Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số I - định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) Ê M với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho Kí hiệu b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho Kí hiệu . Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng . Giải. Ta có Bảng biến thiên x 0 1 y' - 0 + y +Ơ -3 +Ơ Qua bảng biến thiên ta thấy trên khoảng hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy (tại x = 3). Không tồn tại giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng . II - Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 1 Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : a) y = x2 trên đoạn [-3 ; 0] ; b) trên đoạn [3 ; 5]. 1. Định lí Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Ta thừa nhận định lí này. Ví dụ 2 Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx. a) Trên đoạn ; b) Trên đoạn . Giải Hình 9 Từ đồ thị của hàm số y = sinx (H.9), ta thấy ngay : a) Trên đoạn D = ta có : ; ; . Từ đó ; . b) Trên đoạn E = ta có : , , , y(2p) = 0. Vậy ; . 2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn 2 Cho hàm số có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [–2 ; 3] và nêu cách tính. a) Nhận xét Hình 10 Nếu đạo hàm f '(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn. Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+1) mà tại đó bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng . Rõ ràng giá trị lớn nhất ( giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a, b và tại các điểm xi nói trên. b) Quy tắc 1. Tìm các điểm trên [a ; b], tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định. 2. Tính f(a), f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M =, . ỉ Chú ý Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0 ; 1). Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như trong Ví dụ 3 dưới đây. Ví dụ 3 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như Hình 11 để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất. Hình 11 Giải. Gọi x là cạnh của hình vuông bị cắt. Rõ ràng x phải thoả mãn điều kiện 0 < x < . Thể tích của khối hộp là Ta phải tìm sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất. Ta có . V '(x) = 0 Û Bảng biến thiên x 0 V'(x) + 0 - V(x) Từ bảng trên ta thấy trong khoảng hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất : 3 Lập bảng biến thiên của hàm số . Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định. Bài tập Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4 ; 4] và [0 ; 5] ; b) y = x4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0 ; 3] và [2 ; 5] ; c) trên các đoạn [2 ; 4] và [-3 ; -2] ; d) trên đoạn [-1 ; 1]. Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau : a) ; b) y = 4x3 - 3x4. Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau : a) y = ùxù ; b) (x > 0). Bài đọc thêm Cung lồi, cung lõm và điểm uốn 1. Khái niệm về cung lồi, cung lõm và điểm uốn Xét đồ thị ACB của hàm số biểu diễn trên Hình 13. Giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm. Hình 13 Tại mọi điểm của cung, tiếp tuyến luôn luôn ở phía trên của. Ta nói là một cung lồi. Nếu a là hoành độ của điểm A, c là hoành độ của điểm C, thì khoảng (a ; c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị. Tại mọi điểm của cung, tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới của. Ta nói là một cung lõm. Kí hiệu b là hoành độ của điểm B thì khoảng (c ; b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị. Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị. Trên Hình 13, C là một điểm uốn. ỉ Chú ý 1. Tại điểm uốn, tiếp tuyến đi xuyên qua đồ thị. 2. Trong một số giáo trình, nhất là một số giáo trình Giải tích toán học ở Đại học, người ta gọi trên Hình 13 là cung lõm và là cung lồi. 2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn Ta có hai định lí sau đây. Định lí 1 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a ; b). Nếu với mọi thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu với mọi thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó. Định lí 2 Cho hàm số có đạo hàm đến cấp hai trong khoảng (a ; b) và . Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua thì điểm là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. 3. áp dụng Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số : a) ; b) trên [0 ; 2p]. Giải Tập xác định . Ta có ,. Bảng xét dấu y'' -Ơ 0 +Ơ - 0 + Đồ thị của hàm số Lồi Điểm uốn Lõm Vậy đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-Ơ ; 0), lõm trên khoảng (0 ; +Ơ). Điểm O(0 ; 0) là điểm uốn của đồ thị hàm số. b) Ta có , . Bảng xét dấu x 0 p + 0 - Đồ thị của hàm số Lõm Điểm uốn Lồi Vậy trên đoạn đã cho, đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0 ; p), lồi trên khoảng (p ; 2p). Điểm A(p ; 0) là điểm uốn của đồ thị hàm số. Hình 14 Hình 15 Ví dụ 2. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số . Giải. Tập xác định :. , xác định với mọi ; , xác định với mọi . Bảng xét dấu x -Ơ 1 +Ơ y'' - + Đồ thị của hàm số Lồi Lõm Đồ thị không có điểm uốn vì hàm số không xác định tại điểm x = 1. Hình 16