Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài tập hệ phương trình

BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:   3 3 2 2 4 16 1 5 1 x y y x y x         HD: Thay 2 24 5y x  , hệ có 4 nghiệm      0; 2 , 1; 3 , 1;3   VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 8 12 2 12 0 x y x xy y        HD: Thay 2 28 12x y  từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số:    2; 1 , 2;1  VD3. (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 21 1 21 1 x y y y x x           HD: Trừ từng vế, đáp số 2y  VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y x               ĐS:    2;0 , 1; 3  VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:   1 2 2 2 2 2 1 1 2 log 2 y xx x x y             ĐS:   2 17 17 1;2 , ;2 log 9 9       VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 3 2 5 3 3 10 6 6 13 10 x y x y x x y x x x y y                 HD: Từ phương trình thứ hai suy ra 2y x  , thay vào phương trình đầu, đáp số  2; 0x y  VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:  3 3 2 3 7 3 12 6 1 4 1 3 2 4 x y xy x y x x x y x y              HD: Từ phương trình đầu suy ra 1y x  , thay vào PT thứ hai. ĐS  2; 1 Trang 2 VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình: 2 2 0 2 2 x xy x x y y y x x         HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp. ĐS    0;0 , 1;1 VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 2 4 2 0 8 3 4 0 x xy x y x x y x y           HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho 2x . ĐS:      0;0 , 1;1 , 2;1 . VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 2 2 7 7 8 3 13 15 2 1 y xy y x x y x x              ĐS:    3;2 , 3; 2 . VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:      2 2 1 0 1 2 0 x y x y x x y y            ĐS:    0;1 , 1;2 . VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình:       2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y             HD: Cộng vế với vế. ĐS:    0;3 , 1;0 . VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 1 2 2 1 2 3 3 y x x yx y x x x           HD: Từ PT đầu có 2y x y x     . ĐS:  3;2 3 . VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 23 1 3 1 4 6 x x y y y x x y x y             HD: Từ PT đầu có 2 1y x  , thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS:  2;3 . VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình: Trang 3   2 25 3 6 7 4 0 2 3 3 x y y x y y x x             HD: Từ PT thứ hai có 3; 1y y x    . ĐS:    1;2 , 4;5 . VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y         HD: Đưa về PT đẳng cấp. ĐS:     1 1 0;0 , ; , 1;1 2 2       VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình:       2 2 2 3 0 1 3 1 2 2 0 x xy x x y xy x y y               HD: Thế 2 3xy x x    vào PT thứ hai. ĐS:  1;3 VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 27 7 8 9 6 x y y x y y x       ĐS: 3 3 3 3 3 3 7 19 7 26 7 215 ; ; ; 2 ; 2 ; 2 19 7 26 7 215 7                             VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình: 2 2 3 6 1 5 x y x x y x y          ĐS:  2; 2 VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:      2 1 2 17 0 4 32 x xy y x y xy           HD: Từ PT đầu có   2 16x y x   , thay vào PT hai. ĐS:      0;8 ; 2;2 ; 6;2 VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình:    3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 2 2 x y x x y x y y y x y x             HD: Từ PT hai có 2x y . ĐS:   3 3 2 2 0;0 ; log 4;log 2       VD21.(THPT Cổ Loa) Giải hệ phương trình: 2 3 3 5 3 2 2 2 9 9 2 4 x y y x x x y y x x           Trang 4 HD: Từ PT đầu có 3 3 9y x  , kết hợp với PT hai ta có 2 1y x   . ĐS:    1; 2 ; 2; 1  VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình:    3 7 1 2 1 2 4 5 x x y y y x y x y           HD: Từ PT đầu có 3 1 2 y x x y     . ĐS:   17 76 2;1 ; ; 25 25       II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ VD1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 6 3 7 3 6 2 x y y x xy x x y y x y             HD: Đặt ẩn phụ 2 2 3 3 x u x y v y         , đáp số: 1 2 15 2 30 1; ; ; 2 15 15            VD2. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình:     2 2 2 4 1 2 7 2 x x y y x x x y y x           HD: Đặt 2 1 u x y y v x        , đáp số:    2;1 , 5; 2 VD3. (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình:  3 3 2 2 9 3 1 125 45 75 6 y x x y x y        HD: Đặt 3 5 u x v y      , đáp số: 2 1 5 ;5 , ; 3 3 2             VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:     2 22 3 8 1 0 8 3 13 0 x y y x x x y y             HD: Đặt 2 2 3 8 u x y v y x       , ĐS    1;1 , 5; 7  VD5. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:     2 2 5 8 1 3 x y xy y x y x y           Trang 5 HD: Đặt x y a xy x b      , ĐS 3 5 1 5 3 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2                       VD6. (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 2 2 1 3 2 xy x y x y x y       HD: Đặt 1 x a y x b y         . ĐS     11 2;1 2 , 2;1 , 1; 2          VD7. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:      2 2 3 3 14 14 36 x y x y xy x y x y xy          HD: Đặt x y a xy b     . ĐS 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ; , ; 2 2 2 2                   VD8. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 6 1 7 x x y x xy y          HD: Đặt x y a x y b      . ĐS    3;2 , 1;2 VD9. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 12 3 4 16 4 5 5 6 x y xy x y          HD: Đặt 4 4 x y a xy b     . ĐS    3;2 , 1;2 VD10. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 12 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y xy x y xy x y x y x y               HD: Đặt 2 2 3 4 x x u y y v       . ĐS 3 13 3 13 9 21 ;0 , ; 4 , ; 2 , 2 2 6                           VD11. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1 1 1 3 xy xy x y y y x x x           HD: Đặt 1 u x y v      . ĐS  1;0 Trang 6 VD12. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:   22 13 2 4 2 5 3 3 3 6.3 3 2.3 1 2 1 3 3 2 yx y y x y x x y y x               HD: Từ phương trình đầu có 2 1y x  , thay vào PT thứ hai. ĐS   11 9 1;1 , ; 4 2       VD13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 1 1 3 2 4 x y x y x y          VD14. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 5 2 15 5 22 4 15 x y x y x y x y           HD: Đặt 3 5 x y u x y v       . ĐS: 1 58 ; 7 7       VD15. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 3 1 0 8 3 1 0 x x y y xy         HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt t xy . ĐS: 3 3 1 4; 4       III. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ VD1. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:   2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 1 8 2 0 x x y y x y x y x             HD: Từ PT đầu suy ra 0y  , nhân hai vế của PT đầu với 24 1 1y   và thay 22 x x y  ta đưa đến PT: 2 2 1 1 1 1 2 4 1 2y y y x x x      , đến đây sử dụng hàm số . VD2. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 2 2 9 x y x y x x x y y             HD: Sử dụng hàm số khẳng định x y , thay vào PT hai ta có x y ĐS: 1 7 3 x y    VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:     2 2 2 1 2 1 4 2 6 3 1 2 4 8 4 4 x y x y x y x x x x xy                Trang 7 HD: Từ PT thứ nhất có 4 2 1x y  , thay vào PT thứ hai. ĐS: 1 1 ; 2 2       . VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:   3 2 2 33 2 2 1 9 6 3 15 3 6 2 x x y x x y x y x y x              HD: Từ PT thứ nhất có 1 0x y   , thay vào PT thứ hai xét hàm số   3 3f t t t  , biến đổi đến     3 3 1 2 1x x   . ĐS: 3 3 3 2 1 2 ; 2 1 2 1        . VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình: 3 3 23 3 2 1 2 2 x x y y x y           HD: Xét hàm số   3 3 , 1f t t t t   , từ PT thứ nhất suy ra 1x y  . ĐS:  2;3 VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 3 6 3 4 6 10 5 4 x y x x y x y x y y x y                HD: Xét hàm số   3 3f t t t  , từ PT thứ nhất suy ra 1y x  . ĐS:  5; 4 VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình:     3 2 2 2 3 8 4 2 1 13 1 5 7 1 x x x y y x y y y             HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số   3f t t t  , suy ra 2 1 2x y   . ĐS:  2;1 IV. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 4 2 2 4 4 8 x xy y x x y y         ; 2) 3 1 1 4 x y xy x y          ; 3) 3 3 2 2 10 0 1 x y x xy y         ; 4) 3 3 3 3 5 17 x xy y x x y y        ; Trang 8 5) 1 1 9 2 1 5 2 x y x y xy xy            6)     2 2 4 1 1 2 x y x y x x y y y            Bài 2. Giải các hệ phương trình 1) 2 2 1 2 1 2 x y y y x x         ; 2) 1 6 3 1 6 3 x y y x           ; 3) 4 3 4 3 y x y x x y x y         ; 4) 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y         Bài 3. Giải các hệ phương trình: 1) 2 2 2 2 2 4 2 14 x xy x xy y        ; 2)       2 2 2 2 13 25 x y x y x y x y         Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm    2 2 8 1 1 x y x y xy x y m          Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 1x y xy m x y xy m m        