Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài thứ 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chương I ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 1 sự đồng biến, nghịch biến của hàm số I - Tính đơn điệu của hàm số 1 Từ đồ thị (H.1; H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn và của hàm số trên Hình 1 Hình 2 1. Nhắc lại định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là : < f() <. Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp thuộc K mà nhỏ hơn thì lớn hơn , tức là : < . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta thấy a) f(x) đồng biến trên K > 0 ; f(x) nghịch biến trên K < 0 . b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (H.3a); Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (H.3b). a) Hình 3 b) 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm 2 Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng : a) (H.4a) b) (H.4b) x -Ơ 0 +Ơ y' y -Ơ 0 -Ơ x -Ơ- 0 +Ơ y' 0 +Ơ y +Ơ -Ơ 0 Hình 4 a) b) Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng. Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm. Ta thừa nhận định lí sau. Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K a) Nếu với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. Tóm lại, trên K Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số : a) y = ; b) y = sinx (trên (0 ; 2p)). Giải TXĐ : . . Ta có bảng biến thiên x -Ơ 0 +Ơ y' - 0 + y +Ơ 1 +Ơ Vậy hàm số y = + 1 nghịch biến trên khoảng (-Ơ ; 0), đồng biến trên khoảng (0 ; +Ơ). TXĐ : . Ta có bảng biến thiên x 0 p 2p + 0 - - 0 + y = sinx 0 1 -1 0 Vậy hàm số y = sinx đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên khoảng 3 Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ? Xét, chẳng hạn, hàm số y = (H.5). Hình 5 ỉ Chú ý Người ta đã chứng minh định lí mở rộng sau đây. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu () và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = . Giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x ẻ . Ta có y' = Do đó y' = 0 x = -1 và y' > 0 với mọi x ạ -1. Theo định lí trên hàm số luôn luôn đồng biến. II - Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm 1. Quy tắc 1. Tìm tập xác định. Tính f '(x). 2. Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định. 3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. áp dụng Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số . Giải. Hàm số xác định với mọi x ẻ . Tính đạo hàm y' = x2 - x - 2, y' = 0 Û Lập bảng biến thiên x -Ơ -1 2 +Ơ y' + 0 - 0 + y -Ơ +Ơ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-Ơ ; -1) và (2 ; +Ơ), nghịch biến trên khoảng (-1 ; 2). Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số . Giải. Hàm số xác định với mọi x ạ -1. y' không xác định tại x = -1. Bảng biến thiên x -Ơ -1 +Ơ y' + + y 1 +Ơ -Ơ 1 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-Ơ ; -1) và (-1 ; +Ơ). Ví dụ 5. Chứng minh rằng x > sin x trên khoảng (0 ;) bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = . Giải. Xét hàm số f(x) = (0 < x <), ta có đồng biến trên khoảng (0 ;). Vì nên với 0 sin x trên khoảng (0 ;). Bài tập Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số : a) y = 4 + 3x - x2 ; b) y = ; c) y = ; d) . Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số : a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = . Chứng minh rằng hàm số y = đồng biến trên khoảng (-1 ; 1) ; nghịch biến trên các khoảng (-Ơ ; -1) và (1 ; +Ơ). Chứng minh rằng hàm số y = đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2). Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) tan x > x ; b) tanx > x + . Bài đọc thêm Tính chất đơn điệu của hàm số Ta có thể dễ dàng chứng minh điều kiện đủ về tính chất đơn điệu của hàm số. Định lí La-grăng Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c ẻ (a ; b) sao cho hay . Minh hoạ hình học : Nếu hàm số f(x) thoả mãn các giả thiết của định lí La-grăng thì trên đồ thị tồn tại điểm C mà tiếp tuyến tại đó song song với dây cung AB (H. 6). Hình 6 Hệ quả Nếu F '(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a ; b) thì F(x) bằng hằng số trên khoảng đó. Chứng minh. Xét điểm cố định Với mỗi các giả thiết của định lí La-grăng được thoả mãn trên đoạn (hoặc ). Do đó tồn tại điểm (hoặc ) sao cho Vì nên Vì vậy hay trên toàn khoảng (a ; b). Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). a) Nếu f'(x) > 0 với mọi x ẻ (a ; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó ; b) Nếu f' (x) < 0 với mọi x ẻ (a ; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Chứng minh. Lấy hai điểm bất kì trên khoảng (a ; b). Vì f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) nên f(x) liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng áp dụng định lí La-grăng cho hàm số f(x) trên đoạn , tồn tại một điểm sao cho . a) Nếu f '(x) > 0 với mọi x ẻ (a ; b) thì f '(c) > 0 nên Do đó, f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b). b) Nếu f '(x) < 0 với mọi x ẻ (a ; b) thì f '(c) < 0 nên Do đó, f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b). Bạn có biết La-grăng (Lagrange) La-grăng là nhà toán học Pháp, xuất thân trong một gia đình giàu có, nhưng trở nên khánh kiệt khi ông tưởng như sắp được thừa kế gia sản. Tuy nhiên, về sau ông xem tai hoạ này là một điều may mắn. Ông nói : "Nếu được thừa kế một tài sản thì chắc là tôi không dành đời mình cho toán học". Ông nội La-grăng là người Pháp, bà nội là người I-ta-li-a. Cả gia đình ông định cư ở Tu-rin (thủ phủ của xứ Pi-ê-mông (Piémont) thuộc I-ta-li-a). La-grăng được cử làm giáo sư toán học ở Trường Pháo binh Hoàng gia Tu-rin năm 19 tuổi. Tất cả các học trò đều lớn tuổi hơn ông. Cùng với những học trò ưu tú của mình, La-grăng đã lập ra Hội nghiên cứu, tiền thân của Viện Hàn lâm khoa học Tu-rin. Tập báo cáo đầu tiên của Hội xuất hiện năm 1759 khi ông 23 tuổi. Phần lớn những công trình tốt nhất công bố trong tập san đầu này là của La-grăng, dưới nhiều bút danh khác nhau. ở tuổi 23, La-grăng được coi là nhà toán học ngang hàng với những nhà toán học lớn nhất thời bấy giờ là Ơ-le (Euler) và các nhà toán học họ Béc-nu-li (Bernoulli). Theo lời giới thiệu của Ơ-le, ngày 2-10-1760, khi mới 24 tuổi, La-grăng được bầu làm Viện sĩ nước ngoài của Viện hàn lâm khoa học Bec-lin. Về sau, Ơ-le và Đa-lăm-be (D'Alembert) còn vận động vua nước Phổ mời La-grăng sang Béc-lin làm nhà toán học của Triều đình. Năm 1764, lúc 28 tuổi, La-grăng được giải thưởng lớn về bài toán bình động của Mặt Trăng (là bài toán lí giải vì sao khi chuyển động, Mặt Trăng luôn luôn quay một mặt về phía Trái Đất). Các năm 1766, 1772, La-grăng liên tiếp nhận được các giải thưởng của Viện Hàn lâm khoa học Pa-ri về các bài toán 6 vật thể, 3 vật thể. Ngày 6-11-1776, La-grăng được vua nước Phổ - "vị vua lớn nhất châu Âu" - đón tiếp nồng nhiệt và được cử làm Giám đốc Ban Toán Lí của Viện Hàn lâm Bec-lin. Năm 1787, Hoàng gia và Viện Hàn lâm Pa-ri đón tiếp nồng hậu nhà toán học lớn La-grăng trở về và cấp cho ông một căn hộ đầy đủ tiện nghi trong điện Lu-vrơ (Louvre, nay là viện bảo tàng lớn ở Pa-ri). Năm 1788, ở tuổi 52, ông công bố kiệt tác của đời ông, bộ "Cơ học giải tích", đề tài mà ông ấp ủ từ lúc 19 tuổi. Nhờ sự can thiệp của La-grăng người ta đã không thừa nhận 12 thay cho 10 để làm cơ số cho mét hệ. Ông lập gia đình hai lần. Bà vợ đầu mất sớm vì đau yếu. ở tuổi ngoài 50, La-grăng sống cô đơn, sầu muộn. Năm 56 tuổi, ông được một thiếu nữ, con bạn ông là nhà thiên văn học Lơ-mô-ni-ê (Lemonier), yêu và ngỏ lời muốn kết hôn với ông. La-grăng nhận lời. Cô đã dành cả cuộc đời trẻ trung, tươi đẹp của mình để chăm sóc ông, kéo ông ra khỏi u sầu, thức tỉnh nơi ông lòng ham sống. Ông yêu tha thiết và cảm thấy khổ sở mỗi khi phải tạm xa bà. Ông khẳng định rằng bà vợ trẻ dịu dàng, tận tuỵ là giải thưởng quý báu nhất trong mọi giải thưởng của đời ông. La-grăng được toàn thể nhân dân Pháp tôn vinh. Có lần, Ta-lê-grăng (Tallegrand), một vị tướng, đã nói với cha ông : "Con ông, người con của nhân dân Pháp, sinh ra ở Pi-ê-mông, đã làm vinh dự cho toàn thể nhân loại bởi thiên tài của mình". La-grăng mất ngày 10-4-1813, thọ 77 tuổi. 2. cực trị của hàm số I - Khái niệm cực đại, cực tiểu 1 Dựa vào đồ thị (H.7 ; H.8), hãy chỉ ra điểm tại đó các hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) : a) y = -x2 + 1 trong khoảng ; b) y = (x – 3)2 trong các khoảng và . Hình 7 Hình 8 Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây. x -Ơ 0 +Ơ y' y -Ơ 1 -Ơ x -Ơ 1 3 +Ơ y' y -Ơ 0 +Ơ Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là -Ơ ; b là +Ơ) và điểm x0 ẻ (a ; b). a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x ẻ (x0 - h ; x0 + h) và x ạ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x ẻ - h ; + h) và x ạ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại ỉ Chú ý 1. Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là , còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị. 2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số. 3. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và . Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì = 0. 2 Giả sử f(x) đạt cực đại tại . Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý ở trên bằng cách lấy giới hạn tỉ số trong hai trường hợp > 0 và < 0. II - Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 3 a) Qua đồ thị, xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không ? Ÿ y = -2x + 1 ; Ÿ (H.8). b) Nêu mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm. Ta thừa nhận định lí sau đây. Định lí 1 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{ x0}. a) Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 - h ; x0) và f '(x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f '(x) 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). x x x0 - h x0 x0 + h f '(x) - + f(x) f(CT) x0 - h x0 x0 + h f’(x) + - f(x) f(CĐ) Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) = -x2 + 1. Giải. Ta có f '(x) = -2x ; f '(x) = 0 Û x = 0. Bảng biến thiên x -Ơ 0 +Ơ f '(x) + 0 - f(x) -Ơ 1 -Ơ Từ bảng biến thiên suy ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số và đồ thị của hàm số có một điểm cực đại (0 ; 1) (H.7). Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số . Giải. Ta có y' = 3 -2 x - 1 ; y' = 0 Bảng biến thiên x -Ơ - 1 +Ơ y' + 0 - 0 + y -Ơ 2 +Ơ Từ bảng biến thiên suy ra x = – là điểm cực đại, x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho. Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số Giải. Hàm số không xác định tại x = -1. Đạo hàm của hàm số là . Ta có y’ > 0 "x ạ -1. Vậy theo Chú ý 3 , hàm số đã cho không có cực trị. 4 Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ? III - Quy tắc tìm cực trị áp dụng Định lí 1, ta có quy tắc tìm cực trị sau đây. Quy tắc I 1. Tìm tập xác định. Tính f '(x). 2. Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định. 3. Lập bảng xét dấu đạo hàm. 4. Từ bảng xét dấu đạo hàm suy ra các điểm cực trị. 5 áp dụng quy tắc I trên, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng . Khi đó : a) Nếu , thì x0 là điểm cực tiểu ; b) Nếu , thì x0 là điểm cực đại. Ta thừa nhận định lí này. áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số. Quy tắc II 1. Tìm tập xác định. Tính f '(x). 2. Giải phương trình f '(x) = 0 và kí hiệu (i = 1, 2, ...) là các nghiệm của nó. 3. Tìm f "(x) và tính 4. Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của điểm . Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số . Giải. Hàm số xác định với mọi x ẻ . f '(x) = ; ị x1 = 0, x2 = -2, x3 = 2. f ''(x) = 3x2 - 4. f ''(± 2) = 8 > 0 ị x2,3 = ± 2 là hai điểm cực tiểu ; f ''(0) = -4 < 0 ị x1 = 0 là điểm cực đại. Kết luận f(x) đạt cực tiểu tại x2,3 = ± 2 và fCT = f(± 2) = 2. f(x) đạt cực đại tại x1 = 0 và fCĐ = f(0) = 6. Ví dụ 5. Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = sin2x. Giải. Hàm số xác định với mọi x ẻ . f '(x) = 2cos2x ; f '(x) = 0 Û 2x = + lp Û x = (l ẻ ). f ''(x) = -4sin2x. f '' = (k ẻ . Kết luận x = (k ẻ là các điểm cực đại của hàm số. x = (k ẻ là các điểm cực tiểu của hàm số. Bài tập áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : a) ; b) ; c) ; d) ; e) . áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : a) y = x4 - 2x2 + 1 ; b) y = sin2x - x ; c) y = sinx + cosx ; d) y = Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Tìm a và b để các cực trị của hàm số đều là những số dương và là điểm cực đại. Xác định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.