Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài toán tính tổng

Bài Toán tính tổng I. Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để tính một số tổng hữu hạn dạng đa thức, dạng lượng giác 1/Phương pháp : Từ tổng ban đầu biểu diễn thành đạo hàm của một tổng quen thuộc đã biết cách tính. Chẳng hạn tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, một số tổng lượng giác có thể sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để tính. 2/ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho x1. Tính các tổng sau: Giải: Ta có: 2. Ta có: 3. Ta có : x Ví dụ 2 : Tính tổng Giải: Ta có : Ví dụ 3 : Tính tổng S = cosx + 2cos2x + 3cos3x +...+ncosnx Giải: Xét tổng P = sinx + sin2x + sin3x +...+ sinnx thì ta có S = P Xét hai trường hợp : Trường hợp 1: Nếu sin0 (tức là nếu x2k, kZ), khi đó ta có 2sinP = 2sinsinx + 2sinsin2x + 2sinsin3x +...+ 2sinsinnx P P Trường hợp 2: Nếu x = 2k(kZ) thì ta có cosx = cos2x = cos3x = ...=cosnx =1 S =1 + 2 +3 +...+ n = nếu x2k, (kZ) nếu x = 2k, (kZ) Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Giải áp dụng công thức tg2, ta có (1) Trong (1) lần lượt thay với i=0, 1, 2, 3,..., n ta có: (2) vớix(kZ) Lấy đạo hàm hai vế của (2) theo x, ta có: (3) Do (3) đúng vớix(kZ) nên (3) đúng với x = và khi đó (3) có dạng II.Dạng 2: Dùng đạo hàm để tính một số tổng hữu hạn có chứa số 1/ Phương pháp: -Để tính các tổng có dạng hoặc ta lấy đạo hàm hai vế của khai triển nhị thức hoặc rồi thay x= -Để tính các tổng có dạng ta lấy đạo hàm bậc hai cả hai vế của khai triển nhị thức hoặc rồi thay x= 2/ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tính tổng : a. S = b. P = Giải: Xét hàm f(x) = = Ta có : f’(x) = =(*) Thay x=1 vào (*) ta được : S = =n. Thay x = -1 vào (*) ta được : P = = 0 Ví dụ 2: Tính tổng : A = Giải: Xét hàm f(x) = Ta có : f’(x) = (**) Thay x =1 vào (**) ta được : A = = Ví dụ 3: Tính tổng : B = Giải: Xét hàm :f(x) = =x Ta có : f’(x) = =+ Thay x=1 ta được: B = = = Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Giải: Ta có : = (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được : = (2) Thay x= vào (2) ta được : Ví dụ 5: Chứng minh rằng : Giải: Xét hàm f(x) = = Ta có : f’(x) = = f”(x) = (*) Thay x = 1 vào (*) ta được: Ví dụ 6 : Tính tổng: S = Giải: Xét hàm f(x) = = f’(x) = = Xét hàm g(x) = =x g’(x) = =+ g”(x) = = Ta có : f’(1) = = g”(1) = = g”(1)-f’(1) = = Vậy S = III.Dạng 3: 1/ Phương pháp: 2/ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1 : Cho n là số nguyên dương, hãy tính tổng : S = Giải: Ta có : = (1) Lấy tích phân 2 vế của (1) trên đoạn [a,b] ta được : = = = = (2) Chia cả hai vế của (2) cho 2 ta được : S = = Ví dụ 2 : Với nN, hãy tính tổng : P = Giải: Ta có : = (*) Lấy tích phân 2 vế của (*) trên đoạn [a,b] ta được : = = = = Vậy P = Ví dụ 3 : Cho n là số nguyên dương, hãy tính: Q = Giải: = = = = Q = Ví dụ 4 :Tính S = . Biết rằng Giải: Ta có: Xét = = = = Với n=12 ta được S = = Ví dụ 5: Tính tổng S = Giải: Ta có : = = = = Vậy S =