Giáo án lớp 12 môn Tích phân - Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM I. Tóm tắt lí thuyết: 1/ Định nghĩa : Trên khoảng ( a, b ) nếu F’(x) = f(x): F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) 2/ Nhận xét: 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)/(a, b) thì a) ( hằng số ) :F(x) + c cũng là nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó. b) Ngược lại,nguyên hàm của h/số f(x) trên (a, b) điều có thể viết dưới dạng F(x) + c với c là hằng só ­Lưu ý: F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là họ nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó . Kí hiệu: , trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và c là hằng số ­Chú ý: . Dấu gọi là dấu tích phân, biểu thức f(x) dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì do đó ( vi phân của hàm f(x) ) 3/Tính chất: 1) 2) 3) 4/Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp II. Bài tập : Vấn đề 1: Tích phân bất định bằng công thức nguyên hàm. Tính nguyên hàm của các hàm số sau: 1); 2); 3) 4); 5); 6) ; 7); 8) 9); 10); 11) 12); 13) 14); 15) 16) 17) 18) Vấn đề 2: Tích phân bất định bằng công thức đổi biến. Phương pháp đổi biến số: I = - Tìm 1 hàm f(x) có nguyên hàm F(x). - Tìm hàm u(x) sao cho f(u(x)). u’(x) = g(x) - Tính I = Bài tập: Tính các tích phân sau đây bằng cách dùng công thức biến đổi: 1); 2) 3); 4); 5) 6); 7); 8); 9) ; 10) 11); 12); 13); 14); 15) 16); 17); 18); 19); 20) 21) 22); 23) 24); Vấn đề 3: Tính tích phân bất định bằng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp nguyên hàm từng phần: I = = (*) a/ Dạng 1: I = (Trong đĩ P(x) là hàm đa thức) Phương pháp: Đặt u = P(x) dv = Áp dụng cơng thức tính nguyên hàm từng phần (*) b/ Dạng 2: I = Phương pháp: Đặt u = ln(ax+b) => du = dv = P(x)dx => v = .. c/ Dạng 3: I = Phương pháp: Đặt u = => du = dv = => V = .. Áp dụng cơng thức tính nguyên hàm từng phần (*) ( 2 lần) Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: 1) I; 2) I; 3) I; 4) I 5) I; 6) I; 7) I; 8) I; 9) I; 10) I 11) I; 12) I; 13) I; 14) I; 15) I 16) I; 17) I; 18) I; 19) I 20) I 21) I 22) I 23) I 24)I Vấn đề 4: Tích phân bất định của hàm hữu tỉ. Dạng 1:Các dạng đặc biệt cơ bản: a/Loại 1: I= Phương pháp: Đặt x = a.tant => dx = b/Loại 2:I= Phương pháp: Đặt x = asint => dx = acost dt Dạng 2: I = Nếu Do đĩ : Nếu Phương pháp : Đặt x+ *Dùng phương pháp đồng nhất thức để tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ: 1)Trường hợp 1:Mẫu số cĩ nghiệm đơn . 2)Trường hợp 2: Mẫu số cĩ nghiệm đơn và vơ nghiệm 3)Trường hợp 3: Mẫu số cĩ nghiệm bội Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: 1) I; 2) I; 3) I; 4) I; 5) I; 6) I; 7) I; 8) I; 9) I;10) I; 11) I; 12) I; 13) I; 14) I; 15) I;16) I; 17) I ; 18) I; 19) I Vấn đề 5: Tích phân bất định của hàm số lượng giác . Dạng 1: I Phương pháp: Biến tích thành tổng *) *) *) Dạng 2 : I Phương pháp: *) T/hợp chung : Đặt t = *) : Đặt t = tanx *) : Đặt t = cosx *) : Đặt t = sinx Dạng 3 : I ( m, n: nguyên) Phương pháp: *) m lẻ ( or n lẻ): đặt t = cosx ( t = sinx) *) m,n đều chẵn và dương: sd công thức biến đổi LG : Cos2a= ; Sin2a=; sina.cosa = sin2a *) m,n đều chẵn (đều lẻ) và âm: đặt t = tanx or t = cotx Bài tập: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: 1) I; 2) I; 3) I; 4) I 5) I;6) I; 7) I;8)I; 9)I;10) I;11) I; 14) I 12)I;13) I; 15) I;16) I; 17) I; 18) I;19) I; 20) I 21) I;22) I ; 23) I ; 24)I TÍCH PHÂN I.Lí thuyết: 1.Định nghĩa: GiaÛ sử f(x) là hàm số liên tục trên khoảng K, a, b là hai phần tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x). kí hiệu: (Công thức newtơn – Laipnít) Trong đó: :dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân f(x) là hàm số dưới dấu tích phân a,b là các cận của tích phân (a là cận dưới , b là cận trên) 2. Tính chất: Cho 2 hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K; a, b, c là 3 số bất kì thuộc K. Ta có: 1) ; 2) ; 3) ; 4); 5) ( a < b < c) 7) trên; 8) trên Vấn đề 1: Tính tích phân xác định bằng định nghĩa II. Bài tập: Bài tập: Tính các tích phân sau đây: 1) I; 2) I; 3) I; 4) I; 5) I = ; 6) I = ; 7) I = ; 8) I = ;9) I; 10) I=; 11) I= ;12) I= ; 13)I=; 14) I= ; 15) I =; 16) I = ; 17) I = ; 18) I = ; 19) I = ; 20) I = ( ĐHKT-94) Vấn đề 2: Phương pháp biến đổi số Phương pháp tính : I = - Phân tích g(x)dx = f(u(x)). u’(x) dx ( dễ tìm nguyên hàm của f(u) ). - Đặt u = u(x) . - Đổi cận : x a b u u(a) u(b) - Tính I = Bài tập: Tính các tích phân xác định sau đây: 1) I =; 2) I = ; 3) I = ; 4) I = ; 5) I = ; 6) I=; 7) I = ; 8) I = ; 9) I; 10) I=; 11) I;12) I ;13) I; 14) I; 15) I;16) I;17) I; 18) I; 19) I;20) I; 21) I; 22) I= 23) I =; 24) I; 25) I; 26) I; Vấn đề 3: Phương pháp tích phân từng phần. 27)I;28) I = ; 29)I= ; 30) ;31)I = Cách tính: Biến đổi với cách đặt hợp lý(giống như pp nguyên hàm từng phần) Biến đổi về: , sau đó tính từng phần Bài tập: Tính các tích phân xác định sau đây: 1) I; 2) I; 3) I ;4)I; 5) I; 6) I; 7) I; 8) I;9) I ;10) I; 11) I; 12) I; 13) I;14) I; 15) I;16) I;17) I; 18) I =; 19)I = ;20) I = ;21) I= ; Vấn đề 4: Tích phân có trị tuyệt đối. Phương pháp tính : I = - Xét dấu f(x) /[a; b] để khử dấu trị tuyệt đối - Sử dụng tính chất ( a< b < c) Bài tập: 1) ; 2) I=;3) I =; 4) I =; 5)I;6) I = ; 7) I =; 8) I =; 9) I =; 10) I =;11) ;12) I; 13) I = ; 14) I =; 15) I = ; 16)I=; 17) I;18) I;19) I; Vấn đề 5: Tích phân hàm hữu tỉ. Bài tập: 1) I =; 2) I = ; 3) I = ; 4) I = ; 5) I = ; 6) I = ; 7) I = ; 8) I = Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức. Bài tập: 1); 2) ; b >a 3) 4) (x > 0) ; 5) 6) a) CMR: nếu y= f(x) là một hàm số chẵn thì ta có: b Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ta có : Vấn đề 5: Bất đẳng thức tích phân. Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây:1) ; 2)3); 4) ; 5); 6) Bài tập: Tính các tích phân sau đây: 1) 3) 4) I; 5) I; 6) ; 7) 8) Vấn đề 7: Tích phân truy hồi. Bài tập: Tính các tp sau đây:1)In; 2) In;4) In; 3) In ; 5) In ; 6) In.m ; 7) In Vấn đề 8: Phương trình và bất phương trình tích phân. Bài 1: a) Định m > 0 để; b) Định để ; với c) Định để: ; với Bài 2: Cho Ia) Chứng minh:I(a;b) + abI(a;b) = ; b) Tính I(a;b). Bài 3: Giải các phương trình sau đây: a); b) ; c) (x > 1). Vấn đề 9: Đạo hàm của tích phân xác định. Bài tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) tại x = 1 ; b) tại; c); d); e). Vấn đề 10: Gía trị trung bình của hàm số trên một đoạn. Bài tập: Tính giá trị trung bình của các hàm số sau: 1)trên; 2) trên; 3) trên 4) trên; 5) trên {1;4}. 6) Định m để giá trị trung bình của hàm số f(x) = lnx trên đọan {1;m} là: ( m > 1). Vấn đề 11: Diện tích và thể tích. Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a); b); c); d) e) Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P):và 2 tiếp tuyến xuất phát từ A(0; -2). Bài 3: Chứng minh diện tích elip (E) : Bài 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai elip: (E):=1 và (E’):. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C):, đường tiệm cận xiên và x = 2; x = 4. Bài 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởivà đường thẳng x - y – 2 = 0. Bài 7: Tính thể tích khối tròn tạo bởikhi quay quanh trục OX Bài 8:tính thể tích khối tròn tạo bởikhi quay quanh trục OX Bài 9:Tính thể tích khối tròn tạo bởikhi quay quanh trục OX,trục OY. Bài 10: Tính thể tích khối tròn tạo bởi quay quanh trục.