SB AB' (2) Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C') c) Ta có 1 1 V .SC'.S .SC'.AB'.B'C' 3 6 SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB'   1 a 2 SB' SB 2 2 - 3 -                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3 SA a a 3 SA SC'.SC SC' SC 3a 3 a 2 B'C' SB' 6 a 62 B'C' BC SC 6 6a 3 1 a 3 a 2 a 6 a Vậy V = . . . 6 3 2 6 36 9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 . Giải Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD . Ta có : SH (AB 2 2 2 ABCD 1 CD) tại H và AH = AC 2 2 Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3 1 1 Vậy V = .S .SH .2 .3 4 3 3         10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó . SCD 2 2 Giải Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt đáy ABCD và M là trung điểm của CD. Cạnh đáy : a = 4 2 1 Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2 2 Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1              ABCD 1 1 4 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1 3 3 3   11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . G     (ABCD) (ABCD) 2 2 ABCD ABCD iải Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC (SC;(ABCD)) SCA 30 3 2 3 SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2. 2 3 AC S AB ( ) 2 2 1 1 2 3 4 3 V = .S .SA .2. 3 3 3 9                   12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a . a) Tính diện tích SBD theo a . b) Chứng minh rằng : BD SC . c) Tính góc tạo   bởi SC và mặt phẳng (SBD) . d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD . - 4 - BCD 2 2 2 2 2 BCD Giải a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . 1 Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH 2 a 2 a 6 1 a 6 a 3 ASH vuông tại A : SH SA AH a ( ) = S .a 2. 2 2 2 2 2                 (SBD) BD AC ( hai đường chéo hình vuông) b) Ta có : BD (SAC) mà SC (SAC) nên BD SC BD SA ( vì SA (ABCD)) c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH Áp dụng đlí                  2 2 2 3 2 ABCD hàm số cosin trong SCH ta được : 2 2 2 2 HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acr cos . 3 3 1 1 a d) V = .S .SA .a .a 3 3 3           12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a . a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a . b) Tính cosin của góc nhị diện (SBA,SAD) . 2 2 2 tp ABCD SAB 3 2 2 2 2 2 ABCD HD a 3 a) S S 4.S a 4. (1 3)a . 4 1 a 2 a 2 1 a 2 a 2 V = .S .SH , ta có : SH = SA HA a ( ) V= .a . = 3 2 2 3 2 6              b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhị diện (SAB,SAD) .       2 2 2 2 2 2 2 Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được : 3a 3a 3a 1 BD MB MD 2MB.MD.cosBMD 2a 2. .cosBMD cosBMD 4 4 4 3            13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều . HD Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và      3 2 ABCD mặt đáy là hình vuông ABCD có tâm H . Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH a 2 Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan 2 1 1 a 2 a 2 Vậy V = .S .SH .a . tan tan 3 3 2 6              14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều .  - 5 -  2 3 ABCD HD Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH a SH HM.tan tan 2 1 1 a 1 V .S .SH .a . tan a tan 3 3 2 6             15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và . HD Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB    đlí 3 đ (ABCD) (ABCD) 2 2 2 2 2 2 2 . Khi đó : SH (ABCD) và HM AB . Vì H = hc S HM= hc SM SM AB a a SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan ) 2 4 a a (tan 1) SH ta 4 2                   2 3 2 2 2 ABCD 2 n 1 1 1 a a Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1 3 3 2 6 Với điều kiện tan 1 0 4 2                  16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng .  2 2 2 2 2 2 2 2 2 HD Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC : BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin sin 1 cos BC 2SB (1 cos ) cos cos                        2 2 2 2 2 2 2 ABCD 2 1 cos 1 cos S BC 2HB 2a tan 2a . 2a . coscos             2 2 2 2 2 3 ABCD 4a sin 2 S = cos 4a sin sin 1 1 4a2 2 V = .S .SH . .a . 3 3 cos 3 cos           17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a . Giải Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình vuông BCDE có cạnh bằng a . Vì mặt BCDE chia khối tám mặ 3 2 ABCDEF ABCDE BCDE t đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a 2 V = 2.V 2. .S .AO 2. .a . 3 3 2 3    - 6 - 18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của các mặt hình lập phương . Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD a 2 có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng 2 Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :  2 2 2 2 3 2 ABCDEF A.BCDE BCDE a a a 2 AB = OA OB ( ) ( ) 2 2 2 Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a a V = 2.V 2. .S .AO 2. .( ) . 3 3 2 2 6 ( xem hình bài 17 )        19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đều . Giải . Khối tám mặt đều được tạ a o thành có các cạnh bằng nhau và bằng 2 Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC . Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD . Tam giác APQ vuông tại P . Ta có : PQ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ABCDEF a 3 a a 2 AQ AP ( ) ( ) 2 2 2 a PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ 2 a a a 2 RP cạnh RP = đường cao AO = . 4 2 4 Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : V = 2              3 2 A.BCDE BCDE 1 1 a a 2 a 2 .V 2. .S .AO 2. .( ) . 3 3 2 4 24     a 520 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD. 2 a) Tính thể tích của khối chóp .   tp b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) . c) Tính S của hình chóp . Giải a) Gọi O = AC BD   - 7 - (ABCD) SA SC SO AC,AC (ABCD) Ta có : SB SD SO (ABCD) SO BD,BD (ABCD) O là trung điểm AC và BD O hc S SO là đường cao của S.ABCD a 3 OA = ( đường cao ABD đều cạnh a ) 2 SOA vuông tại O                     2 2 2 2 2 ABCD ABD 2 3 ABCD 5a 3a a 2 , ta có : SO = SA AC 4 4 2 1 1 a 2 a 3 S 2S 2. .OA.BD 2. . .a 2 2 2 2 1 1 a 2 a 3 a 6 V = .SO.S . . 3 3 2 2 12 b) Chứng minh : (SAC) (SBD) AC BD (đ/c hình thoi) Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD)) SO                 tp SCD ABCD SCD SCD AC (SBD) (SAC) (SBD) AC (SAC) (SBD) c) S 4S S ( Vì SCD = SBC = SAB = SAD ) SD SC DC a( 3 5 2) Tính S : Vì nửa chu vi p = 2 2 Áp dụng công thức He-rông ta được : S p(p S                        22 2 2 2 SCD 2 2 2 tp D)(p SC)(p DC) a p SD ( 5 2 3) (1) 4 a p SC ( 3 5 2) (2) 4 a p DC ( 3 5 2) (3) 4 a 11a a Vậy : S [( 3 5) 2][4 ( 3 5) 60 16 16 16 8 a 11 a 3 a S ( 11 3) 2 2 2                            THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 2 3 ABC 1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính thể tích của lăng trụ . Giải Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C' a 3 a Ta có : V = AA'.S 2a. 4   3 2 2 2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm . Mặt đáy của lăng trụ là một tam giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích là 30cm . Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần c 2 ABC ủa hình lăng trụ . Giải Gọi hình lăng trụ là ABC.A'B'C' ABC vuông tại B , AC = 13cm S 30cm ,AA' 20cm Gọi x,y là hai cạnh góc vuông của ABC . Điều kiện : 0 < x,y < 13 .      - 8 - 2 2 2 2 2 2 xq 3 tp xq đáy x y 13 169 (x y) 2xy 169Theo đề : 1 xy 60xy 30 2 (x y) 169 2xy 289 x y 17 Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm S S 2.S 600 2.30 660cm                              3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện tích xung quanh bằng 480 . Tính thể tích của khối lăng trụ . Giải Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 p = 40 . 480 Chiếu cao của khối lăng trụ : h = 6 80 Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của khối lăng trụ là : S = 40(40 37)(40 13)(40 30) 180 Vậy thể tích khối l       ăng trụ : V = S.h = 1080 . 4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30 và có chiều cao bằng 8 . Tính thể tích của khối lăng trụ . Giải Gọi khối lăng t    (ABC) (ABC) rụ là ABC.A'B'C' . Kẻ A'H (ABC) tại H . Ta có : H = hc A ' AH = hc AA' (AA';(ABC)) A 'AH 30 Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 . Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 A'HA vuông tại            1 H : A'H = AA'.sin30 8. 4 2 Thể tích : V = S.h = 336   5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ . Giải Nửa  19 20 37 chu vi đáy : p = 38 2 Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114 19 20 37 76 Chiều cao : h = 3 3 76 Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114. 2888 3              6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC vuông tại A , AC = a , ACB = 60 .Đường thẳng BC , tạo với mp(AA C C) một góc 30 . a) Tính độ dài đoạn thẳng AC .           b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .   (AA'C'C) (AA'C'C) Giải a) Tính AC' ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60 a 3 Ta có : AB AC,AB AA' AB (AA'C'C) A= hc B AC'= hc BC' (BC';(AA'C'C)) BC'A 30                - 9 - 2 2 2 2 2 ABC 2 3 ABC.A B C ABC AB a 3 AC'B vuông tại A AC' = 3a 1/ 3tan30 b) AA'= AC' A 'C' (3a) a 2 2a a 3 S 2 a 3 Vậy : V AA'.S 2 2a. a 6 2                   2 2 3 ABCC'B' ABC.A'B'C' AA'B'C' 7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a , AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' . Giải a 3 1 a 3 a 3 V V V a. .a. 4 3 4 6       8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vuông góc của A lên mp (ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể     ABC tích của khối lăng trụ này . Giải Theo đề : A'I (ABC) A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.S a 3 ABC đều có đường cao AI = 2       (ABC) (ABC) 2 3 ABC Vì I = hc A ' AI = hc AA' (AA';(ABC)) A 'AI 60 a 3 3a A'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA 'IA . 3 2 2 3a a 3 3 3a Vậy : V = A'I.S . 2 4 8           9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . a) Tính the  å tích của khối lăng trụ đó . b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật . c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ . Giải a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC .  2 3 ABC Vì A'A = A'B = A'C nên A'O mp(ABC) . Vậy : A 'AO 60 a 3 Từ đó ta có : A'O = AO.tan60 AO. 3 . 3 a 3 a 3 a 3 Vậy thể tích cần tìm là V = S .A 'O .a 4 4          2 xq AA'B'B BB'C'C b) Vì BC AO nên BC AA' hay BC BB' . Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật c) Gọi H là trung điểm của AB . Ta có : a 3 S 2.S S 2.A 'H.AB BB'.BC (2 13 ) 3          10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a. Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N . - 10 - 3 C.A 'AB A'.ABC ABC a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB . b) Chứng minh rằng : AN A'B . c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN . d) Tính diện tích AMN . Giải 1 1 a) V V .S .AA ' .a.2a.3a a 3 6 b) Ta có :       A'.AMN M.AA'N M.AA'B CB AB,CB AA' (do AA' (ABC)) , suy ra : CB (A'AB) Mặt khác : AN CA' ( do CA' (AMN)) . Suy ra : AN A'B (đlí 3 đường ) c) Ta có : V V V ( Vì NB//AA')           C.AA'B 3 3 2 A '.AMN AMN 2 2 2 2 = V ( do MC//(AA'B)) = a . 3.V 3a a 14 d) S A 'I 3(3a) a (2a) (3a)      11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'C'C) bằng . a 3 a) Chứng minh rằng : AB' = . 2sin b) Tính diện tích xung quanh của lăng    trụ . c) Tính thể tích của lăng trụ . Giải a) Gọi I là trung điểm của BC . AI BC Ta có : AI (BB'C'C) AB'I và AI B'I AI BB' AI a 3 AB'I vuông tại I , ta có : AB' = . sin 2sin b) AB'               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xq 2 3 2 2 ABC 3a 3a B vuông tại B nên BB' AB' AB a = (3 4sin ) 4sin 4sin a a 3a BB' = 3 4sin S = 3a. 3 4sin = 3 4sin . 2sin 2sin 2sin a 3 a a 3 c) V= S .BB' . 3 4sin 3 4sin 4 2sin 8sin                              12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ; BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc . Gọi I là trung điểm cạnh AA . Biết BIC = 90 .         2 2 a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân . b) Chứng minh : tan + tan 1   (ABC) (ABC) Giải a) Gọi H là trung điểm của BC . ABC cân tại A nên AH BC (1) Mặt khác : AI (ABC) A = hc I AH = hc IH (2) Từ (1) , (2) suy ra : IH BC ( Đlí 3 đường )        BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I . - 11 -  (ABC) (ABC) 2 2 2 2 2 2 AH 2AH b) AHB vuông tại H cho tan = BH BC Mặt khác : C = hc C' BC = hc BC' C'BC CC' AA' BCC' cho tan = BC BC AA' BC Mặt khác : IAH vuông tại H cho IA AH IH AH 4 4 B Chia hai vế cho                2 2 2 2 2 2 2 C AA' 4AH ta được : 1 tan tan 1 4 BC BC       BÀI TẬP TỰ GIẢI 1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC . 3 a ĐS : V = 8 2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB . Biết AB = BC a 3, SA = a .Tính thể tích của khối chóp S.ABC .     3 a ĐS : V = 2 3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy góc 60 . Tính th ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3  a 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = . 2 a) Tính thể tích của khối chóp .   3 S.ABCD 2 tp tp a 5 V = 12 b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) . a c) Tính S của hình chóp . S ( 2 2    2 3) 5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình chóp ấy . HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể m BC , ta được : 2 2 2 2 2a 3 1 a 3 AM = ,SH 9b 3a V 9b 3a 3 3 36      6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB . a) Tính thể tích của khối chóp 3 H.ABC a 3 H.ABC . V 7 b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK) . c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .    3 H.ABC 2a 3 V 21 7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D . Biết khối chóp C.C B D là một tứ diện đều cạnh a .         3 a 2 V = 2 - 12 - 8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy và SA = 2a . a) Tính thể tích của khối chóp . b)  tp 3 2 tp Tính S của khối chóp . a 3 a Đáp số : a) V= b) S (8 3 19) 6 4    9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với  mặt đáy một góc 60 . a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp . c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .   xq 302 2 Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan 3 10 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=     2 SBD AB= a. a) Tính diện tích SBD theo a . b) Chứng minh rằng : BD SC . c) Tính (SC,(SBD)). d) Tính thể tích hình chóp . a 3 Đáp số : a) S c) HS 2     3 S.ABCD 2 2 a C = arccos d) V 3 3  3 11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau . h 3 Tính thể tích lăng trụ đó. V= 4      12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm M . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác BMC a) Chứng minh rằng : MC (BHK) , HK (BMC) . b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC .   3 a V = 48 1 13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ 3 diện ABMD và ABMC . ABDM ABCM V Đáp số : 2 V  14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối lăng trụ ABC.A B C         A.BB'C'C ABC.A'B C V 2 Đáp số : V 3  