Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài thứ 01: Luỹ thừa

1. Luỹ thừa I - khái niệm Luỹ thừa 1. Luỹ thừa với số mũ nguyên 1 Tính Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số a Với Trong biểu thức , ta gọi a là cơ số, m là số mũ. ỉ Chú ý. và không có nghĩa. Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức Giải. 3 + 1 + 4 = 8. Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức (a ạ 0, a ạ ±1). Giải. Ta có 2. Phương trình 2 Dựa vào đồ thị của các hàm số và (H.26, H.27), hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình và . Hình 27 Hình 26 Đồ thị của hàm số tương tự đồ thị hàm số và đồ thị hàm số tương tự đồ thị hàm số . Từ đó ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình như sau : Trường hợp n lẻ Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất. Trường hợp n chẵn Với b < 0, phương trình vô nghiệm ; Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0 ; Với b > 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3. Căn bậc n Cho số nguyên dương n, phương trình đưa đến hai bài toán ngược nhau : Ÿ Biết a tính b. Ÿ Biết b tính a. Bài toán thứ nhất là tính luỹ thừa của một số. Bài toán thứ hai dẫn đến khái niệm lấy căn của một số. a) Khái niệm Cho số thực b và số nguyên dương n ³ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu Chẳng hạn, 2 và -2 là các căn bậc 4 của 16 ; là căn bậc 5 của Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình , ta có : Với n lẻ, b phương trình có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b ; Với n chẵn b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0; b > 0 : Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là, còn giá trị âm là . b) Tính chất của căn bậc n Từ định nghĩa ta có các tính chất sau. 3 Chứng minh tính chất thứ nhất. Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức : a) ; b) . Giải a) b) . 4. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a dương và số hữu tỉ trong đó . Luỹ thừa của a với số mũ r là số xác định bởi Ví dụ 4. ; ; . Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức . Giải. Theo định nghĩa, ta có . 5. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ ở lớp dưới, ta đã biết số là một số vô tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn : Gọi là số hữu tỉ thành lập từ n chữ số đầu tiên dùng để viết ở dạng thập phân, n = 1, 2, ..., 10. Sử dụng máy tính, ta tính được tương ứng. Ta có bảng ghi các dãy số và với n = 1, 2, ..., 10 sau : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 1,414213 1,4142135 1,41421356 1,414213562 3 4,655536722 4,706965002 4,727695035 4,72873393 4,728785881 4,728801466 4,728804064 4,728804376 4,728804386 Người ta chứng minh được rằng khi thì dãy số dần đến một giới hạn mà ta gọi là . Sử dụng máy tính bỏ túi (có mười chữ số thập phân), ta có . Cho a là một số dương, là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ có giới hạn là và dãy số tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số . Ta gọi giới hạn của dãy số là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là . với . ỉ Chú ý. Từ định nghĩa ta có . II - Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực 4 Hãy nhắc lại các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương. Luỹ thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự luỹ thừa với số mũ nguyên dương. Cho a, b là những số thực dương, a, b là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có : ; ; ; ; ; Nếu a > 1 thì khi và chỉ khi a > b . Nếu a b . Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức (a > 0). Giải. Ta có 5 Rút gọn biểu thức (a > 0). Ví dụ 7. Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các số và Giải. So sánh các số mũ và , ta có Do 12 < 18 nên Vì cơ số 5 lớn hơn 1 nên 6 So sánh các số và . Bài tập Hãy tính : a) ; b) ; c) ; d) Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ : a) ; b) ; c) ; d) Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần : a) ; ; b) ;; Rút gọn các biểu thức sau : a) ; b) ; c) ; d) . 5. Chứng minh rằng : a) ; b) . 2. Hàm số luỹ thừa I - KhÁi NIệM Ta đã biết các hàm số (), Bây giờ, ta xét hàm số với a là số thực cho trước. Hàm số với được gọi là hàm số luỹ thừa. Chẳng hạn, các hàm số là những hàm số luỹ thừa. Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng : ỉ Chú ý Tập xác định của hàm số luỹ thừa tuỳ thuộc vào giá trị của a. Cụ thể, Với a nguyên dương, tập xác định là ; Với a nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ; Với a không nguyên, tập xác định là . II - Đạo hàm của hàm số luỹ thừa ở lớp 11, ta đã biết đạo hàm của các hàm số và là ; hay (x > 0). Một cách tổng quát, người ta chứng minh được hàm số luỹ thừa có đạo hàm với mọi và Ví dụ 1 a) (x > 0) ; b) (x > 0). 2 Tính đạo hàm của các hàm số : ỉ Chú ý Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số luỹ thừa có dạng Ví dụ 2 3 Tính đạo hàm của hàm số III - Khảo sát hàm số luỹ thừa Tập xác định của hàm số luỹ thừa luôn chứa khoảng (0 ; +Ơ) với mọi Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số trên khoảng này (gọi là tập khảo sát). a > 0 a < 0 Tập khảo sát : Sự biến thiên > 0. Giới hạn đặc biệt Tiệm cận Không có 3. Bảng biến thiên Tập khảo sát : Sự biến thiên < 0 Giới hạn đặc biệt Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang, Oy là tiệm cận đứng của đồ thị 3. Bảng biến thiên x 0 +Ơ x 0 +Ơ y' + y' - 0 +Ơ +Ơ 0 4. Đồ thị (H. 28 với ). 4. Đồ thị (H. 28 với ). Đồ thị của hàm số luỹ thừa luôn đi qua điểm (1 ; 1). Trên Hình 28 là đồ thị của hàm số luỹ thừa trên khoảng (0 ; +Ơ) ứng với các giá trị khác nhau của a. Hình 28 ỉ Chú ý Khi khảo sát hàm luỹ thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Dưới đây là đồ thị của ba hàm số : (H. 29a), (H. 29b), (H. 29c). Hình 29 Ví dụ 3. Khảo sát hàm số 1. Tập xác định D = (0 ; +Ơ). 2. Sự biến thiên Đạo hàm : Ta có y' < 0 trên khoảng (0 ; +Ơ) nên hàm số nghịch biến. Tiệm cận : Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung. Bảng biến thiên x 0 +Ơ y' - y +Ơ 0 Hình 30 3. Đồ thị (H.30). Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số luỹ thừa trên khoảng (0 ; +Ơ). a > 0 a < 0 Đạo hàm Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1 ; 1) Bài tập Tìm tập xác định của các hàm số : a) ; b) ; c) ; d) . Tính đạo hàm của các hàm số : a) ; b) ; c) ; d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) ; b) . Hãy so sánh các số sau với 1 : a) ; b) ; c) ; d) Hãy so sánh các cặp số sau : a) và ; b) và ; c) và ; 3 Lôgarit I - Khái niệm lôgarit 1 Tìm x để a) ; b) ; c) ; d) Cho số a dương, phương trình đưa đến hai bài toán ngược nhau : Ÿ Biết a , tính b. Ÿ Biết b , tính a. Bài toán thứ nhất là tính luỹ thừa với số mũ thực của một số. Bài toán thứ hai dẫn đến khái niệm lấy lôgarit của một số. Người ta chứng minh được rằng với hai số dương a, b, a ạ 1 luôn tồn tại duy nhất số a sao cho . 1. Định nghĩa Cho hai số dương a, b với a ạ 1. Số a thoả mãn đẳng thức được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là (a, b > 0, a ạ 1). Ví dụ 1 a) vì b) vì 2 a) Tính b) Có số x, y nào để hay không ? ỉ Chú ý Không có lôgarit của số âm và số 0. 2. Tính chất Cho hai số dương a, b, a ạ 1, ta có các tính chất sau đây. 3 Hãy chứng minh các tính chất trên. Ví dụ 2 a) b) 4 Tính . II - quy tắc tính lôgarit 5 Cho Tính ; và so sánh các kết quả. 1. Lôgarit của một tích Định lí 1 Cho ba số dương a, ; ta có . Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit. Chứng minh. Đặt ta có (1) Mặt khác, vì suy ra . Do đó (2) Từ (1), (2) suy ra Ví dụ 3. Tính Giải. ỉ Chú ý Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của n số dương như sau 6 Tính 2. Lôgarit của một thương 7 Cho Tính và so sánh các kết quả. Định lí 2 Cho ba số dương ; a ạ 1, ta có . Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit. Đặc biệt (b > 0). Định lí 2 được chứng minh tương tự Định lí 1. Ví dụ 4. Tính . Giải 3. Lôgarit của một luỹ thừa Định lí 3 Cho hai số dương a, b; a ạ 1. Với mọi a, ta có . Lôgarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số. Đặc biệt Chứng minh. Đặt thì Do đó . Suy ra hay Ví dụ 5. Tính giá trị các biểu thức : a) ; b) . Giải a) ; b) = III - Đổi cơ số 8 Cho a = 4, b = 64, c = 2. Tính Tìm một hệ thức liên hệ ba kết quả thu được. Định lí 4 Cho ba số dương a, b, c; a ạ 1, c ạ 1, ta có . Đặc biệt . . Chứng minh. Theo tính chất của lôgarit và Định lí 3, ta có Vì nên Do đó IV - ví dụ áp dụng Ví dụ 6. Tính : a) ; b) . Giải a) Ta có . Do đó . b) Vì , nên . Ví dụ 7. Cho . Hãy tính theo a. Giải. Ta có . Suy ra . Vậy . Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức . Giải. Ta có . Ví dụ 9. So sánh các số và . Giải. Đặt , . Ta có nên a > 1, nên . Suy ra . Vậy . V - Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên 1. Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. thường được viết là logb hoặc lgb. 2. Lôgarit tự nhiên Người ta chứng minh được dãy số với có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e . Một giá trị gần đúng của e là 2,718 281 828 459 045. Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. được viết là lnb. ỉ Chú ý Muốn tính , với và , bằng máy tính bỏ túi, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số. Chẳng hạn, Bài tập Không sử dụng máy tính, hãy tính : a) ; b) ; c) ; d) Tính : a) ; b) ; c) ; d) Rút gọn biểu thức : a) b) So sánh các cặp số sau : a) và ; b) và ; c) và a) Cho Hãy tính theo a, b. b) Cho tính theo c. Bạn có biết Ai đã phát minh ra lôgarit ? Nê-pe (John Napier) là nhà toán học Xcốt-len (Scotland). Ông sinh năm 1550 tại Me-ti-ston (Metiston-Casl), gần thành phố E-đin-bua (Edinburgh) và tốt nghiệp trường Đại học Tổng hợp E-đin-bua. Nê-pe là người phát minh ra lôgarit. Thuật ngữ "Lôgarit" do ông đề nghị xuất phát từ sự kết hợp hai từ Hi Lạp lógoV (đọc là "logos" có nghĩa là tỉ số) và 'ariqm óV (đọc là "aritmos" có nghĩa là số). Trong toán học cổ, bình phương, lập phương, ... được gọi là các tỉ số kép, bội ba, v.v... Như vậy đối với Nê-pe từ lógos 'ari qmós có nghĩa là "số tỉ số". Lôgarit được Nê-pe xem là số trợ giúp để tính tỉ số của hai số. Trong tác phẩm "Mô tả bảng lôgarit kì diệu" (1614) Nê-pe đưa ra định nghĩa và các tính chất của lôgarit. Định nghĩa lôgarit của Nê-pe về thực chất tương đương với định nghĩa hàm số lôgarit thông qua phương trình vi phân. Còn tính chất các lôgarit của ông phần nào phức tạp hơn các lôgarit thông thường vì lôgarit của 1 lại khác 0. Tác phẩm "Xây dựng bảng lôgarit kì diệu" (1616) của Nê-pe trình bày những nguyên lí tính toán các bảng lôgarit. Trong các công trình của Nê-pe còn có các bảng lôgarit 8 chữ số của sin, cosin và tang của các góc từ đến cách nhau từng phút. Thời gian bấy giờ người ta lấy là và thường hay nhân với nó nên Nê-pe xây dựng các bảng lôgarit sao cho lôgarit của bằng 0. Lôgarit sin của những góc khác, bé hơn trong các bảng đó đều dương. Nê-pe không đưa vào khái niệm cơ số của lôgarit. Lôgarit của số N của ông trong kí hiệu hiện đại xấp xỉ Cơ số các lôgarit của Nê-pe gần bằng. Thuật ngữ "Lôgarit tự nhiên" do Men-gô-li (P.Mengoli - 1659) và Men-ca-tơ (N.Mencator - 1668) đưa ra. Kí hiệu lnN thay cho lôgarit tự nhiên của số N do Prin-xêm (A.Pringsheim) đưa ra năm 1893. Bởi vậy việc gọi lôgarit tự nhiên là lôgarit Nê-pe không có cơ sở. Tuy nhiên, người ta vẫn thường gọi như vậy có lẽ là do đã gắn lôgarit tự nhiên với tên người thiết lập bảng lôgarit đầu tiên. Ngoài ra Nê-pe còn là tác giả của một loạt các công thức dành cho việc giải các tam giác cầu, rất tiện lợi cho việc lấy lôgarit. Ngày 4-4-1617, Nê-pe qua đời tại chính quê hương mình. 4 Hàm số mũ. Hàm số lôgarit I - Hàm số mũ Ví dụ 1. Bài toán "lãi kép". Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? Giải. Giả sử , đặt P = 1, r = 0,07. Ÿ Sau năm thứ nhất Tiền lãi là (triệu đồng). Số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích luỹ) là : (triệu đồng). Ÿ Sau năm thứ hai Tiền lãi là (triệu đồng). Vốn tích luỹ là (triệu đồng) Ÿ Tương tự, vốn tích luỹ sau n năm là (triệu đồng). Vậy sau n năm người đó được lĩnh (1,07)n triệu đồng. 1 Tìm số tiền người đó được lĩnh sau 5 năm, sau 7 năm. (bỏ hoạt động này !) Ví dụ 2. Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức , trong đó là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). 2 Cho biết chất iôt phóng xạ dùng trong y tế có chu kì bán rã là 8 ngày đêm. Hãy tính xem, sau 8 tuần lễ 100 gam chất này còn lại bao nhiêu ? (bỏ hoạt động này !) Ví dụ 3. Dân số thế giới được ước tính theo công thức trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. 3 Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi năm 2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi ? (Đổi thành hoạt động 1) Những bài toán thực tế như trên đưa đến việc xét các hàm số có dạng 1. Định nghĩa Cho a là số thực dương, khác 1. Hàm số được gọi là hàm số mũ cơ số a. 4 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ, với cơ số bao nhiêu a) ; b) ; c) ; d) ? ( Đổi thành hoạt động 2) 2. Đạo hàm của hàm số mũ Ta thừa nhận công thức (1) Định lí 1 Hàm số có đạo hàm tại mọi x và . Chứng minh. Giả sử Dx là số gia của x, ta có . Do đó áp dụng (1), ta có . Từ đó suy ra ỉ Chú ý Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số có dạng (trong đó u là hàm số theo biến x). Định lí 2 Hàm số có đạo hàm tại mọi x và . Chứng minh. Ta có . Đặt theo Chú ý trên, ta được ỉ Chú ý Đối với hàm hợp ta có Ví dụ 4. Hàm số có đạo hàm là 3. Khảo sát hàm số mũ (a > 0, a ạ 1) a > 1 0<a < 1 Tập xác định : Sự biến thiên Giới hạn đặc biệt Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang, 3. Bảng biến thiên Tập xác định : Sự biến thiên Giới hạn đặc biệt Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang, 3. Bảng biến thiên x -Ơ 0 1 +Ơ y' + 0 1 a +Ơ 4. Đồ thị (H.31) Hình 31 x -Ơ 0 1 +Ơ y' - +Ơ 1 a 0 Hình 32 4. Đồ thị (H.32) Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ Tập xác định Đạo hàm Chiều biến thiên a > 1 : hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang Đồ thị đi qua các điểm (0 ; 1) và (1 ; a), nằm phía trên trục hoành II - Hàm số lôgarit 1. Định nghĩa Cho a là số thực dương, khác 1. Hàm số được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. Ví dụ 4. Các hàm số là những hàm số lôgarit với cơ số lần lượt là 3, e và 10. 2. Đạo hàm của hàm số lôgarit Ta có định lí sau. Định lí 3 Hàm số (a > 0, a ạ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và . Đặc biệt ỉ Chú ý Đối với hàm hợp ta có . Ví dụ 5. Hàm số có đạo hàm là . 5 Tìm đạo hàm của hàm số (Đổi thành hoạt động 3) 3. Khảo sát hàm số lôgarit (a > 0, a ạ 1) a > 1 0<a < 1 Tập xác định : Sự biến thiên > 0 Giới hạn đặc biệt Tiệm cận Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên Tập xác định : Sự biến thiên < 0 Giới hạn đặc biệt Tiệm cận Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên x 0 1 a +Ơ y' + -Ơ 0 1 +Ơ 4. Đồ thị (H.33) Hình 34 x 0 a 1 +Ơ y' - +Ơ 1 0 -Ơ 4. Đồ thị (H.34) Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số Tập xác định (0 ;) Đạo hàm Chiều biến thiên a > 1 : hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Oy là tiệm cận đứng Đồ thị đi qua các điểm (1 ; 0) và (a ; 1) ; nằm phía bên phải trục tung Dưới đây là đồ thị của các hàm số: (H. 35) ; (H. 36). Hình 35 Hình 36 6 Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số trên Hình 35, Hình 36. (Đổi thành hoạt động 4) Nhận xét. Đồ thị của các hàm số y = ax và đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Bảng đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit Hàm sơ cấp Hàm hợp Bài tập 1. Vẽ đồ thị của các hàm số : a) ; b) . 2. Tính đạo hàm của các hàm số : a) ; b) ; c) . Tìm tập xác định của các hàm số : a) ; b) ; c) ; d) . Vẽ đồ thị của các hàm số : a) ; b) . 5. Tính đạo hàm của các hàm số : a) ; b) ; c) . 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit I - Phương trình mũ Bài toán Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? Giải. Gọi số tiền gửi ban đầu là P. Sau n năm, số tiền thu được là . Để thì phải có Do đó Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n = 9. Vậy, muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 9 năm. Những bài toán thực tế như trên đưa đến việc giải các phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa. Ta gọi đó là các phương trình mũ. Chẳng hạn, các phương trình , là những phương trình mũ. 1. Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản có dạng . Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa lôgarit. Với b > 0, ta có . Với , phương trình vô nghiệm. Minh hoạ bằng đồ thị Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số và là nghiệm của phương trình . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị . Rõ ràng, nếu thì hai đồ thị không cắt nhau. Nếu b > 0 ta có hai hình 37 và 38. Hình 37 Hình 38 Kết luận Phương trình có nghiệm duy nhất vô nghiệm Ví dụ 1. Giải phương trình . Giải. Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được hay Vậy 2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình mũ. a) Đưa về cùng cơ số 1 Giải phương trình bằng cách đưa về dạng và giảI phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình . Giải. Đưa hai vế về cùng cơ số ta được . Do đó Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Đặt ẩn phụ Ví dụ 3. Giải phương trình . Giải. Đặt ta có phương trình Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm Chỉ có nghiệm thoả mãn điều kiện t > 0. Vậy do đó x = 2. 2 Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ c) Lôgarit hoá Ví dụ 4. Giải phương trình Giải. Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta được . Từ đó ta có Û . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và II - Phương trình lôgarit Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Chẳng hạn, các phương trình , là những phương trình lôgarit. Phương trình lôgarit cơ bản 3 Bằng định nghĩa, hãy tính x, biết rằng . Phương trình lôgarit cơ bản có dạng Theo định nghĩa lôgarit, ta có . Minh hoạ bằng đồ thị Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục toạ độ (H. 39 và H. 40). Hình 39 Hình 40 Trong cả hai trường hợp ta đều thấy đồ thị của các hàm số và đường thẳng y = b cắt nhau tại một điểm với mọi Kết luận Phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi b. 2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình lôgarit. a) Đưa về cùng cơ số 4 Cho phương trình . Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số. Ví dụ 6. Giải phương trình . Giải. Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được Û Û . Đây là phương trình lôgarit cơ bản. Vậy b) Đặt ẩn phụ 5 Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ . Ví dụ 7. Giải phương trình . Giải. Để phương trình có nghĩa, ta phải có x > 0, và Đặt ta được phương trình . Từ đó ta có phương trình Û Û Giải phương trình bậc hai theo t, ta được hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện t ạ 5, t ạ -1. Vậy nên 6 Giải phương trình c) Mũ hoá Ví dụ 8. Giải phương trình Giải. Theo định nghĩa, phương trình đã cho tương đương với phương trình Phép biến đổi này thường được gọi là mũ hoá. Từ đó ta có . Bài tập Giải các phương trình mũ : a) ; b) ; c) ; d) Giải các phương trình mũ : a) ; b) ; c) ; d) Giải các phương trình lôgarit : a) ; b) ; c) ; d) Giải các phương trình lôgarit : a) ; b) ; c) Đ6. bất phương trình mũ và Lôgarit I - Bất phương trình mũ 1. Bất phương trình mũ cơ bản Bất phương trình mũ cơ bản có dạng (a > 0, a ạ 1) (hoặc ). Ta xét bất phương trình dạng . Ÿ Nếu b Ê 0, tập nghiệm của bất phương trình là , vì . Ÿ Nếu b > 0 : Với a > 1, Û Û . Với 0 < a < 1, Û Û . Ví dụ 1 a) ; b) . Minh hoạ bằng đồ thị Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục toạ độ. Hình 41 Hình 42 Trong trường hợp a > 1 ta nhận thấy Ÿ Nếu b Ê 0 thì với mọi x. Ÿ Nếu b > 0 thì với (H. 41). Trường hợp 0 < a < 1, ta có Ÿ Nếu b Ê 0 thì với mọi x. Ÿ Nếu b > 0 thì với (H. 42). Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình được cho trong bảng sau : Tập nghiệm a > 1 0 < a < 1 b Ê 0 b > 0 1 Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình 2. Cách giảI một số bất phương trình mũ đơn giản a) Lôgarit hoá Ví dụ 2. Giải bất phương trình . Giải. Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc, giải bất phương trình này ta được -1 < x < 2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (-1 ; 2). b) Đặt ẩn phụ Ví dụ 3. Giải bất phương trình Giải. Chia hai vế của bất phương trình cho ta được . Đặt (t > 0), ta có bất phương trình hay Giải bất phương trình này với điều kiện t > 0, ta được 0 < t < 2. Do đó . Vì cơ số nhỏ hơn 1 nên Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . 2 Giải bất phương trình II - Bất phương trình lôgarit 1. Bất phương trình lôgarit cơ bản Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng (a > 0, a ạ 1) (hoặc ). Xét bất phương trình . Trường hợp , ta có . Trường hợp , ta có . Ví dụ 4 a) . b) . Minh họa bằng đồ thị Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục toạ độ (H. 43, H. 44). Hình 43 Hình 44 Quan sát đồ thị, ta thấy : Trường hợp a > 1: khi và chỉ khi Trường hợp 0 < a < 1: khi và chỉ khi Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được cho trong bảng sau : a > 1 0 < a < 1 Nghiệm 3 Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình 2. Một số bất phương trình lôgarit đơn giản Ví dụ 5. Giải bất phương trình . Giải. Điều kiện của bất phương trình đã cho là Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình . Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (-2 ; 1). Ví dụ 6. Giải bất phương trình . Giải. Điều kiện của bất phương trình là x > 3. Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên . Giải bất phương trình này ta tìm được Kết hợp điều kiện x > 3, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 4 Giải bất phương trình Bài tập Giải các bất phương trình mũ : a) ; b) ; c) ; d) . Giải các bất phương trình lôgarit : a) ; b) ; c) ; d) . Ôn tập chương II Hãy nêu các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực. Hãy nêu các tính chất của hàm số luỹ thừa. Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit. Tìm tập xác định của các hàm số : a) ; b) ; c) ; d) Biết hãy tính Cho Hãy tính với : a) ; b) Giải các phương trình : a) ; b) ; c) ; d) e) ; f) Giải các bất phương trình : a) ; b) ; c) ; d) Bài tập trắc nghiệm 1. Tập xác định của hàm số là : Tập xác định của hàm số là : (A) ; (B) (1 ; 2) ; (C) ; (D) 2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau : (A) Û ; (B) Û ; (C) Û (D) Û a = b > 0. 3. Cho hàm số Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : (A) f '(2) = 1 ; (B) f '(2) = 0 ; (C) f '(5) = 1,2 ; (D) f '(-1) = -1,2. 4. Cho hàm số Nghiệm của bất phương trình là : (A) x > 3 ; (B) x 3 ; (C) 2 < x < 3 ; (D) x < 2. 5. Trong các hàm số : , , , hàm số nào có đạo hàm là ? (A) chỉ f(x) ; (B) chỉ g(x) ; (C) chỉ h(x) ; (D) g(x) và h(x). 6. Số nghiệm của phương trình là : (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3. 7. Nghiệm của phương trình là : (A) 0 ; (B) ; (C) ; (D) .