Giáo án lớp 12 môn Hình học - Vấn đề 3: Mặt cầu - khối cầu - diện tích và thể tích

Vấn đề 3: MẶT CẦU (MC) - KHỐI CẦU (KC) - DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH A- TÓM TẮT CƠ SỞ LÝ THUYẾT: I- Định nghĩa và các khái niệm: Kí hiệu : S(O;R)-Là mặt cầu S tâm O, bán kính R. 1- Định nghĩa mặt cầu: 2- Các thuật ngữ: * Bán kính: A Î S(O;R) Þ OA là một bán kính của mặt cầu. * Đường kính: A, BÎ S(O;R) và O, A, B thẳng hàng Þ đoạn thẳng AB là một đường kính của MC. * Điểm trong: Nếu OE < R Þ E là điểm trong của mặt cầu. * Điểm ngoài: Nếu OF > R Þ F là điểm ngoài của mặt cầu. * Mặt phẳng qua tâm mặt cầu gọi là mặt kính . Giao tuyến của MC và mặt kính là đường tròn C(O,R) - gọi là đường tròn lớn. * Khối cầu S(O;R) hoặc hình cầu S(O,R) là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O,R) và các điểm nằm trong mặt cầu đó. Ta có thể định nghĩa : Khối cầu 3- Yếu tố xác định mặt cầu: Biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của mặt cầu. Chú ý: Mặt cầu đường kính AB: II-Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Kí hiệu: d(O, (P)) = OH là khoảng cách từ tâm MC đến mp(P). C(H, r) - là đường tròn (C) tâm H bán kính r. OH>RÛ S(O;R)Ç(P) = F OH = R Û S(O;R)Ç(P) = H OH < R Û S(O;R)Ç(P) = C(H, r) H- là tiếp điểm & (P) - tiếp diện III- Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: 1- Xét mặt cầu S(O; R) và đường thẳng (D). Gọi H là hình chiếu của O lên (D) và d = OH. d > OH Û ( D ) Ç S(O;R)= F d = OH Û ( D ) Ç S(O;R)= H d < OH Û ( D ) Ç S(O;R)= {A, B} H- là tiếp điểm & (D) - tiếp tuyến Chú ý: * Đường thẳng (d) tiếp xúc với S(O;R) tại H Û (d) ^ OH . * Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H và các đường thẳng này nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại H. 2- Định lí: Nếu A là điểm ngoài của mặt cầu thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó: Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm là bằng nhau. Tập hợp các tiếp điểm này là một đường tròn. IV- Công thức: 1- Diện tích mặt cầu: 2- Thể tích khối cầu: ( R là bán kính mặt cầu) V- Một số điểm cần lưu ý: 1- Điều kiện để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác đáy nội tiếp được trong đường tròn. 2- Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp được trong đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nó. 3- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. B- LUYỆN TẬP: Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB ^ BC, BC ^ CD, CD ^ AB. a- Chứng minh rằng có một mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b- Cho AB = a, BC = 3a, CD = . Tính theo a diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy , chiều cao là h. Tính theo a và h thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với mặt đáy là 600. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu ở câu b. 4) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy 2a. a) Tính thể tích của khối chóp theo a. b) Tính góc tạo bỡi mặt bên và đáy của hình chóp. c) Xác định tâm , tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính thể tích của mặt cầu này theo a. 5) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a, AC = 2a và cạnh bên SA = 2a vuông góc với đáy. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. b) Tính tang của góc giữa mặt bên SBC và đáy ABC. c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(SBC). Chứng minh H là trực tâm của DSBC. d) Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. 6) Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Điểm S bất kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với (P) tại A. a). Tính theo a thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA = 2a. b). Các điểm M, N lần lượt di động trên các cạnh CB, CD ( MÎCB, N ÎCD) và đặt CM = m CN= n. Tìm hệ thức liên hệ giữa m, n để các mặt phẳng (SMA) và (SNA) tạo với nhau một góc 450. 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC) và SA = SB a. a) Chứng tỏ tam giác SBC vuông. b) Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = x 8) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=AA’ = a, AD= 2a. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số . Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C). c) Tính thể tích của khối tứ diện AB’D’C. d) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện AB’D’C. 9) Cho tứ diện S.ABC có và SA = SB = SC = a. a) Chứng tỏ ABC là tam giác vuông, xác định điểm H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC). b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện S.ABC theo a. c) Tính góc tạo bỡi hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). 10) Cho tứ diện ABCD có hai mặt BCD và ACD là hai tam giác đều, hai mặt bên còn lại là các tam giác vuông cân. Chứng minh rằng: a) Tâm O hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là hình chiếu vuông góc của điểm D lên mặt phẳng (ABC). b) Đường thẳng (D) nối trung điểm các cạnh AB và CD là đường vuông góc chung của cặp cạnh đó.