Giáo án lớp 12 môn Hình học -Tuần 18 - Tiết 21 - Bài 2: Mặt cầu

Tuần 18. Tiết 21 BÀI 2: MẶT CẦU I. Mục tiêu: 1. Về kiến thức : HS nắm được: - Hiểu các khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đường tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến của mặt cầu. - Biết công thức tính diện tích mặt cầu. 2. Về kỹ năng: .- Tính được diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. 3.Về tư duy và thái độ : + Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. + Thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học và có những đóng góp sau này cho xã hội. II. Chuẩn bị của GV và HS: 1.Chuẩn bị của GV: Thước, SGK, bảng phụ,.. 2.Chuẩn bị của HS: Học bài, làm bài trước ở nhà. III. Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề. IV.Tiến trình lên lớp: 1.Ổn định: Kt sĩ số 2. Kt bài cũ: Nêu khái niệm đường tròn tâm O bán kính R ? Cho biết các vị trí tương đối của một điểm và một đường tròn. 3. Bài mới: I.MẶT CẦU VÀ CÁC K/N LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU. HĐ GV HĐ HS NỘI DUNG +GV cho HS xem qua các hình ảnh bề mặt quả bóng chuyền, của mô hình quả địa cầu qua máy chiếu. + Nêu khái niệm đường tròn trong mặt phẳng ? -> GV dẫn dắt đến khái niệm mặt cầu trong không gian. (Chiếu Hình 2.14/41) + M/c S(O;r) là tập hợp những điểm ntn? *GV: dùng máy chiếu trình bày hình vẽ Hình 2.15/42) + Nếu C, D Î (S) thì đoạn CD gọi là gì ? + Nếu A, B Î (S) và AB đi qua tâm O của mặt cầu thì điều gì xảy ra ? + Như vậy, một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi nào ? + VD: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có đường kính MN = 7 ? + Cho mặt cầu tâm O và bán kính r và A là một điểm bất kỳ trong không gian. + Có nhận xét gì về đoạn OA và r . Từ đó suy ra vị trí của A và m/c (S)? + Qua đó, cho biết thế nào là khối cầu ? + Hình biểu diễn của mặt cầu qua: - Phép chiếu vuông góc là gì ? - Phép chiếu song song là gì ? + Để biểu diễn mặt cầu, ta vẽ như thế nào ? + Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan, người ta thường vẽ thêm đường nào ? ( Chiếu Hình 2.16/42) + Chiếu Hình 2.17/42. Giới thiệu đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu. + Làm HĐ1 ? + Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng r không đổi (r > 0) là đường tròn C(O, r). + S(O; r )= {M/OM = r} + Đoạn CD là dây cung của mặt cầu. + Khi đó, AB là đường kính của mặt cầu và AB = 2r. + Một mặt cầu được xác định nếu biết: tâm và bán kính của nó hoặc đường kính của nó. + Tâm O là trung điểm của đoạn MN. + Bán kính: r = = 3,5 +OA = r => A nằm trên (S) OA A nằm trong (S) OA > r => A nằm ngoài (S) + HS nêu khái niệm trong SGK. + Là một đường tròn. + Là một hình elíp. + HS dựa vào SGK trả lời. + Vẽ thêm hình biểu diễn của 1 số đường tròn nằm trên m/c đó. + Nghe giảng. + Gọi O là tâm m/c ta có: OA = OB. Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều 2 điểm A, B là mp trung trực của đoạn AB. I/ Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu: 1) Mặt cầu: a- Định nghĩa: (SGK) b- Kí hiệu: S(O; r) hay (S) O: tâm của (S) ; r : bán kính + S(O; r )= {M/OM = r} + C, D nằm trên m/c thì đoạn thẳng CD đgl dây cung của m/c đó. + Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là đường kính của m/c: AB = 2r. * Một mặt cầu được xác định nếu biết: tâm và bán kính của nó hoặc đường kính của nó. 2) Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu: *Cho mặt cầu tâm O và bán kính r và A là một điểm bất kỳ trong không gian. + Nếu OA = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu S(O; r). + Nếu OA < r thì ta nói điểm M nằm trong mặt cầu S(O; r). + Nếu OA > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r). * Định nghĩa khối cầu: (SGK) 3) Biểu diễn mặt cầu: (SGK) 4) Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu: (SGK) (Hình 2.17/43) II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG. HĐ GV HĐ HS NỘI DUNG + Cho S(O ; r) và mp (P) Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó, d(O; P) = ? + Đặt OH = h. Giữa h và r có mấy khả năng xảy ra? Từ đó hãy nhận xét VTTĐ giữa (S) và (P) ? + d(O; P) = OH + Có 3 khả năng xảy ra: 1/ TH1: h > r Trên (P), lấy 1 điểm M bất kỳ ta có: OM ³ OH > r * Cho S(O ; r) và mp (P). Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó h = OH là k/c từ O đến (P). Ta có 3 trường hợp sau: 1) Trường hợp h > r: (P) Ç (S) = Æ (Hình 2.18/43) + Tìm tâm và bk của (C)? (GV gợi ý) + Khi h = 0 thì (P)Ç (S) = ? + Khi đó C(O; r) glà đường tròn lớn của mặt cầu (S). (Hình 2.21/44). Mp đi qua tâm O glà mp kính của m/c. + (a)Ç (S) = ? =>OM > r => "M Î (P), M Ï (S) => (P) không cắt (S). 2/ TH2: h = r Trên (P), lấy 1 điểm M bất kỳ, M khác H, ta có: OM > OH = r =>OM > r. Khi đó H là điểm chung của (S) và (P). Ta nói (P) tx với (S) tại H. 3/ TH3: h < r (P) cắt (S) theo đường tròn (C). + Nếu gọi M = (P)Ç(S). Xét DOMH ta có: MH = r’ = Do đó C( H ; r’ ) + (P)Ç (S) = C(O;r) + Gọi H là hình chiếu của O trên (a). Ta có: OH = h = . => (a)Ç (S) = C(H; r’) Với r’ = Vậy C(H; ) 2) Trường hợp h = r : (P) Ç (S) = {H} + (P) tiếp xúc với (S) tại H. + H: Tiếp điểm của (S) (P): Mp tx hay tiếp diện của (S) (Hình 2.19/44) * Chú ý: (P) tiếp xúc với S(O; r) tại H (P) ^ OH tại H. 3) Trường hợp h < r: (P)Ç (S) = (C) Với (C) là đường tròn có tâm H, bán kính r’ = (Hình 2.20/44) * Đặc biệt: khi h = 0 thì H º O. Khi đó đường tròn giao tuyến C(O; r) glà đường tròn lớn của mặt cầu (S). (Hình 2.21/44). Mặt phẳng đi qua tâm O gọi là mặt phẳng kính của m/c. VD: Xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mp (a), biết d(O;(a)) = r/2. 4. Củng cố, dặn dò: - Nhắc lại đ/n m/c, khối cầu và giao của m/c với mp? - Hs về học bài, soạn phần còn lại và làm bt 1, 2, 5, 7/49 SGK. V/ RÚT KINH NGHIỆM: -Nội dung: -Phương pháp: -Sử dụng đồ dùng, thiết bị dạy học:  Tuần 18. Tiết 22 BÀI 2: MẶT CẦU (tt) I. Mục tiêu: 1. Về kiến thức : HS nắm được giao của mặt cầu và đường thẳng, tiếp tuyến với mặt cầu, công thức tính diện tích và thể tích của khối cầu. 2. Về kỹ năng: + Biết cách tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. + Biết chứng minh một số tính chất liên quan đến mặt cầu. 3.Về tư duy và thái độ : + Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. + Tích cực xây dựng bài, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống. II. Chuẩn bị của GV và HS: 1.Chuẩn bị của GV: Thước, SGK, bảng phụ,.. 2.Chuẩn bị của HS: Học bài, làm bài trước ở nhà. III. Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề. IV.Tiến trình lên lớp: 1.Ổn định: Kt sĩ số 2. Kt bài cũ: 3. Bài mới: I.H Đ1: GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN CỦA M/C H Đ GV H Đ HS NỘI DUNG + Nêu vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn; tiếp tuyến đường tròn ? +Tương tự nêu vị trí tương đối của đường thẳng D và m/c (S) trong không gian. + Cho S(O; r) và D.. H là hình chiếu của O lên D. => d(O; D) = ? + D. không cắt (S) khi nào? + D. tiếp xúc (S) khi nào? + Từ đó, nêu tên gọi của D và H ? + D. cắt (S) khi nào? + Đặc biệt khi d = 0 thì sao? + Đoạn thẳng AB khi đó gọi là gì ? + Treo H 2.25, H2.26/47 cho hs phát biểu nhận xét? + GV cho HS nêu chú ý trong SGK (Trang 47) + HS nhắc lại kiến thức cũ. + D. không cắt (S) + D. tiếp xúc (S) + D. cắt (S) + d(O; D) = OH = d + d > r =>D Ç (S) = Æ . + d = r =>D Ç (S) = {H} + H gọi là tiếp điểm của D và(S). D: Tiếp tuyến của (S) + d DÇ(S) = {M, N} + d = 0 thì D qua O và cắt (S) tại A, B. + Ta có AB là đường kính của m/c + HS theo dõi trả lời. + Phát biểu. * Cho S(O; r) và đường thẳng D. Gọi H là hình chiếu của O lên D. => d(O; D) = OH = d Ta có 3 trường hợp sau: 1) d > r : => D Ç (S) = Æ (Hình 2.22/46) 2) d = r: => D Ç (S) = {H} Ta nói: D tiếp xúc với (S) tại H H gọi là tiếp điểm của D và (S). D: Tiếp tuyến của (S) * D tiếp xúc với S(O; r) tại điểm H D ^ OH = H (Hình 2.23/46) 3) d DÇ(S) = {M, N} * Đb: Khi d = 0 thì D qua O và cắt (S) tại A, B. Ta có AB là đường kính của mặt cầu (S). (Hình 2.24/47) * Nhận xét: (SGK) * Chú ý: (SGK). II. CT TÍNH DT MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU. H Đ GV H Đ HS NỘI DUNG + Cho HS nêu công thức diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. + GV cho HS nêu chú ý trong SGK (Trang 48). + Làm HĐ4/ 48(SGK)? ( Gợi ý: Vì hình lâp phương ngoại tiếp m/c nên mặt bên của hình lâp phương là 1 hình vuông ngoại tiếp đường tròn có bk bằng bk của mặt cầu). + HS nêu công thức. + HS nêu chú ý (SGK). + A B Ta có cạnh hv bằng AB ( a = 2r). Vậy thể tích cần tìm là : V = a3 = (2r)3 = 8r3 IV/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: + Diện tích mặt cầu: S = 4p.r2 + Thể tích khối cầu: V = (r:bán kính của mặt cầu) * Chú ý: (SGK) trang 48 + HĐ4/48 (SGK) 4. Củng cố: - Nhắc lại giao của m/c với đt, tt của m/c và ct tính dt m/c, thể tích khối cầu. - Hs về học bài và làm bt 6, 10 /49 SGK. Hướng dẫn chuẩn bị bài ở nhà: Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức toàn bài. Khắc sâu các công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Làm các bài tập: 5,6,7 trang 49 SGK. Đọc tham khảo các bài tập còn lại trong SGK. V/ RÚT KINH NGHIỆM: -Nội dung: -Phương pháp: -Sử dụng đồ dùng, thiết bị dạy học: Tuần: 19 Ngaøy daïy: Tiết 23+24: BÀI TẬP MẶT CẦU I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Hs phải nắm kĩ các kiến thức định nghĩa mặt cầu, sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng và công thức diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. Về kỹ năng: Vận dụng kiến thức đã học để xác định mặt cầu, tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu đã xác định đó. Về tư duy, thái độ: Biết qui lạ về quen. Học sinh cần có thái độ cẩn thận, nghiêm túc, chủ động, tích cực hoạt động chiếm lĩnh tri thức mới. II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: Giáo viên: Sách giáo viên, sách giáo khoa, giáo án, thước kẻ và compa Học sinh: Ôn lại kiến thức đã học và làm trước các bài tập đã cho về nhà trong sách giáo khoa. III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp, giải quyết vấn đề IV/ Tiến trình bài học: Ổn định tổ chức: Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Nêu định nghĩa mặt cầu ? Nêu một vài cách xác định một mặt cầu đã biết ? Câu hỏi 2: Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ? Từ đó suy ra điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với mặt cầu ? Câu hỏi 3: Nêu định nghĩa đường trung trực, mặt trung trực của đoạn thẳng. Bài mới: * Tiết 23: Hoạt động 1: Giải bài tập 1 trang 49 SGK HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG - Cho HS nhắc lại kết quả tập hợp điểm M nhìn đoạn AB dưới 1 góc vuông (hình học phẳng) ? - Dự đoán cho kết quả này trong không gian ? - Nhận xét: đường tròn đường kính AB với mặt cầu đường kính AB => giải quyết chiều thuận - Vấn đề M Î mặt cầu đường kính AB => Trả lời: Là đường tròn đường kính AB đường tròn đường kính AB nằm trên mặt cầu đường kính AB. Hình vẽ (=>) vì => MÎ đường tròn dường kính AB => MÎ mặt cầu đường kính AB. ( MÎ đường tròn đường kính AB là giao của mặt cầu đường kính AB với (ABM) => Kết luận: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn AB dưới góc vuông là mặt cầu đường kính AB. Hoạt động 2: Giải bài tập 2 trang 49 SGK HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG Giả sử I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD, ta có điều gì ? => Vấn đề đặt ra ta phải tìm 1 điểm mà cách đều 5 đỉnh S, A, B, C, D. - Nhận xét 2 tam giác ABD và SBD. - Gọi O là tâm hình vuông ABCD => kết quả nào ? - Vậy điểm nào là tâm cần tìm, bán kính mặt cầu? Trả lời IA = IB = IC = ID = IS Bằng nhau theo trường hợp C-C-C OA = OB = OC = OD = OS - Điểm O Bán kính r = OA= S a a a a D C a A O B a S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. => ABCD là hình vuông và SA = SB = SC = SD. Gọi O là tâm hình vuông, ta có 2 tam giác ABD, SBD bằng nhau => OS = OA Mà OA = OB= OC= OD => Mặt cầu tâm O, bán kính r = OA = Hoạt động 3: Giải bài tập 3 trang 49 SGK HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG Gọi (C) là đường tròn cố định cho trước, có tâm I. Gọi O là tâm của một mặt cầu chứa đường tròn, nhận xét đường OI đối với đường tròn (C) => Dự đoán quĩ tích tâm các mặt cầu chứa đường tròn O. Trên (C) chọn 3 điểm A,B,C gọi O là tâm mặt cầu chứa (C) ta có kết quả nào ? Ta suy ra điều gì ? => O Î trục đường tròn (C) . Ngược lại: Ta sẽ chọn (C) là 1 đường tròn chứa trên 1mặt cầu có tâm trên (D)? => O’M’ = ? HS trả lời: OI là trục của đường tròn (C) HS: là trục của đường tròn (C) HS trả lời OA = OB = OC HS: O nằm trên trục đường tròn (C) ngoại tiếp DABC. O’M = không đổi. => M Î mặt cầu tâm O’ => (C) chứa trong mặt cầu tâm O’ O A C I B => Gọi A,B,C là 3 điểm trên (C). O là tâm của một mặt cầu nào đó chứa (C) Ta có OA = OB = OC => O ÎD trục của (C) (<=)"O’Î(D) trục của (C) với mọi điểm MÎ(C) ta có O’M = = không đổi => M thuộc mặt cầu tâm O’ bán kính => Kết luận: bài toán : Tập hợp cần tìm là trục đường tròn (C). Hoạt động 4: Giải bài tập 5 trang 49 SGK HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG Nhận xét: Mặt phẳng (ABCD) có : - Cắt mặt cầu S(O, r) không ? giao tuyến là gì ? - Nhận xét MA.MB với MC.MD nhờ kết quả nào? - Nhận xét: Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu S(O,r) theo giao tuyến là đường tròn nào? - Phương tích của M đối với (C1) bằng các kết quả nào ? Trả lời: cắt - Giao tuyến là đường tròn (C) qua 4 điểm A,B,C,D. - Bằng nhau: Theo kết quả phương tích. - Là đường tròn (C1) tâm O bán kính r có MAB là cát tuyến. - MA.MB hoặc MO2 – r2 a)Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi (AB,CD) => (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến là đường tròn (C) qua 4 điểm A,B,C,D => MA.MB = MC.MD b)Gọi (C1) là giao tuyến của S(O,r) với mp(OAB) => C1 có tâm O bán kính r . Ta có MA.MB = MO2-r2 = d2 – r2 Hoạt động 5: Giải bài tập 6 trang 49 SGK HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG - Nhận xét: đường tròn giao tuyến của S(O,r) với mặt phẳng (AMI) có các tiếp tuyến nào? - Nhận xét về AM và AI Tương tự ta có kết quả nào ? - Nhận xét 2 tam giác MAB và IAB - Ta có kết quả gì ? AM và AI Trả lời: AM = AI BM = BI DMAB = DIAB (C-C-C) - Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (AMI) và mặt cầu S(O,r). Vì AM và AI là 2 tiếp tuyến với (C) nên AM = AI. Tương tự: BM = BI Suy ra DABM = DABI (C-C-C) => Tiết 24: Hoạt động 6: Giải bài tập 7 trang 49 SGK HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG Nhắc lại tính chất : Các đường chéo của hình hộp chữ nhật độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c => Tâm của mặt cầu qua 8 đỉnh A,B,C,D,A’,B’,C’,D’ của hình hộp chữ nhật. Bán kính của mặt cầu này Trả lời: Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường AC’ = Vẽ hình: B C I A D O B’ C’ A’ D’ Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Ta có OA = OB = OC =OD=OA’=OB’=OC’=OD’ => O là tâm mặt cầu qua 8 dỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và bán kính r = Giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên là ? - Tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến này ? Trả lời: Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Trả lời: Trung điểm I của AC và bán kính r = Giao của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Đường tròn này có tâm I là giao điểm của AC và BD Bán kính r = Hoạt động 8: Giải bài tập 10 HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS NOÄI DUNG Để tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ta phải làm gì ? Nhắc lại công thức diện tích khối cầu, thể tích khối cầu ? Hướng dẫn cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp. - Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Dựng trung trực của cạnh bên cùng nằm trong 1 mặt phẳng với trục đươờn tròn trên. - Giao điểm của 2 đường trên là tâm của mặt cầu. . Trục đường tròn ngoại tiếp DSAB . Đường trung trực của SC trong mp (SC,D) ? . Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tím bán kính của mặt cầu đó. S = 4pR2 V = R3 . Vì DSAB vuông tại S nên trục là đường thẳng (D) qua trung điểm của AB và vuong góc với mp(SAB). . Đường thẳng qua trung điểm SC và // SI. . Giao điểm là tâm của mặt cầu. D . Gọi I là trung điểm AB do DSAB vuông tại S => I là tâm đường tròn ngoại tiếp DSAB . . Dựng (D) là đường thẳng qua I và D ^(SAB) => là trục đường tròn ngoại tiếp DSAB. . Trong (SC,D) dựng trung trực SC cắt (D) tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. r2 = OA2 = OI2 + IA2 = => S = p(a2+b2+c2) V = Củng cố: Phát biểu định nghĩa mặt cầu, vị trí tương đối của đươờn thẳng với mặt cầu. Cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp. 5. Hướng dẫn chuẩn bị bài ở nhà: Bài tập 4: Hướng dẫn: Giả sử mặt cầu S(O, R) tiếp xúc với 3 cạnh D ABC lần lượt tại A’,B’,C’. Gọi I là hình chiếu của S trên (ABC). Dự đoán I là gì của D ABC ? -> Kết luận OI là đường thẳng nào của D ABC => Dự đoán. Bài 8: Hướng dẫn vẽ hình. - Giả sử tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu nào đó lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó: AM = AN = AP = a A BM = BQ = BS = b DP = DQ = DR = c P CN = CR = CS = d M N => Kết quả cần chứng minh. D B Q S R V/ RÚT KINH NGHIỆM: -Nội dung: -Phương pháp: -Sử dụng đồ dùng, thiết bị dạy học: