Giáo án lớp 12 môn Hình học - Véc-Tơ và tọa độ trong mặt phẳng

1 Véc-tơ và tọa độ trong mặt phẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hệ trục tọa độ Oxy : Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i  , véc-tơ đơn vị trên Oy là j  2. Tọa độ của véc-tơ:  a x;y   a xi yj     . Tính chất: Cho a  và  b x';y '  , ta có  a b    x x' y y '    ,   a b x x';y y '      ,   ka kx;ky  ,  a b. xx' yy'    ,  2 2a x y   ,    xx' yy '2 2 2 2x y . x' y ' cos a,b       ( a  , b 0   ),  a b    ab 0    xx' yy ' 0  ,  a / /b    x kx' k y ky '      xy ' x'y . 3. Tọa độ của điểm:  M x;y   OM x;y   OM xi y j     .   B A B AAB x x ;y y    ,    2 2B A B AAB x x y y    .  M chia AB theo tỉ số k ( MA kMB   )  x kxA B M 1 k y kyA B M 1 k x y          . Đặc biệt: M là trung điểm của AB  x xA B M 2 y yA B M 2 x y        .  G là trọng tâm tam giác ABC  x x xA B C G 3 y y yA B C G 3 x y          . 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho  a 3; 6  và véc-tơ b  có tọa độ dạng  b k;k 1  . Xác định tọa của b  biết rằng: 1) a b   . 2) a b    . 3)   2 55cos a,b     . Giải 1) Ta có  ab 3k 6 k 1 3k 6        . a b    ab 0    3k 6 0    k 2    b 2; 1   . 2) a b      3 k 1 6k    13k     1 23 3b ;  . 3) Ta có 2 2a 3 6 3 5    ,  22 2b k k 1 2k 2k 1          k 225 2k 2k 1 cos a,b        . Do đó   2 55cos a,b      2 5k 2 525 2k 2k 1        2k 4k 4 4 525 2k 2k 1 k 2 0             2 k 2 7k 6k 0       6 7 k 0 k         6 17 7 B 0;1 B ;      . Ví dụ 2. Cho  A 1;2 ,  B 4;5 ,  C 2; 7  . 1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 2) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC . 3) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC . 4) Xác định trực tâm H của tam giác ABC . 5) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC . Giải 3 1) Ta có  AB 3;3  ,  BC 6; 12   . AB kBC    3 6k 3 12k       1 2 1 4 k k        k . Vậy k : AB kBC     AB  và BC  không cùng phương  A , B , C không thẳng hàng  A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 2) 2 2AB 3 3 3 2   , 2 2BC 6 2 2 10   ,  CA 3;9   2 2CA 3 9 10   . 3) G là trọng tâm của tam giác ABC  x x xA B C G 3 y y yA B C G 3 x 1 y 0              G 1;0 . 4) Ta có  H HAH x 1;y 2   ,  H HBH x 4;y 5   . Suy ra             H H H H H H H H BCAH 6 x 1 12 y 2 6 x 2y 5 CABH 3 x 4 9 y 5 3 x 3y 19                     . H là trực tâm của tam giác ABC  BCAH 0 CABH 0            H H H H 6 x 2y 5 0 3 x 3y 19 0           H 23;14 . 5) Ta có  I IIA 1 x ;2 y       2 22 2 2I I I I I IIA 1 x 2 y x y 2x 4y 5         ,  I IIB 4 x ;5 y       2 22 2 2I I I I I IIB 4 x 5 y x y 8x 10y 41         ,  I IIC 2 x ; 7 y         2 22 2 2I I I I I IIC 2 x 7 y x y 4x 14y 53           . I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IA IB IB IC     2 2 2 2 IA IB IB IC      2 2 2 2 I I I I I I I I 2 2 2 2 I I I I I I I I x y 2x 4y 5 x y 8x 10y 41 x y 8x 10y 41 x y 4x 14y 53                      I I I I x y 6 x 2y 1         I 13; 7 . Ví dụ 3. Cho  A 1; 2 ,  B 3;4 . Tìm tọa độ điểm C Ox sao cho 1) Tam giác ABC vuông tại A . 2) Tam giác ABC cân tại A . Giải 4 C Ox  tọa độ C có dạng  C c;0 . 1)  AB 2;6  ,  AC c 1;2     ABAC 2 c 1 6.2 2c 10      . Do đó: tam giác ABC vuông tại A  ABAC 0   2c 10 0   c 5    C 5;0 . 2) Ta có 2 2 2AB 2 6 40   ,  22 2 2AC c 1 2 c 2c 5      . Do đó: tam giác ABC cân tại A  AB AC  2 2AB AC  240 c 2c 5   2c 2c 35 0    c 7 c 5          C 7;0 C 5;0    . 5 C. Bài tập Bài 1. Cho  A 1;2 ,  B 3;4 ,  C 5;6 . Chứng minh A , B , C thẳng hàng. Bài 2. Cho  A 1; 1 ,  B 2;4 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ. Bài 3. Cho  a 1;2 ,  b 2;3  ,  c 3;7 . Hãy biểu diễn c qua a , b  . Bài 4. Cho  A 1;1 ,  B 1;2 ,  C 4;0 . Tìm toạ độ điểm M sao cho: 1) AM 2BC 3AC     . 2) AM 2BM 3CM 0       . 3) ABCM là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo. Bài 5. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết  A 2;2 ,  B 4;1 ,  C 3;1 . Tìm tọa độ đỉnh D của hình thang biết rằng CD 3AB . ĐS:  D 9;4 . Bài 6. Cho  A 2;5 ,  B 2;4 . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với các trục toạ độ. ĐS: M d Ox    98M ;0 , N d Ox    92N 0; . Bài 7. Cho  A 3;6 ,  B 1; 2 ,  C 6;3 . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . ĐS:  5 14 2; . Bài 8. Cho  A 1;1 ,  B 3;2 ,  12C ; 1  . 1) Tính chu vi ABC . 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Bài 9. Cho ABC với  A 2;4 ,  B 2;1 ,  C 6;1 . 1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC . Bài 10. Cho  A 3;4 ,  B 4;0 . Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ  O 0;0 là trọng tâm ABC . ĐS:  C 7; 4 . 6 Bài 11. [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh  A 1;0 ,  B 4;0 ,  C 0;m với m 0 . tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . ĐS:  m3G 1; , m 3 6  . Bài 12. Cho  A 3;4 ,  B 4;0 . Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1 . Bài 13. Cho ABC . Biết  A 1;2 ,  M 0;1 là trung điểm của AB ,  N 3; 1 là trung điểm của AC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 14. Cho ABC . Biết  A 1;2 ,  M 0;1 là trung điểm của AB ,  P 3;1 là trung điểm của BC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 15. Cho ABC . Biết  M 1;2 ,  N 3; 2  ,  P 5;0 lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Bài 16. Cho  1 1 1M x ;y ,  2 2 2M x ;y ,  3 3 3M x ;y lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của ABC . Hãy xác định tọa độ của A , B , C theo tọa độ của 1M , 2M , 3M . Bài 17. Cho ABC . Biết  A 3; 4  và các trung tuyến đi qua B , C lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. ĐS:  B 3;0 ,  C 0;4 . Bài 18. Cho ABC . Biết  A 1;3 và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 19. Cho ABC . Biết  A 2;5 và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC lần lượt là Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Bài 20. Cho  A 1;2 ,  B 3;4 . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 1) MA MB nhỏ nhất. 2) MA MB lớn nhất. Bài 21. Cho  A 2;4 . Tìm B Ox , C Oy sao cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu? Bài 22. Chứng minh với mọi x , y , z , t ta có:    2 22 2 2 2x y z t x z y t       . Hãy chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào.