Giáo án lớp 12 môn Hình học - Tiết 46 : Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

Giáo án số 2 Tiết 46 : Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng I. Mục đích yêu cầu - Nắm được một số tính chất của tiếp tuyến xác định từ 1 điểm đến 1 mặt cầu. - Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, tư duy logic và trí tưởng tượng không gian. Bước đầu giải quyết 1 số bài tập . II. Kế hoạch lên lớp 1. Tổ chức : 2. Kiểm tra kiến thức cũ : ? Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O, R) khi nào ? 3. Bài mới : * Đặt vấn đề : Ta đã biết mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu được gọi là tiếp diện của mặt cầu, đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. Vậy tiếp tuyến của mặt cầu có những tính chất gì ? Đó chính là nội dung của một số định lý, ta sẽ xét trong bài hôm nay. x 2 Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng Nội dung Phương pháp HĐ với phần mềm * Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S (O; R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A Chứng minh: sgk/106 * Chú ý : Đường thẳng a tiếp với mặt cầu S (O;R) khi và chỉ khi có một trong các điều kiện sau: - Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. - Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu(S) tới đường thẳng a bằng bán kính của mặt cầu - Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H - Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm tiếp xúc. * Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài (S) có vô số tiếp tuyến với (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau Chứng minh: Sgk/107 Tóm lại: * Qua A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại A * Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Ví dụ 1: Cho S(O;R); R = a và điểm A; OA = 2a. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với (S); cát tuyến ACD CD = a a, AB = ? b, d(O,CD) = ? Giải a, Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên AB ^ OB AB = = = a b, Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có: OC = OD = a nên OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD HC = = OH = = = Vậy khoảng cách từ O đến CD là : Bài 5 (SGK T109) Cho S(O;R) tiếp xúc với mp (P) tại I, M ẻ (S); 2 tiếp tuyến tại M của (S) cắt mp (P) tại A và B. CMR: ABM = AIB Giải : Vì mp (P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI và BI là 2 tiếp tuyến với mặt cầu Vì AM và AI là 2 tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên: AM = AI Tương tự ta có BM = BI ị DAMB = D AIB (c, c, c) ABM = AIB Bài 6 (SGK - 109). CMR: nếu có S(O;R) tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện ABCD thì: AC + BD = AD + BC = AB + CD Giải : * Thuận : Giả sử S(O;R) tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện ABCD lần lượt tại: M, N, P, Q, R, S AM, AN, AP là các t2 kẻ từ A đến mặt cầu (S) ị MA = AN = AP = a Tương tự: BM = BQ = BS = b CQ = CN = CR = c DP = DR = DS = d ị AB + CD = a + b + c + d AC + BD = a + b + c + d AD + BC = a + b + c + d - Vậy tổng các cặp cạnh đối trong tứ diện bằng nhau GV : Thuyết trình kết hợp vấn đáp để dẫn dắt học sinh nội dung định lý 1. GV : Đưa hình vẽ trên Power Point. GV : Giả sử cho S và A ẻ (S). Qua A ta xác định được bao nhiêu tiếp tuyến với (S) và các tiếp tuyến này có tính chất gì? đ Cho S(O, R) và A ẻ (S) GV : Nối OA Qua A kẻ a là tiếp tuyến với (S) đ hiển nhiên a ^ OA = A GV : Nếu có 1 đường thẳng đ qua 1 điểm nằm trên đường thẳng ta xác định được ? đường thẳng đã cho? GV : Gọi a' cũng là đường thẳng qua A. a' ^OA = A ị H/n qua a và a' ta xác định được 1 mp ị (a, a') = mp (P) ? Mối quan hệ giữa (P) và OA? Tại sao? ? Em có nhận xét gì về các đường thẳng nằm trong mp (P) và đi qua A? HS : Tất cả các đường thẳng đó đều ^OA = A ị đều là tiếp tuyến với (S) tại A ? Vậy qua A xác định được ? tiếp tuyến ? ? Mối quan hệ giữa các tiếp tuyến ? GV : Mặt phẳng có tính chất như vậy được gọi là tiếp diện của (S) tại A Đây chính là nội dung định lý 1 ? Theo em định lý gồm mấy nội dung chính? GV: Quá trình ta vừa làm ở trên chính là ta đã c/m định lý Phần CM cụ thể về nhà các em xem trong SGK GV: Qua đây ta có thêm 1 phương pháp để chứng minh 1 đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu GV: Nếu cho S(O;R và A nằm ngoài (S) ị Qua A ta sẽ xác định được ? tiếp tuyến với (S) các tiếp tuyến này có tính chất như thế nào? GV : Mở hình vẽ bên phần mềm. ? Định lý yêu cầu ta c/m những vấn đề gì? HS: + Qua A có vô số tiếp tuyến với (S). + Khoảng cách từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau. GV: Ta cùng c/m ý 1 Nếu đặt OA = d vì A ngoài (S) ị d > R Gọi (P) là mp tuỳ ý đi qua OA ? Hãy xác định giao tuyến giữa (S) và (P) Gợi ý: (P) đi qua OA ị (P) đi qua O (mp đi qua tâm mặt cầu) HS : (S) ầ (P) = C(O;R) GV: C(O;R) - đường tròn lớn của mặt cầu (S) GV: A ngoài (S) ị A ngoài (C) ? Từ A kẻ được ? tiếp tuyến với (S) GV: Gọi AM & AM' là 2 tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) Vì P ầ (S) = (C) ị đây cũng là 2 tiếp tuyến kẻ từA ị (S) ? Nếu cho (P) thay đổi nhưng vẫn đi qua OA ị có ? giao tuyến giữa (S) & (P) ? Hình dạng của các giao tuyến ? GV: ứng với mỗi đường tròn lớn, từ A ta đều kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) Û 2 tiếp tuyến với (S) Do có vô số đường tròn lớn ị có ? tiếp tuyến kẻ từ A ị mặt cầu (S) GV: Chốt lại qua A ngoài (S) ta xác định được vô số tiếp tuyến với (S) GV: Để c/m khoảng cách từ A đ các tiếp điểm đều bằng nhau, ta hãy c/m k/c từ A đ2 tiếp điểm bất kỳ bằng nhau. ? Vậy ta cần c/m 2 đoạn nào có độ dài bằng nhau? HS: Cần c/m AM = AM' ? Hãy tính độ dài AM = ? Tương tự AM' = ? HS: AM = AM' = GV: Chốt Vậy chứng tỏ k/c từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau Vậy ta đã c/m xong định lý 2 GV mở hình vẽ bên phần mềm GV: Chốt + Qua A ngoài (S) + Qua A nằm trên (S) GV: Vận dụng những kiến thức đó ta cũng giải quyết một số bài toán sau: GV mở hình vẽ ? Hãy xác định vị trí của A với m/c (S) ? AB = ? ? Để tính khoảng cách từ một điểm đ một đường ta làm thế nào? HS: OH ^ CD đ Tính OH ? Đặc điểm của DOCD ? OH = ? GV mở hình vẽ ? Bài toán cho gì? Hỏi gì? GV: Để chứng minh ABM = AIB hãy gắn chúng vào các tam giác ? Vị trí tương đối của AI, BI với m/c (S) ? Hãy so sánh AI, BI ? Mối quan hệ giữa D AMB & DAIB GV mở hình vẽ Chỉ hướng dẫn c/m phần thuận ở lớp phần đảo để HS về nhà tự c/m GV: Thay vì c/m AC + BD = AD + BC ị ta sẽ c/m (AN + NC) + (BS + SD) = (AP + PD) + (BQ + QC) ? Vị trí tương đối của AM, AN, với (S) ? Hãy so sánh AM, AN, AP? Tương tự hãy so sánh BM, BQ, BS? Hãy so sánh CQ, CN, CR? Hãy so sánh DP, DR, DS? ị AC + BD = ? AD + BC = ? 4. Củng cố : + Qua bài hôm nay ta cần nhớ cách xác định vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng. + Số lượng tiếp tuyến kẻ từ một điểm nằm trong và ngoài mặt cầu tới (S). GV mở phần mềm minh họa. 5. Dặn dò : Hoàn thành các bài còn lại và đọc trước x3 III. Rút kinh nghiệm