Giáo án lớp 12 môn Hình học - Tuần 7 - Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Chương 2 : MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU. §1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY. Tuần: 7. Ký duyệt Tiết PPCT: 12, 13, 14. Ngày soạn: 04/10/2009 Ngày dạy: 07/10/2009. MỤC TIÊU: Về kiến thức : Nắm được sự tạo thành mặt tròn xoay ,các yếu tố của mặt tròn xoay: Đường sinh, trục. Hiểu được mặt nón tròn xoay ,góc ở đỉnh ,trục,đường sinh của mặt nón. Phản biện các khái niệm : Mặt nón, hình nón khối nón tròn xoay, nắm vững công thức tính toán diện tích xung quanh, thể tích của mặt trụ, phân biệt mặt trụ,hình trụ, khối trụ. Biết tính diện tích xung quanh và thể tích. Hiểu được mặt trụ tròn xoay và các yếu tố liên quan như: Trục, đường sinh và các tính chất. Về kĩ năng : Kỹ năng vẽ hình, diện tích xung quanh ,diện tích toàn phần,thể tích. Dựng thiết diện qua đỉnh hình nón, qua trục hình trụ,thiết diện song song với trục. Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tính cẩn thận, chính xác trong tính toán và lập luận. Thông qua các ví dụ minh họa, học sinh có thể nêu được các khẳng định tương tự cho các trường hợp khác. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu) Chuẩn bị của hs : Thước kẻ, compas. Hs đọc bài này trước ở nhà. Bài cũ Làm bài tập trong sgk. Giấy phim trong, viết lông. ................................................................ Chuẩn bị của gv : Thước kẻ, compas. Các hình vẽ. Các bảng phụ Bài để phát cho Hs. Computer, projector. Câu hỏi trắc nghiệm. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu) Gợi mở, vấn đáp. Phân tích, tổng hợp. Phát hiện và giải quyết vấn đề. Trực quan sinh động. Hoạt động nhóm. ................................................................. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: Ôn và kiểm tra kiến thức cũ : Bài mới : Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng hoặc trình chiếu Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M vuông góc với ∆ và O là giao điểm của mp(P) và ∆. Khi đó (CM) là đường tròn nằm trên (P) có tâm O và bán kính R = OM. Trình bày trục của đường tròn: Trục của đường tròn (O; R) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn Cho Hs trả lời Đường tròn (CM) được xác định như thế nào ? Hãy nêu một số đồ vật có hình dạng là mặt tròn xoay I/ SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY: Định nghĩa mặt tròn xoay: Cho mp(P) chứa ∆ và đường cong (L). Khi quay (P) quanh ∆ một gócthì mỗi điểm MÎ (L) vạch ra một đường tròn tâm OÎ∆ nằm trên mặt phẳng vuông góc với ∆ và (L) sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay. Dùng Cabri 3D để giới thiệu mặt nón tròn xoay. Δ trục l đường sinh O là đỉnh hình nón α = (l, Δ) thì 2α là góc ở đỉnh của mặt nón () II/ MẶT NÓN TRÒN XOAY: 1) Định nghĩa mặt nón tròn xoay: Đường thẳng l cắt đường thẳng Δ tại O và không vuông góc Δ. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l quay quanh Δ gọi là mặt nón tròn xoay. Giới thiệu: O là đỉnh hình nón OI chiều cao ( trục) (C) là đường tròn đáy OM là đường sinh Hình nón và khối nón: ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI tạo thành hình nón đỉnh O, bán kính IM. Hình nón và phần bên trong của nó gọi là khối nón. = chu vi đáy.đường sinh V = diện tích đáy.chiều cao a) ΔOMN đều vì có IM = a Þ OM = 2a Þ= pRl = p.a.2a = 2p b) OI = a= h nên V = p.a = Cho Hs đọc nội dung sgk về diện tích xung quanh và thể tích khối nón. Cho Hs đọc và làm VD trang 34 sgk: Khái niệm về diện tích và thể tích của hình nón: VD: Trong không gian cho ΔOIM vuông tại I , IM = a. Khi quay quanh trục OI ΔOIM tạo thành hình nón. Tính diện tích xung quanh của hình nón. Tính thể tích khối nón. Cho Dùng Cabri 3D để giới thiệu mặt trụ tròn xoay. III/ MẶT TRỤ TRÒN XOAY: Định nghĩa mặt trụ: Khi mặt tròn xoay sinh bởi (L) là đường thẳng l song song với trục ∆, cách ∆ một khoảng R thì được gọi là mặt trụ bán kính R, l là đường sinh. Cho Hs nhìn hình vẽ Gv giới thiệu hình trụ và khối trụ. Hình trụ và khối trụ: (P) và (P’) cùng vuông góc với trục Δ ta được giao tuyến là 2 đường tròn (C) và (C’) Phần mặt trụ nằm giữa (P) và (P’) cùng với 2 đường tròn (C) và (C’) được gọi là hình trụ. Phần không gian giới hạn bởi hình trụ và hình trụ được gọi là khối trụ. ABCD là hình vuông cạnh bằng a, đường chéo BD = aÞ BO = a = R (bán kính đường tròn đáy của hình trụ). OO’ = DD’ = a = l = h. = 2pRl = 2pa.a = p ; V = p.h = p.a = p Cho Hs đọc định nghĩa sgk Cho Hs đọc diện tích xung quanh và thể tích sgk Cho Hs đọc Vd trang 38 sgk Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS thực hành vẽ hình. BÀI TẬP SGK: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ. Hãy xác định trục và bán kính mặt trụ đó. Hướng dẫn: Gọi Δ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O củ đường tròn cho trước. Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng m vuông góc với (P) nên các đường thẳng m luôn song song với Δ và luôn cách Δ một khoảng r nên các đường thẳng m này thuôc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng Δ và có bán kính r. Trong những trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ 4. Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó. Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. Hướng dẫn: a) Hình trụ; b) Hình nón; c) Khối nón; d) Khối trụ Cho hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính r = 25cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón. Tính thể tích khối nón. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó. Hướng dẫn: SA = l = là độ dài đường sinh của hình nón, SO = h là chiều cao hình nón. Ta có a) = p.r.l = p.25. b) V = p..h = p.625.20 c) Thiết diện là ΔSAB cân tại S, I là trung điểm của AB, OH ^ SI nên OH ^ (SAB) do đó OH = 12cm. ΔSOI vuông tại O có OH là đường cao nên Þ Þ OI = 15cm. ΔOAI có = 20cm Þ AB = 40cm. Ta có SI.OH = OS.OI Þ SI = 25cm. Vậy = SI.AB = 500 Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và AB = 20cm. Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh hình nón đó. Hướng dẫn: Gọi I là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng d, BI = 10cm. Gọi α = , sinα = = nên α = không đổi. Vậy d luôn thuộc mặt nón nhận AB làm trục và góc ở đỉnh bằng 2α = Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng 3cm. Hãy tính diện tích thiết diện được tạo nên. Hướng dẫn: a) = 2p.r.l = 2p.5.7 b) Thiết diện là hình chữ nhật ABB’A’ với AA’ = BB’ = OO’ = 7cm, AB = 2AI = 2 = 2= 8cm Þ S = 8.7 = 56 Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. Hướng dẫn: Hình nón có bán kính r = a, đường sinh l = 2a, đường cao h = a. Ta có = p.r.l = 2p., V = p..h = Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính thể tích khối trụ tạo nên từ hình trụ đã cho. Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. Hướng dẫn: = 2p.r.l = 2p; = 2p+ 2p= 2(+ 1)p V = p.h = p Gọi AA’ là đường sinh hình trụ AA’ // OO’ nên góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ là = , OO’ // (ABA’) nên khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ là khoảng cách giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (ABA’). Gọi H là trung điểm BA’ Þ O’H ^ BA’ Þ O’H ^ (ABA’). Ta có BA’ = AA’.tan= r nên ΔBA’O’ là tam giác đều do đó O’H = Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O’; r’). Khoảng cách giữa hai đáy là OO’ = r. Một hình nón có đỉnh là O’ có đáy là hình tròn (O; r) Gọi là diện tích xung quanh của hình trụ và là diện tích xung quanh hình nón , hãy tính tỉ số Mặt xung quanh hình nón chia hình trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Hướng dẫn: = 2p; O’M = l là đường sinh hình nón O’M = = 2r, = pr.2r = 2p. Vậy = Khối trụ và khối nón có cùng đáy và chiều cao nên thể tích khối trụ bằng 3 lần thể tích khối nón do đó. Gọi là thể tích khối nón là thể tích phần còn lại khối trụ , = Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón. Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc . Tính diện tích ΔSBC. Hướng dẫn: ΔSAB vuông cân tại S có AB = a Þ r = , chiều cao h = SO = , đường sinh l = SA = a. Ta có = prl = , = p= p, V = ph = Kẻ OH ^ BC Þ SH ^ BC Þ = Þ SH = = Þ BH = = . Tính diện tích ΔSBC là = SH.BH = Cho hình trụ có bán kính r, chiều cao bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của 2 đường tròn đáy , còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích hình vuông đó và côsin góc giữa hai mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy. Hướng dẫn: Gọi C’, D’ lần lượt là hình chiếu của C và D trên mặt phẳng đáy chứa dây cung AB nên CDD’C’ là hình chữ nhật Þ AC’ = 2r ; Þ 2= 5 Þ AB = . Vậy diện tích hình vuông ABCD là = Ta có BC’ = và = . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy, ta có cosα = = §2. MẶT CẦU, KHỐI CẦU. Tuần: 8, 9 Ký duyệt Tiết PPCT: 15, 16, 17, 18. Ngày soạn: 04/10/2009 Ngày dạy: 07/10/2009 MỤC TIÊU: Về kiến thức : Học sinh hiểu được các khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đường tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến của mặt cầu. Biết công thức tính diện tích mặt cầu. Về kĩ năng : Rèn luyện kỹ năng tìm tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu. Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tính cẩn thận, chính xác trong tính toán và lập luận. Thông qua các ví dụ minh họa, học sinh có thể nêu được các khẳng định tương tự cho các trường hợp khác. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu) Chuẩn bị của hs : Thước kẻ, compas. Hs đọc bài này trước ở nhà. Bài cũ Làm bài tập trong sgk. Giấy phim trong, viết lông. ................................................................ Chuẩn bị của gv : Thước kẻ, compas. Các hình vẽ. Các bảng phụ Bài để phát cho Hs. Computer, projector. Câu hỏi trắc nghiệm. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu) Gợi mở, vấn đáp. Phân tích, tổng hợp. Phát hiện và giải quyết vấn đề. Trực quan sinh động. Hoạt động nhóm. ................................................................. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: Ôn và kiểm tra kiến thức cũ : Bài mới : Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng hoặc trình chiếu Hs nhắc lại định nghĩa đường tròn trong hình học phẳng Hình vẽ có A nằm trên mặt cầu AB là đường kính, điểm nằm trong mặt cầu, điểm nằm ngoài mặt cầu. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B cho trước. TL: Gọi O là tâm mặt cầu ta có OA = OB. Tập hợp các điểm O cách đều A, B cho trước là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Trình bày định nghĩa mặt cầu như định nghĩa đường tròn trong hình học phẳng. Trình bày các thuật ngữ Vẽ hình và cho Hs trả lời Trình bày sau khi Hs tìm hiểu thảo luận đề bài. I/ MẶT CẦU & CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN: Định nghĩa mặt cầu: ĐN: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O bán kính bằng R, ký hiệu S(O; R). Các thuật ngữ: OA = R Û AÎ S(O; R): OA được gọi là bán kính mặt cầu. Hai bán kính OA, OB sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB được gọi là đường kính của mặt cầu Khối cầu: ĐN: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng các điểm nằm trong mặt cầu được gọi là khối cầu S(O; R) hoặc hình cầu S(O; R). Cho Hs nhìn hình 33 và trả lời vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Lưu ý các khái niệm: tiếp diện, tiếp điểm, đường tròn lớn. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P), gọi H là hình chiếu của O lên mp(P), d = OH d < R thì mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn tâm H bán kính (Hình 33a) d = R thì mp(P) tiếp xúc mặt cầu S(O; R) tại một điểm duy nhất H, mp(P) là tiếp diện, H là tiếp điểm (Hình 33b) d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (Hình 33c) Khi d = 0 thì mp(P) đi qua tâm O của mặt cầu, (P) được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu Hs xem các trường hợp xảy ra Hdẫn chứng minh định lý Lấy một mặt phẳng bất kỳ đi qua AO cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn (C) (Hình 35). Gọi AH là tiếp tuyến của đường tròn đó tại H. Chứng minh rằng AH cũng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H a) Tính AH theo R và d = OA b) Kẻ HI vuông góc OA tại I rồi chứng minh rằng I cố định không phụ thuộc vào tiếp tuyến AH. Từ đó suy ra kết luận b) trong định lý. a) Tâm là tâm của lập phương b) Như thế c) Như thế Cho Hs nhìn hình Gv trình bày 3 trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D, gọi H là hình chiếu của O lên D và d = OH d < R thì D cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt d = R thì D tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm H, còn D gọi là tiếp tuyến của mặt cầu d > R thì Δ không cắt mặt cầu ĐL: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó: a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm H đều bằng nhau là đường sinh của mặt nón b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu: a) Đi qua 8 đỉnh lập pương b) Tiếp xúc 12 cạnh lập phương c) Tiếp xúc 6 mặt lập phương Gọi H là chân đường cao đỉnh D, trung trực DA qua trung điểm I cắt DH tại O, ta có OD = OA = OB = OC là bán kính khối cầu Tứ diện đều cạnh bằng a thì đường cao DH = Tứ giác AIOH nội tiếp nên DI.DA = DO.DH Þ DO = R = Þ V = V = =8 Nêu công thức và cho VD để Hs trình bày: Mặt bên là hình vuông ngoại tiếp đường tròn có bán kính bằng bán kính mặt cầu Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S = Khối cầu bán kính R có thể tích là: V = VD: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích hình lập phương đó. CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 1 sgk. BÀI TẬP SGK : Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông. Hướng dẫn: M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông Þ M thuộc đường tròn đường kính AB nên Þ M thuộc mặt cầu đường kính AB. Ngược lại M thuộc mặt cầu Þ M thuộc đường tròn lớn đường kính AB Þ = 1v. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Hướng dẫn: S.ABCD hình chóp tứ giác đều Þ ABCD hình vuông tâm O có OA = OB = OC = OD = . Tam giác vuông cân SAC có cạnh góc vuông bằng a nên SO = vậy O cách đều các đỉnh hình chóp nên O và r = là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước. Hướng dẫn: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm đường tròn đó. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác cho trước Hướng dẫn: Tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. Thuận: S(O; r) tiếp xúc AB, AC, BC Þ OA’ = OC’ = OC’ = r . Gọi I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Þ I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC và Δ là đường thẳng OI Đảo: Gọi OÎ Δ là trục đường tròn nội tiếp ΔABC Þ OA’ = OC’ = OC’ = r Þ tồn tại S(O; r) tiếp xúc AB, AC, BC. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) ta kẻ hai hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d. Hướng dẫn: Hai đường thẳng cắt nhau tại M xác định một mặt phẳng, mặt phẳng này cắt S(O; r) theo giao tuyến là đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D nên có MA.MB = MC.MD Mặt phẳng (ABO) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn tâm O bán kính r. Theo phương tích đường tròn lớn MA.MB = Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không là điểm đối xứng của I qua O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng Hướng dẫn: (P) là tiếp diện của mặt cầu S(O; r) tại I nên IA, IB là 2 tiếp tuyến mặt khác MA, MB cũng là 2 tiếp tuyến của mặt cầu S(O; r) thao tính chất hai tiếp tuyến giao nhau Þ AM = AI và BM =BI Þ ΔAMB = ΔAIB Þ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. Hướng dẫn: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình hộp chữ nhật. Vì O cách đều các đỉnh của hình hộp chữ nhật nên O là tâm mặt cầu cần tìm có bán kính r = Giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm là trung điểm I của BD nên R = Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau. Hướng dẫn: Gọi M, N, P, Q, R, S là các tiếp điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD của tứ diện ABCD khi một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó. Ta có AM = AN = AP = a, BM = BQ = BS = b, CQ = CN = CR = c, DP = DR = DS = d nên AB + CD = a + b + c + d, AC + BD = a + b + c + d, AD + BC = a + b + c + d. Do đó AB + CD = AC + BD = AD + BC hay tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau. Cho một điểm A cố định và đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. Hướng dẫn: Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng a tại I. Khi đó mặt cầu tâm O bán kính OA cắt mặt phẳng (α) theo đường tròn tâm I bán kính IA không đổi. Vậy các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định (I; IA) Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên mặt cầu , SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đôi một vuông góc . Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm AB, ∆SAB vuông tại S nên IA = IB = IS. Gọi Δ là đường thẳng đi qua I và vuông góc mặt phẳng (SAB) mọi điểm nằm trên d thì cách đều A, B, S. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng trung trực của SC tại M cắt Δ ở O OB = OA = OS = OC O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta có , S = , V = p = Vì SC và KI cùng vuông góc (SAB) nên SC // IO nên xác định một mặt phẳng. Gọi G = CI Ç SO, ta có G là trọng tâm ∆ABC. ÔN CHƯƠNG 2 Tuần: 10, 11. Ký duyệt Tiết PPCT: 20, 21. Ngày soạn: 04/10/2009 Ngày dạy: 21/10/2009 MỤC TIÊU: Về kiến thức : Hệ thống các kiến thức cơ bản về mặt cầu và các mặt tròn xoay .... Phân biệt được các khái niệm về mặt và khối nón, trụ, cầu và các yếu tố liên quan. Nắm vững các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón, khối trụ, công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Về kĩ năng : Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Phương pháp chứng minh 1 điểm thuộc mặt cầu, vị trí tương đối mặt cầu với đt, mp. Vận dụng được các công thức vào việc tính diện tích xung quanh và thể tích của các khối : nón, trụ, cầu. Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tính toán cho học sinh. Về tư duy, thái độ : Phát triển trí tưởng tượng không gian. Có cách nhìn động về mối quan hệ giữa các hình trong không gian. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu) Chuẩn bị của hs : Thước kẻ, compas. Hs đọc bài này trước ở nhà. Bài cũ Làm bài tập trong sgk. Giấy phim trong, viết lông. ................................................................ Chuẩn bị của gv : Thước kẻ, compas. Các hình vẽ. Các bảng phụ Bài để phát cho Hs. Computer, projector. Câu hỏi trắc nghiệm. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu) Gợi mở, vấn đáp. Phân tích, tổng hợp. Phát hiện và giải quyết vấn đề. Trực quan sinh động. Hoạt động nhóm. ................................................................. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: Ôn và kiểm tra kiến thức cũ : CH1: ĐN mặt cầu. Phương pháp chứng minh 1 điểm thuộc mặt cầu. Điều kiện mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. (Đáy hình chóp nội tiếp được đường tròn) CH2: Ghi các công thức tính diện tích và thể tích các mặt và khối: nón, trụ, cầu. Mặt nón-Khối nón Mặt trụ-Khối trụ Mặt cầu-Khối cầu Diện tích Sxq = Sxq = S = Thể tích V = V = V = Bài mới : BÀI TẬP SGK: Cho 3 điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và = . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C nằm trên mặt cầu. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho. AB không là đường kính của mặt cầu. AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC). Hướng dẫn: a) d) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a, tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB. Hướng dẫn: AD ^ (ABC) Þ ΔABD vuông tại A, hình nón tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB có đường sinh BD = a. Diện tích xung quanh hình nón = prl = p.a.a = p, V = p h = Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu. Hướng dẫn: Gọi S là đỉnh hình chóp, H là chân đường cao hạ từ S. Gọi là các đỉnh của đa giác đáy Þ nên đa giác đáy nội tiếp được một đường tròn do đó hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu. Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC và tiếp xúc với 3 cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều. Hướng dẫn: AB, BC, CA có trung điểm lần lượt là M, N, P đồng thời là tiếp điểm nên AM = AP = CP = CN = BN = BM Þ ΔABC là tam giác đều. Gọi I, Q, R lần lượt là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC, ta có SI = SQ = SR và AM = AP = AI = BM = BN = BQ = CN = CP = CR nên SA = SB = SC. Vậy hình chóp đó là hình chóp tam giác đều. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH. Hướng dẫn: AH ^ (BCD) và AB = AC = AD nên HB = HC = HD Þ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Gọi N trung điểm CD Þ BN = , r = BH = BN = , h = AH = = 2prl = 2p= V = ph = Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. Hướng dẫn: Ta có trục Δ đi qua O và Δ ^ (ABCD) nên mọi điểm nằm trên Δ cách đều A, B, C, D. Gọi M là trung điểm SA, mặt phẳng trung trực của SA qua M cắt Δ tại I Þ IS = IA = IB = IC = ID Þ I là tâm mặt cầu bán kính r = IS ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta có SA = = và = Þ SI = = a Diện tích mặt cầu S = 4p, V = p= Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO’ = 2r và mặt cầu đường kính OO’. Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó. Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho. Hướng dẫn: Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ bằng nhau 4p = p, = p.2r = 2p nên =