Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài 1: Nguyên hàm

Chương III nguyên hàm - tích phân và ứng dụng 1. nguyên hàm I - Nguyên hàm và tính chất 1. Nguyên hàm 1 Tìm hàm số F(x) sao cho F '(x) = f(x) nếu : a) f(x) = 3x2 với x ẻ (-Ơ ; +Ơ) ; b) với Kí hiệu là khoảng, hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng của . Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên nếu F '(x) = f(x) với mọi x ẻ . Ví dụ 1 a) Hàm số F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng (-Ơ ; +Ơ) vì F '(x) = (x2)' = 2x, x ẻ (-Ơ ; +Ơ). b) Hàm số F(x) = lnx là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0 ; +Ơ) vì F '(x) = (lnx)' = , x ẻ (0 ; +Ơ). 2 Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1. Định lí 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên . 3 Hãy chứng minh Định lí 1. Định lí 2 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên thì mọi nguyên hàm của f(x) trên đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Chứng minh. Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên , tức là G'(x) = f(x), x ẻ. Khi đó (G(x) - F(x))' = G'(x) - F '(x) = f(x) - f(x) = 0, x ẻ . Vậy G(x) - F(x) là một hàm số không đổi trên . Ta có G(x) - F(x) = C G(x) = F(x) + C, x ẻ . Hai định lí trên cho thấy : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên thì F(x) + C, Cẻ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên Kí hiệu ỉ Chú ý Biểu thức chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của, vì dF(x) = F '(x) = f(x). Ví dụ 2 a) Với x ẻ (-Ơ ; +Ơ), ; b) Với s ẻ (0 ; +Ơ), ; c) Với t ẻ (-Ơ ; +Ơ), 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 và Tính chất này suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm. Ví dụ sau đây minh hoạ cho tính chất đó. Ví dụ 3. Ta có và Tính chất 2 (k là hằng số khác 0). Chứng minh. Theo tính chất 1, ta có Từ đó suy ra Tính chất 3 4 Hãy chứng minh Tính chất 3. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0 ; +Ơ). Giải. Với , ta có . 3. Sự tồn tại nguyên hàm Ta thừa nhận định lí dưới đây. Định lí 3 Mọi hàm số f(x) liên tục trên đều có nguyên hàm trên . Ví dụ 5 a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng (0 ; +Ơ) và b) Hàm số có nguyên hàm trên từng khoảng (k ẻ và 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp 5 Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trong SGK Đại số và GiảI tích 11 để điền các hàm số thích hợp vào cột bên phải. f '(x) f(x) + C 0 (a > 0, a ạ 1) cosx -sinx Từ bảng các đạo hàm, ta có bảng nguyên hàm sau đây. (a > 0, a ạ 1) (a ạ -1) Ví dụ 6. Tính : a) trên khoảng (0 ; +Ơ) ; b) trên khoảng (-Ơ ; +Ơ). Giải Với x ẻ (0 ; +Ơ) ta có = Với x ẻ (-Ơ ; +Ơ) ta có = 3sinx - = 3sinx - ỉ Chú ý Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. II - Phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số 6 a) Cho . Đặt u = x - 1, hãy viết theo u và du. b) Cho Đặt x = , hãy viết theo t và dt. Định lí 1 Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Chứng minh. Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có Vì F'() = f() = f(u(x)) nên Như vậy, công thức đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của biến số độc lập x . Hệ quả Ví dụ 7. Tính Giải. Vì nên ỉ Chú ý Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x). Ví dụ 8. Tính Giải. Đặt u = x + 1 thì du = dx. Khi đó, tích phân đã cho trở thành == . Thay u = x + 1 vào kết quả, ta được . 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 7 Ta có (xcosx)' = cosx - xsinx hay -xsinx = (xcosx)' - cosx. Hãy tính và Từ đó tính Định lí 2 Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Chứng minh. Từ công thức đạo hàm của tích hay ta có . Vậy ỉ Chú ý Vì nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần. Ví dụ 9. Tính a) ; b) ; c) Giải a) Đặt u = x và ta có và Do đó b) Đặt u = x và ta được và Vậy hay c) Đặt u = lnx, dv = dx, ta có du = và v = x. Do đó 8 Cho P(x) là đa thức của x. Từ ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây và điền u, dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần. u dv Bài tập Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại ? a) và ; b) sin2x và sin2x ; c) và Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = ; d) f(x) = ; e) f(x) = tan2x ; g) f(x) = ; h) f(x) = ; i) f(x) =. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) (đặt ; b) (đặt ; c) (đặt ; d) (đặt ). 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : a) ; b) ; c) ; d) . 2. tích phân I - kháI niệm tích phân 1. Diện tích hình thang cong 1 Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 t 5) (H.54). 1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.55). 2. Tính diện tích S(t) của hình T khi Hình 54 Hình 55 3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t ẻ [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1). Cho hàm số liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H. 56a). ở lớp dưới, ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác. Bây giờ ta xét bài toán tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì (H 56b). a) b) Hình 56 Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục toạ độ, ta chia D thành những hình nhỏ là hình thang cong (H 56a). Bài toán trên được đưa về tính diện tích của những hình thang cong. Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng Giải. Với mỗi gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ 0 và x (H 57). Hình 57 Hình 58 Ta chứng minh Thật vậy, với h > 0, kí hiệu và lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H. 58) , ta có hay Vậy . Với h < 0, tính toán tương tự, ta được . Tóm lại với mọi h ạ 0, ta có . Suy ra . Do đó, S(x) là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn [0; 1]. Mặt khác, trên đoạn đó cũng là nguyên hàm của nên , . Từ giả thiết S(0) = 0, suy ra C = 0. Vậy . Thay x = 1 vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình cần tìm là . Bây giờ, ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b (a < b), trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Với mỗi kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và x (H.59). Ta cũng chứng minh được S(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho Hình 59 Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = -F(a). Vậy . Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là . 2. Định nghĩa tích phân 2 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) - F(a) = G(b) - G(a), (tức là số F(b) - F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm). Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là . Ta còn dùng kí hiệu F(x)để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy (6) Ta gọi là dấu tích phân với a là cận dưới và b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân. ỉ Chú ý Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước , Ví dụ 2 1) ; 2). Nhận xét a) Tích phân của hàm f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. b) ý nghĩa hình học của tích phân : Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (H.56). Vậy (7) II - Tính chất của tích phân Tính chất 1 (k là hằng số). Tính chất 2 3 Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2. Ví dụ 3. Tính . Giải. Ta có . Tính chất 3 (a < c < b). Chứng minh. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Khi đó, F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên mỗi đoạn [a ; c] và [c ; b]. Do đó, ta có = F(b) - F(a) = . Ví dụ 4. Tính . Giải. Ta có . Vì nên = = 4. III - Phương pháp tính tích phân 1. Phương pháp đổi biến số 4 Cho tích phân 1. Tính bằng cách khai triển 2. Đặt Biến đổi biểu thức thành g(u)du. 3. Tính và so sánh kết quả với trong câu 1. Tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm, ta có định lí sau đây. Định lí Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b ] Nếu , ta xét đoạn . sao cho và với mọi Khi đó Ví dụ 5. Tính Giải. Đặt Ta có Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t = . Các giả thiết của định lí trên được thoả mãn. Do đó ỉ Chú ý Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Để tính , đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] và Giả sử có thể viết với g(u) liên tục trên đoạn Khi đó, ta có Ví dụ 6. Tính Giải. Đặt u = sinx. Ta có . Khi thì khi thì Vậy Ví dụ 6. Tính . Giải. Đặt ta có và u(0) = 1, u(1) = 2 nên 2. Phương pháp tính tích phân từng phần 5 a) Hãy tính bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. b) Từ đó tính Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây. Định lí Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì hay . Ví dụ 7. Tính . Giải. Đặt u = x và dv = sinxdx, ta có du = dx và v = -cosx. Do đó = . Ví dụ 8. Tính . Giải. Đặt và , ta có và . Do đó . Bạn có biết Niu-tơn (Issac Newton) Newton (1643 - 1727) Niu-tơn (1643 - 1727) là nhà toán học, vật lí học, cơ học và thiên văn học vĩ đại người Anh. Sinh ra thiếu tháng, Niu-tơn là một đứa trẻ yếu ớt. Lớn lên Niu-tơn cũng không phải là một cậu bé khoẻ mạnh. Cậu thường phải tránh những trò chơi hiếu động của đám bạn bè cùng lứa tuổi. Thay vào đó, cậu tự sáng chế ra những trò chơi cho riêng mình, qua đó cũng thấy được tài năng thực nghiệm của Niu-tơn sớm được bộc lộ. Khi thì cậu làm ra những đồ chơi cơ học, như chiếc đồng hồ bằng gỗ chạy được, khi thì cậu sáng chế ra chiếc cối xay gió, bên trong để một con chuột đóng vai trò người thợ xay. Có lần vào ban đêm Niu-tơn đã thả chiếc diều mang đèn lồng chiếu sáng, khiến cho dân làng hoảng sợ. Và ngay từ lúc nhỏ, Niu-tơn đã rất chịu khó đọc sách và ghi chép cẩn thận những điều lí thú mà cậu đọc được trong sách. Năm 1661, 18 tuổi, Niu-tơn vào học tại trường Đại học Cam-brit (Cambridge). Từ đó Niu-tơn thực sự quan tâm đến khoa học. Thầy dạy toán của Niu-tơn thừa nhận cậu sinh viên xuất sắc của mình đã vượt mình và năm 1669 ông nhường chức vụ giáo sư cho người học trò lỗi lạc ấy. Niu-tơn giữ chức này cho đến năm 1701. Cống hiến lớn lao của Niu-tơn đối với toán học là đồng thời và độc lập với Lai-bơ-nit, ông đã sáng lập ra phép tính vi phân và tích phân. Ngay từ những năm 1665 - 1666, lúc 22, 23 tuổi, Niu-tơn đã xây dựng cơ sở của phép tính này mà ông gọi là "phương pháp thông lượng", và ông đã áp dụng phương pháp đó để giải những bài toán về Cơ học. Niu-tơn và Lai-bơ-nit đều phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa tích phân và nguyên hàm. Lịch sử Toán học cho thấy khái niệm tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó việc thiết lập mối liên hệ giữa tích phân với nguyên hàm là một phát minh vĩ đại của Niu-tơn và Lai-bơ-nit. Kết quả này đã được sử dụng làm định nghĩa tích phân. Niu-tơn đã có những phát minh cơ bản về dãy vô hạn. Đặc biệt, ông mở rộng định lí, nay gọi là "định lí nhị thức Niu-tơn" cho trường hợp số mũ là một số thực tuỳ ý. Niu-tơn còn có những cống hiến lớn lao trong các lĩnh vực Đại số, Hình học, Cơ học và Vật lí. Ông đã phát minh ra định luật vĩ đại về vạn vật hấp dẫn. Bài tập Tính các tích phân sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . Tính các tích phân sau : a) ; b) ; c) ; d) 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) (đặt ); b) (đặt ; c) (đặt ; d) (a > 0) (đặt ; 4. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính : a) ; b) ; c) ; d) . 5. Tính các tích phân sau : a) ; b) ; c) 6. Tính bằng hai phương pháp : a) Đổi biến số u = 1 - x ; b) Tích phân từng phần. 3 ứng dụng của tích phân trong hình học i - tính diện tích hình phẳng 1 Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn bởi các đường thẳng y = -2x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5. So sánh với hình thang vuông trong 1 của Đ2. 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Hình 60 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a ; b]. Ta đã biết hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức (7) (Đ2) : (1) Trường hợp f(x) ≤ 0 trên đoạn [a ; b], ta có -f(x) ³ 0 và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong aA'B'b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành (H.60). Do đó (2) Hình 61 Tổng quát, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (H.61) được tính theo công thức (3) Hình 62 Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2. Giải. Ta có trên đoạn [-1 ; 0] và trên đoạn [0 ; 2]. áp dụng công thức (3), ta có (H.62) : . 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Hình 63 Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b (H.63). Xét trường hợp với mọi Gọi là diện tích của hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b và các đường cong y = f1(x), y = f2(x) tương ứng. Khi đó, diện tích S của hình D là . Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được công thức (4) ỉ Chú ý. Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình = 0 trên đoạn [a ; b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d). Khi đó,không đổi dấu trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [a; c], ta có Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = p và đồ thị của hai hàm số y = cosx, y = sinx . Giải. Đặt f1(x) = cosx, f2(x) = sinx. Ta có = 0 Û cosx – sinx = 0 Û ẻ [0 ; p] (H.64). Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là Hình 64 . Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x3 - x và y = x - x2. Giải. Ta có Phương trình có ba nghiệm x1 = -2, x2 = 0, x3 = 1. Vậy diện tích hình phẳng đã cho là . II - Tính thể tích 2 Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ với diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. 1. Thể tích của vật thể Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b] (H.65). Hình 65 Người ta chứng minh được rằng thể tích V của phần vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức : (5) Ví dụ 4. Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h (H.66). Giải. Hình 66 Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h. Hiển nhiên, một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi S(x) = B . áp dụng công thức (5), ta có . 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B (H.67). Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ . Khi đó OI = h. Một mặt phẳng (a) vuông góc với Ox tại x cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x). Ta có . Khi đó, thể tích V của khối chóp là Hình 67 . b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S (H.68) có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao bằng h. Chọn trục Ox trùng với đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S. Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt cắt Ox tại I và I'. Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Gọi V là thể tích của khối chóp cụt. Ta có . Hìn h68 Vì và h = b - a nên III - Thể tích của khối tròn xoay 3 Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học. Nghệ nhân làm gốm ở Bát Tràng Hình 69 Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Hãy tính thể tích V của nó (H.69). Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x ẻ [a ; b] là hình tròn có bán kính bằng ùf(x)ù. Do đó diện tích của thiết diện là S(x) = . Vậy theo công thức (5) ta có (6) Hình 70 Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = p (H.70). Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox. Giải. áp dụng công thức (6), ta có = . Ví dụ 6. Tính thể tích hình cầu bán kính R. Giải. Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường () và trục hoành xung quanh Ox (H.71). Hình 71 Vậy = . Bài tập 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : a) y = x2, y = x + 2 ; b) y = , y = 1 ; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2 . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2 ; 5) và trục Oy. Parabol y = chia hình tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox : a) y = 1 - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = p; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = . Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt . Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.72). a) Tính thể tích của V theo a và R. Hình 72 b) Tìm a sao cho thể tích của V lớn nhất. Bạn có biết lịch sử Phép tính tích phân Ra đời trên cơ sở trực giác, phép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng từ trước thế kỉ XVIII. Đến thế kỉ XIX, Cô-si (Cauchy, 1759 - 1857) và Ri-man (Riemann, 1826 - 1866) mới xây dựng được một lí thuyết chính xác về tích phân. Lí thuyết này về sau được Lơ-be-gơ (Lebesgue, 1875 - 1941) và Đăng-gioa (Denjoy, 1884 - 1974) hoàn thiện. Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn. Thay vào đó, họ nói "tổng của một số vô cùng lớn những số hạng vô cùng nhỏ". Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trên cơ sở này, Kê-ple (Kepler, 1572 - 1630) đã tính một cách chính xác nhiều diện tích và thể tích. Các nghiên cứu này được Ca-va-li-ơ-ri (Cavalierie,1598 - 1647) tiếp tục phát triển. Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Lai-bơ-nit định nghĩa và đưa vào kí hiệu ũ. Tên gọi "tích phân" thì do Bec-nu-li (Bernoulli, 1667 - 1748), học trò của Lai-bơ-nit đề xuất. Như vậy, tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một phát minh vĩ đại của Niu-tơn và Lai-bơ-nit. Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổng tích phân, là của Cô-si và Ri-man. Bài đọc thêm Tính diện tích bằng giới hạn 1. Tính diện tích hình thang cong Xét hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x = b (a < b), y = 0 và y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a ; b]. Để tính diện tích của hình thang cong trên, ta dùng phép chia nhỏ, xấp xỉ bởi một hình bậc thang và chuyển qua giới hạn. Ta chia đoạn [a ; b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm ..., sao cho Từ các điểm chia, vẽ các đường thẳng song song với trục Oy, tương ứng chia hình thang cong thành n hình thang cong con (H.73a). a) b) Hình 73 Tại mỗi hình thang cong ta dựng một hình chữ nhật có đáy là đoạn và chiều cao bằng với lấy tuỳ ý trên đoạn (H.73b). Hình chữ nhật nhận được có diện tích bằng Số này xấp xỉ diện tích hình thang cong . Kí hiệu S là diện tích hình thang cong aABb, ta có hay (1) Xấp xỉ này càng chính xác nếu tất cả các càng nhỏ. Sự kiện này gợi ý cho ta về phép chuyển qua giới hạn khi dần tới 0 để thu được diện tích hình thang cong aABb. Xét khi. (2) Người ta chứng minh được rằng nếu f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì giới hạn (2) luôn tồn tại không phụ thuộc cách chia đoạn [a ; b] và cách lấy điểm i = 1, 2, ..., n. Giới hạn ấy gọi là diện tích của hình thang cong đã cho. Vậy khi (3) 2. áp dụng Nhờ giới hạn dạng (3), ta có thể tính được diện tích một số hình phẳng. Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0 và x = 1. Giải . Ta tiến hành theo phương pháp trên nhưng chia đoạn [a ; b] thành n phần bằng nhau, tức là độ dài các đoạn bằng. Điểm được chọn là mút trái của đoạn, Khi đó i = 1, 2, ..., n (H.74). Hình 74 Ta lập tổng dạng (1) Vậy (vì chia đều đoạn [a ; b] nên Ví dụ 2. Tính diện tích hình tròn bán kính R. Giải . Vì diện tích hình tròn không phụ thuộc vị trí của nó trong mặt phẳng Oxy nên để xác định, ta giả sử tâm hình tròn trùng với gốc toạ độ. Hình tròn đối xứng qua tâm, nên ta chỉ cần tính diện tích của phần nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. Hình tròn được giới hạn bởi đường tròn có phương trình là Ta có thể biểu diễn đường tròn này ở dạng tham số Ta tính diện tích phần tư hình tròn được giới hạn bởi cung tròn và hai trục toạ độ x = 0 và y = 0. Ta tiến hành như cách làm ở phần 1, nhưng đoạn [0 ; R] được chia thành n phần sao cho tương ứng trên cung tròn được chia thành n phần bằng nhau. Khi đó số đo các cung con đều bằng Điểm được chọn trùng với (mút phải đoạn ) (H.75). (i = 1, 2, ..., n). Hình 75 . Lập tổng dạng (1) ta được Vì nên tổng trên viết thành Chuyển qua giới hạn đẳng thức trên khi (vì ta được Vậy diện tích hình tròn bằng Ôn tập chương III a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng. b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh hoạ. a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn. b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh hoạ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x) ; b) f(x) = sin4xcos22x ; c) f(x) = ; d) f(x) = Tính : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) Tính : a) ; b) ; c) ; d) ; Tính : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; g) Bài tập trắc nghiệm 1. Tính , kết quả là : (A) ; (B) ; (C) ; D) 2. Tính , kết quả là : (A) ; (B) ; (C) ; (D) 3. Tính , kết quả sai là : (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4. Tính , kết quả là : (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5. Tích phân bằng : (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0. 6. Tích phân bằng : (A) 0 ; (B) –1 ; (C) ln 2 ; (D) 2. 7. Tích phân bằng : (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0. 8. Cho hai tích phân và , hãy chỉ ra khẳng định đúng : (A) ; (B) ; (C) ; (D) Không so sánh được. 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong a) và bằng : (A) 0 ; (B) -4 ; (C) ; (D) 2. b) và bằng : (A) -4 ; (B) 4 ; (C) 0 ; (D) 1. 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng : (A) 0 ; (B) ; (C) ; (D)