Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài thứ 1: Số phức

chương IV - số phức 1. Số phức 1. Số i Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy 2. Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi ; , được gọi là một số phức. Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. Tập hợp các số phức kí hiệu là Ví dụ 1. Các số sau là những số phức : 2 + 5i ; (còn viết là ; (còn viết là . 1 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau : 1 + 0i. 3. Số phức bằng nhau Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết Giải. Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có và Suy ra x = 1 và y = 3. ỉ Chú ý Ÿ Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có Ÿ Số phức được gọi là số ảo và viết đơn giản là bi . Đặc biệt . Số i được gọi là đơn vị ảo. 2 Viết số phức z có phần thực bằng phần ảo bằng 4. Biểu diễn hình học số phức Như trên đã thấy, mỗi số phức hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (a ; b). Hình 76 Điểm M(a ; b) trong một hệ toạ độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi (H.76). Ví dụ 3. (H.77) Điểm A biểu diễn số phức 3 + 2i ; Điểm B biểu diễn số phức 2 – 3i ; Điểm C biểu diễn số phức –3 – 2i; Điểm D biểu diễn số phức 0 + 3i . Hình 77 3 a) Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ các số phức sau : 3 - 2i, -4i, 3. b) Các điểm biểu diễn số thực, số ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng toạ độ ? 5. Môđun của số phức Hình 78 Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng toạ độ (H.78). Độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|. Vậy hay . Dễ thấy Ví dụ 4 4 Số phức nào có môđun bằng 0 ? 6. Số phức liên hợp 5 Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng toạ độ và nêu nhận xét : Ÿ và Ÿ và Cho số phức Ta gọi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là Ví dụ 5 Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn z và đối xứng với nhau qua trục Ox (H.79). 6 Cho . a) Hãy tính và Nêu nhận xét. Hình 79 b) Tính và Nêu nhận xét. Từ định nghĩa ta có : Ÿ Ÿ Bạn có biết Các-đa-nô (Girolamo cardano) Girolamo Cardano (1501 - 1576) Các-đa-nô là một nhà bác học người I-ta-li-a. Ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách "Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số". Trong cuốn sách này, ông trình bày cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này. Bài tập Tính phần thực và phần ảo của số phức z, biết : a) ; b) ; c) ; d) Tìm các số thực x và y, biết : a) ; b) ; c) Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện : a) Phần thực của z bằng -2 ; b) Phần ảo của z bằng 3 ; c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1 ; 2) ; d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1 ; 3] ; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2 ; 2]. Tính , với a) ; b) ; c) ; d) Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện : a) ; b) ; c) ; d) và phần ảo của z bằng 1. Tìm biết : a) ; b) ; c) z = 5 ; d) 2. Cộng, trừ và nhân số phức 1. Phép cộng và phép trừ 1 Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính : ; . Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức. Ví dụ 1 Tổng quát 2. Phép nhân 2 Theo quy tắc nhân đa thức, với chú ý ‏‎ hãy tính Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay trong kết quả nhận được. Ví dụ 2 ; Tổng quát Vậy Bài tập Thực hiện các phép tính sau: a) ; b) ; c) ; d) Tính với : a) ; b) ; c) ; d) Thực hiện các phép tính sau : a) ; b) ; c) ; d) Tính Nêu cách tính với n là một số tự nhiên tuỳ ‏‎ý. Tính : a) ; b) 3 Phép chia số phức 1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp 1 Cho z = 2 + 3i. Hãy tính và Nêu nhận xét. Cho số phức Ta có Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó. Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó. Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực. 2. Phép chia hai số phức Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho c + di = (a + bi)z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là . Ví dụ 1. Thực hiện phép chia 4 + 2i cho 1 + i. Giải. Giả sử . Theo định nghĩa, ta có (1 + i)z = 4 + 2i. Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i, ta được (1 – i)(1 + i)z = (1 – i)(4 + 2i) suy ra 2.z = 6 – 2i hay . Vậy Tổng quát, giả sử Theo định nghĩa, ta có (a + bi)z = c + di. Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a +bi, ta được (a – bi) (a + bi)z = (a – bi)(c + di) hay (a2 + b2)z = (ac + bd) + (ad – bc)i. Nhân cả hai vế với số thực ta được . Vậy ỉ Chú ý Trong thực hành, để tính thương , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi. Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 3 + 2i cho 2 + 3i. Giải Thực hiện các phép chia sau : ; Bài tập 1. Thực hiện các phép chia sau : a) ; b) ; c) ; d) Tìm nghịch đảo của số phức z : a) z = ; b) z = ; c) z = i ; d) z = Thực hiện các phép tính sau : a) ; b) ; c) ; d) 4. Giải các phương trình sau : a) b) c) 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực 1. Căn bậc hai của số thực âm 1 Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ? Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức , ta nói i là một căn bậc hai của -1. Cũng vậy, -i cũng là một căn bậc hai của -1, vì . Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn : Căn bậc hai của -2 là , vì ; Căn bậc hai của -3 là , vì ; Căn bậc hai của -4 là , vì . Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a < 0 là . 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai với a, b, c ẻ, a ạ 0. Xét biệt số của phương trình. Ta thấy: Khi , phương trình có một nghiệm thực x = ; Khi , có hai căn bậc hai (thực) của là và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức ; Khi phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của . Tuy nhiên, trong trường hợp , nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai ảo của là . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức . Ví dụ. Giải phương trình trên tập hợp số phức. Ta có = 1 - 4 = -3. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là . Nhận xét. Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt). Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n 1 , trong đó a0, a1, , an , a0 0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt). Đó là định lí cơ bản của Đại số học. bài tập 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau : -7 ; -8 ; -12 ; -20 ; -121. 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a) b) ; c) . 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a) ; b) . 4. Cho a, b, c ẻ , a ạ 0, là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình . Hãy tính và theo các hệ số a, b, c. 5. Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và làm nghiệm. Bài đọc thêm Phương trình đại số Phương trình đại số là phương trình dạng , trong đó n là một số nguyên dương, ..., là các số đã cho và được gọi là các hệ số của phương trình, x là ẩn số và là số phải tìm. Nếu thì n là bậc của phương trình. Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số và tìm công thức tính nghiệm của nó đã thu hút công sức của nhiều nhà toán học, trong nhiều thế kỉ. Chính từ những nghiên cứu đó đã ra đời ngành Đại số và thúc đẩy sự phát triển của nhiều lĩnh vực toán học khác. Từ 2000 năm trước Công nguyên, người Ai Cập và người Babilon cổ đã biết giải các phương trình bậc nhất và một số trường hợp riêng của các phương trình bậc hai và bậc ba. Lí thuyết giải phương trình bậc hai được trình bày lần đầu tiên trong cuốn sách "Số học" của nhà bác học cổ Hi Lạp Đi-ô-phăng (Diophantus) thế kỉ III. Cần chú ý rằng vấn đề có nghiệm của phương trình đại số luôn gắn với sự mở rộng các tập hợp số. Chẳng hạn, phương trình x + 3 = 0 không có nghiệm trong tập hợp số tự nhiên, nhưng có nghiệm trong tập hợp các số nguyên Z. Phương trình 3x + 2 = 0 không có nghiệm trong tập hợp các số nguyên Z, nhưng có nghiệm trong tập hợp các số hữu tỉ. Tổng quát, trên tập hợp các số hữu tỉ mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm. Nhờ việc mở rộng từ tập hợp các số hữu tỉ sang tập hợp các số thực , một lớp các phương trình bậc hai dạng với biệt số có nghiệm. Công thức xác định nghiệm của phương trình bậc hai đã được biết từ thế kỉ thứ VI và điều đó thúc đẩy các nhà toán học đi tìm công thức tính nghiệm của các phương trình bậc ba, bậc bốn,... Tuy nhiên, phải mười thế kỉ sau (thế kỉ XVI) công thức tính nghiệm của phương trình bậc ba và thuật toán giải phương trình bậc bốn mới được các nhà toán học I-ta-li-a tìm ra. Nghiệm của phương trình bậc ba (*) được cho bởi công thức sau (thường gọi là công thức Các-đa-nô) : . Các-đa-nô đã công bố công thức này năm 1545, trong quyển sách "Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số". Lẽ tự nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng là không âm. Đại lượng D cũng được gọi là biệt số của phương trình (*). Tuy nhiên, dễ chỉ ra những phương trình bậc ba với biệt số D < 0, mà vẫn có nghiệm thực. Chẳng hạn, xét phương trình . Phương trình này có ba nghiệm là -3, 1, 2 nhưng biệt số . Điều đó dẫn đến việc thừa nhận rằng biểu thức là có nghĩa và các giá trị của nó là -3, 1, 2, mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của một số thực âm. Như chúng ta đã thấy, sự thừa nhận có các căn bậc hai của số thực âm, bắt đầu từ việc đặt đã dẫn đến sự ra đời của tập hợp các số phức. Đồng thời với việc sáng tạo ra các số phức, người ta chứng minh được rằng mọi phương trình đại số bậc n ³ 1 với hệ số phức đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt). Như vậy, việc mở rộng các tập hợp số gắn với vấn đề có nghiệm của các phương trình đại số đã dừng ở tập hợp các số phức. Tuy nhiên, các nhà toán học vẫn theo đuổi bài toán tìm công thức nghiệm dưới dạng biểu thức chứa căn thức cho các phương trình bậc lớn hơn hoặc bằng 5. Gần 300 năm sau khi tìm ra công thức Các-đa-nô, nhà toán học Na Uy A-ben (Abel) năm 1826 đã chứng minh được rằng không có một công thức nghiệm như vậy cho các phương trình bậc lớn hơn hoặc bằng năm với hệ số bằng chữ. Hơn nữa, nhà toán học Pháp Ga-loa (Galois), năm 1830 còn giải được trọn vẹn bài toán : "Trong những điều kiện nào, một phương trình đại số giải được bằng căn thức ?". Công trình thiên tài của Ga-loa đặt nền móng cho sự phát triển của Đại số hiện đại. Ôn tập chương IV Số phức thoả mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 84 a, b, c) ? Hình 84 Thế nào là phần thực, phần ảo, môđun của một số phức ? Viết công thức tính môđun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó. Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực. Thế nào là số phức liên hợp của số phức z ? Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó ? Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện : a) Phần thực của z bằng 1 ; b) Phần ảo của z bằng -2 ; c) Phần thực của z thuộc đoạn [-1 ; 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0 ; 1] ; d) ; e) Tìm các số thực x, y sao cho : a) ; b) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo của z không vượt quá môđun của nó. Thực hiện các phép tính sau : a) ; b) ; c) ; d) Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) ; b) Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) ; b) ; c) . 11. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. 12. Cho . Biết rằng và là hai số thực. Chứng tỏ rằng là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Bài tập trắc nghiệm Số nào trong các số sau là số thực ? (A) ; (B) ; (C) ; (D). Số nào trong các số sau là số ảo ? (A) ; (B) ; (C) ; (D). Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng ? (A) ; (B) ; (C) ; (D). Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng ? (A) ; (B) ; (C) ; (D). Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng ? (A) ; (B) ; (C) z là một số ảo ; (D).