Giáo án lớp 12 môn Hình học - Về Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng: Phương pháp: –Tìm –Chứng minh Bài tập : Xét tính đồng phẳng của 4 điểm sau đây: a)A(1;-2;4) B(2;0;1) C(3;2;-4) D(4;-3;-2) b)A(0;-1;2) B(2;4;-1) C(-2;0;1) D(2;1;0) c)A(1;1;1) B(2;3;4) C(6;5;2) D(7;7;5) d)A(-1;3;-4) B(2;-4;3) C(4;5;6) D(0;0;1) 2.Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng : Phương pháp : Tính các vectơ Chứng minh Bài tập : Xét tinh thẳng hàng của 3 điểm sau : a)A(1;3;1) B(0;1;2) C(0;0;1) b)A(1;1;1) B(-4;3;1) C(-9;5;1) c)A(0;-2;5) B(3;4;4) C(2;2;1) d)A(1;-1;5) B(0;-1;6) C(3;-1;5) e)A(1;2;4) B(2;5;0) C(0;1;5) f)A(2;-4;1) B(-1;0;-2) C(1;0;-2) g)A(10;9;12) B(-20;3;4) C(-50;-3;-4) h)A(2;–1;1) B(3;–2;–1) C(1;3;4) 3.Chứng minh 3 vectơ đồng phẳng: Phương pháp : Chứng minh Bài tập : Xét sự đồng phẳng của ba vectơ sau: 1.Chứng minh 2.Chứng minh 4 vectơ trên đồng phẳng 4.Biểu thị vectơ =(d1;d2;d3) theo 3 vectơ không đồng phẳng. Phương pháp: –Chứng minh 3 vectơ không đồng phẳng –Gọi x;y;z là 3 số thực sao cho =(A;B;C) –Giải hệ phương trình tìm x;y;z Bài tập : Biểu thị vectơ theo 3 vectơ sau: 5.Tìm tọa độ các điểm đặc biệt của tam giác ABC: a)Trọng tâm :Áp dụng b)Trực tâm H:Giải hệ c)Tâm I đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC: Giải hệ d)Tâm J đường tròn nội tiếp : –Tính AB;AC=>k= – –Tìm D chia AB theo tỷ số k –Tính BD => k ‘ = – –J chia đoạn AD theo tỷ số k’=> e)Tính diện tích tam giác ABC:Áp dụng công thức Bài tập: 1)Cho tam giác ABC với A(1;0;0) B(0;0;1) và C(2;1;1). a)Xác định tọa độ trọng tâm G ; trực tâm H và tâm I đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC. b)Chứng minh I,G,H tẳng hàng. 2)Cho 3 điểm A,B,C được xác định như sau A(1;2;–1) a)Chứng minh ABC là một tam giác b)Tính chiều cao kẻ từ A của tam giác. c)Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC 3)Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A(2;–1;3) B(4;0;1) C(-10;5;3). a)Tính diện tích tam giác ABC ,suy ra đường cao kẻ tử B , bán kinh của đường tròn ngọai tiếp và nội tiếp của tam giác ABC b)Tìm trực tâm H ;trọng tâm G tâm I đường tròn ngọai tiếp và tâm J đường tròn nội tiếp của tam giác ABC 4)Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;–1;–3) ,B(2;1;–2) C(–5;2;–6). a)Chứng minh 3 điểm ABC không thẳng hàng.Tính diện tích tam giác ABC. b)Gọi D là giao điểm của phân giác trong và E là giao điểm phân giác ngòai của góc A với cạnh BC.Tính ED. c)Gọi M(x,y,z) là một điểm bất kỳ .Tìm các hệ thức liên lạc giữa x,y,z sao cho M cách đều 3 điểm A;B;C. 5)Cho 4 điểm A(4;2;3) B(–2;1;–1) và C(3;8;7) . a)Chứng minh rằng tam giác ABC cân. b)Tìm D sao cho ABDC là một hìh thoi.Tính diện tích hình thoi đó. c)Gọi E(-6;2;z).Đinh z để tam giác ABD cân tại B 6.Các bài tập về tứ diện: Cho 4 điểm A;B;C;D a.Chứng minh ABCD là một tứ diện: –Tính các vectơ –Chứng minh b.Tính thể tích của tứ diện: Áp dụng công thức c.Tìm tọa độ các điểm đạc biệt của tứ diện ABCD: –Trọng tâm –Tâm J(x;y;z) mặt cầu ngọai tiếp tứ diện: Giải hệ tìm x;y;z d.Tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến mp(BCD): Gọi H(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ A lên mp(BCD) ta có : Giải hệ trên tìm x,y,z Bài Tập: 1)Cho 4 điểm A(3;1;–2) B(2;5;1) C(–1;8;4) D(1;–2;6) a)Chứng minh ABCD là một tứ diện.Tính thể tích của tứ diện đó. b)Gọi G ;J làn lượt là trọng tâm của tam giác BCD và trọng tâm tứ diện ABCD. Chứng minh A;J;G thẳng hàng. c)Tìm chân đường cao H kẻ từ A lên mp(BCD) 2)Cho 4 điểm S(3;1;–2) A(5;3;–1) B(2;3;–4) C(1;2;0). a)Chứng minh S.ABC là một tam diện vuông.(Tam diện vuông là tam diện có 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc, b)Chứng minh hình chóp S.ABC là một hình chóp đều. c)Tìm tâm I của mặt cầu (S) ngọai tiếp hình chóp S.ABC. d)Chứng minh đường nối đỉnh S và trọng tâm của tam giác ABC thì vuông góc với mp(ABC) 3)Cho tam giác ABC với A(2;1;–1) B(3;0;1) C(2;–1;3) . a)Tìm trên Oy điểm D sao cho tứ diện ABCD có thể tích là 5đvtt. b)Tìm M và N sao cho MN là đọan vuông góc chung của AB và CD.Từ đó suy ra khoảng cách giữa AB và CD. 4)Cho A(2;–1;6) B(5;–1;0) C(5;-1;0) và D(1;2;1). a)Chứng minh ABC là tam giác vuông.Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b)Tính thể tích tứ diện ABCD. c)Tìm tâm I và bán kính của mặt cầu(S) ngọai tiếp hình chóp ABCD. 7)Các bài tập về hình hộp: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ABCD là hình bình hành ó Đỉnh đối diện:Là 2 đỉnh của hình hộp không nằm trong cùng một mặt :Các cặp đỉnh đối diện là A,C’; B ,D’ ; C,A’ ;D,B’. Thể tích :V= Hình hộp có 4 đường chéo AC’,A’C,BD’,B’D 6 mặt của hình hộp đều là hình bình hành Qui tắc hình hộp: C D C’ B’ A’ D’ B A Bài tập : 1)Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1) B(2;1;2) D(1;–1;1) và C’(4;5;–5). a)Tìm các đỉnh còn lại của hình hộp. b)Tính thể tích của hình hộp. c)Tính chiều cao kẻ từ A của hình hộp. 2)Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(0;2;1) B(0;1;2) C(–1;1;1) C’(-1;-2;-1). a)Chứng minh ABCC’ là một tứ diện. b)Xét hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm tọa độ đỉnh D’ đối diện của đỉnh B. c)Tính thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’. d)Tìm chân đường vuông góc H kẻ từ A’ lên mp(ABCD). 3)Cho 3 vectơ a)Chứng minh không đồng phẳng. b)Từ điểm A(2;-1;-3) dựng .Tính thể tich của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết 3 kích thước lần lượt là AB;AD và AA’. c)Gọi I là tâm của A’B’C’D’.Tìm I ’ là hình chiếu vuông góc của I lên mp(ABCD). Tính thể tích của hình chóp I.ABCD 4)Trong khong gian cho 3 điểm A(1;2;-1) B(2;–1;3) C(–4;7;5). a)Chứng minh ABC là một tam giác.Tìm trọng tâm G của tam giác đó. b)Tìm điểm D sao cho BGCD là một hình bình hành.Tính diện tích hình bình hành đó. 5)Trong không gian cho 4 điểm A(–1;5;–10) B(5;–7;8) C(5;-4;2) D(2;2:-7). a)Chứng minh ABCD là một hình thang.Tính diện tich của hình thang đó. b)Gọi I ;J là trung điểm của 2 cạnh đáy, và K là giao điểm của 2 cạnh bên.Tìm Tọa độ K từ đó suy ra I;J;K thẳng hàng. c)Tìm trên cạnh AB điểm B’ sao cho AB’CD là một hình bình hành. 7.Các bài tập về tích vô hướng và góc của 2 vectơ: Bài tập: 1)Cho 2 vectơ : a)Tính cos của góc tạo bởi 2 vectơ trên. b)Xét 2 vectơ định bởi .Tìm m để 2.Tính góc tạo bởi các cặp vectơ sau: 3.Cho 4 vectơ .Tìm m để : a)vuông góc b) cùng phương. 4.Cho 4 điểm A(2;–2;–3) B(5;4;6) C(7;2;0) và D(6;3;3). a)Chứng minh A,B,C,D đồng phẳng. b)Tính cos của góc A của tam giác ABC. 5) Cho 2 vectơ : a)Cho b)Biết 6)Cho 4 điểm a)Chứng minh tam giác ABC vuông cân ? b)Chứng minh ABDC là hình thang vuông.Tính diện tích của hình thang vuông đó. 7)Cho 3 vectơ .Tìm 8)Tìm t để 2 vectơ với: 9a)Cho Tìm vectơ b) Cho Tìm vectơ c)Tìm vectơ đơn vị biết d)Cho . Tìm vectơ 8.Bài tập về phương trình của mặt cầu: Lý thuyết : Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R là : (S): (x – a)2 + (y – b)2 +(z – c)2 = R2 Phương trình :x2 + y2 + z2 +2ax +2by +2cz +d = 0 với a2 + b2 +c2 –d >0 là phương trình mặt cầu tâm I(–a ;–b ; –c) bán kính R = Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu: Tìm tâm I(a;b;c) Tính bán kính R Áp dụng (S) : (x – a)2 + (y – b)2 +(z – c)2 = R2 Thí dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(–1;2;2) và qua điểm O. GIẢI (S) có tâm I(–1 ; 2 ; 2)=>(S): (x+1)2 +(y – 2)2 +(z–2)2 = R2 OÎ (S) óR2 = 1+4+4= 9 =>(S) : (x+1)2 +(y–2)2 +(z – 2)2 = 9 Thí dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với A(1 ; 2 ; –1) B(3; –4 ; 5) GIẢI Gọi I là trung điểm của AB =>I(2;–1; 2) . Mặt cầu có đường kính AB => Mặt cầu có tâm I (2 ; –1 ; 2) =>(S): (x–2)2 +(y+1)2 +(z–2)2 = R2 A(1; 2 ; –1) Î(S)ó R2 =((1–2)2 +(2+1)2 +(–1–2)2=19 Vậy (S): (x–2)2 +(y+1)2 +(z–2)2 =19 Thí dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(1 ; 2 ;-4) B(1 ; -3 ; 1) C(2 ; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy. GIẢI Gọi I(a ; b ; c) là tâm của (S) . IÎmpOxy ó c = 0 =>I(a;b;0) A,BÎ (S)ó Giải hệ trên tìm được I(-2 ; 1 ; 0 ) và R= Vậy (S): (x+2)2 +(y-1)2 +z2 = 26 Thí dụ 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên Oy và đi qua 2 điểm A(2 ; -1 ; 1) B(1 ;-2;-2). GIẢI Gọi I(a ; b ; c) là tâm của mặt cầu (S). I ÎOy óa= c=0 >I(0;b;0). A;B Î(S)óAI =BI ó 4 +(b+1)2 +1 = 1 +(b-2)2 + 4ó2b+6 = -4b+9=> b= => Thí dụ 5: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 0 ; 0) B(0 ; -2 ; 0) C(0 ; 0 ; 4) và gốc tọa độ O. GIẢI Gọi (S) :x2 + y2 +z2 +2ax +2by +2cz +d = 0 BÀI TẬP 1.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(–1 ; 2 ; 1) B(1 ; 3 ; –2) C(–2 ; –1 ; 3). a)Viết phương trình mặt cầu có tâm năm trên Ox và đi qua 2 điểm A ; B . b)Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A ; B ; C có tâm nằm trên mpOxy. 2.Trong không gian Oxyz co 4 điểm A (0 ; 1 ;0) B(4 ; –1 ; –4) C( 1 ; –1 ;2) và D(2 ,3 , 1) 1.Chứng minh ABCD là một tứ diện có 3 cạnh AB ;AC ;AD đôi một vuông góc .Tính thể tích của tứ diện. 2.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 2: Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2–2ax–2by–2cz +d = 0 và điểm A (x0;y0;z0).Xác định vị trí của điểm A và mặt cầu (S) Phương pháp : –Tìm tâm I(a;b;c) và bán kính R của (S) –Tính AI = –Nếu AI > R : A ở ngoài (S) –Nếu AI = R : A thuộc (S) –Nếu AI < R : A ở trong (S) Thí dụ :Cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2 –7x +z –1 = 0 và các điểm A(1 ; –1 ;2) B(–3;2;1) C(4;1;1) . Xác định vị trí tương đối của (S) và các điểm A ; B ;C. GIẢI Gọi I( a; b;c ) là tâm của (S) : x2+y2+z2 – 7x +z 1 = 0 BÀI TẬP: 1.Cho mặt cầu (S) x2+y2+z2 +2x –6y +4z–15 = 0 và các điểm A(0;1;2) B(–2;4;1) C(1;2;-2) . Xác định vị trí tương đối của A; B ; C và (S). 2.Cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 0) B(3 ; 1 ;–3) C(–1 ; 1 ; 2) và D(1 ; –1 ;2) . Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB . a.Viết phương trình của (S). b.Xác định vị trí tương đối của (S) và 2 điểm C và D. 3.Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 +z2 –4mx +4y +2mz +m2 +4 m = 0 (m ÎR) a)Định m để (S) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. b)Tùy theo m biện luận vị trí tương đối của (S) và điểm O