Giáo án lớp 12 môn Toán - Biện luận số đồ thị đi qua 1 điểm

Biện luận số đồ thị đi qua 1 điểm A. Tóm tắt lý thuyết Cho họ đường cong phụ thuộc tham số (Cm): y = f(x, m). Biểu diễn phương trình hàm số dưới dạng phương trình đa thức ẩn m : an(x, y)mn + an-1(x, y)mn-1 + + a0(x, y) = 0 Với điểm A(x0, y0, xét phương trình ẩn m với các hệ số gắn bởi (x0, y0) an(x0, y0)mn + an-1(x0, y0)mn-1 + + a0(x0, y0) = 0 (*) 1) Điểm cố định của họ đồ thị A(x0, y0) là điểm cố định của đồ thị (Cm) : y = f(x, m) A(x0, y0) (Cm) m PT (*) ẩn m đúng với m an(x0, y0) = an-1(x0, y0) = = a0(x0, y0) = 0 2) Điểm có 1 vài đồ thị đi qua : A(x0, y0) là điểm có k đồ thị của họ (Cm) đi qua phương trình (*) ẩn m có đúng k nghiệm phân biệt 3) Điểm không có đồ thị nào đi qua :A(x0, y0) là điểm không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua phương trình (*) ẩn m vô nghiệm B. Phân loại bài tập : I. Điểm cố định của đồ thị Bài 1: Tìm điểm cố định của (Cm) : y = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) Giải : Cách 1: Giả sử A(x0, y0) là 1 điểm cố định của (Cm), khi đó : y0 = x03 – (m + 1)x02 – (2m2 – 3m + 2)x0 + 2m(2m – 1) m m2(-2x0 + 4) + m(-x02 +3x0 – 2) + x03 – x02 – 2x0 – y0 = 0 m A(2, 0) Cách 2: Giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của (Cm), khi đó : y0 = x03 – (m + 1)x02 – (2m2 – 3m + 2)x0 + 2m(2m – 1) m Lấy đạo hàm theo m ta có 0 = -x02 – 4mx0 + 3x0 + 8m – 2 m Tiếp tục lấy đạo hàm theo m có : 0 = -4x0 + 8 x0 = 2 Suy ra : y(x0) = y(2) = 0 A(2, 0) là điểm cố định của họ (Cm) Bài 2: Tìm điểm cố định của (Cm) : y = với m -1 Giải : Cách 1: Giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm), khi đó : y0 = m -1 y0(x0 – m) = 2x02 + (1 – m)x0 + (1 – m) m -1 m(y0 – x0 + 1) + (2x02 + x0 + 1 – x0y0) = 0 m -1 A(-1, -2) Cách 2: Giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm), khi đó : y0 = m -1 Lấy đạo hàm theo m ta có : 0 = 0 = m -1 x0 = -1 y(-1) = -2 A(-1, -2) Bài 3: CMR : (Cm) : y = (m + 2)x3 – 3(m + 2)x2 – 4x + 2m – 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó Giải Giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm), khi đó : y0 = (m + 2)x03 – 3(m + 2)x02 – 4x0 + 2m – 1 m m[x03 – 3x02 + 2] + [2x03 – 6x02 – 4x0 – 1 – y0] = 0 m x0 (Cm) có 3 điểm cố định Cách 1: Toạ độ của 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình y = -4x – 5 Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng và đường thẳng y = -4x – 5 Cách 2: 3 điểm cố định (Cm) m nên (C – 2) : y = -4x – 5 Bài 4: CMR : (Cm) : y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó Giải Giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm), khi đó : y0 = (m + 3)x03 – 3(m + 3)x02 – (6m + 1)x0 + m + 1 m m(x03 – 3x02 – 6x0 + 1) + (3x03 – 9x02 – x0 + 1 – y0) m Xét hàm : g(x) = x3 – 3x2 – 6x + 1 Ta có : g’(x) = 3(x2 – 2x – 2) = 0 h(x) = x2 – 2x – 2 = 0 Thực hiện phép chia g(x) cho h(x) ta có g(x) = h(x).(x – 1) – (6x + 1). Do = 0 nên gCĐ.gCT = = 36 + 6() + 1 = - 59 < 0 g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x0, x1, x2 (Cm) có 3 điểm cố định Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng Cách 1: Toạ độ 3 điểm cố định thẳng hàng là nghiệm của hệ phương trình y = 17x – 2 Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng và nằm trên đường thẳng : y = 17x – 2 Cách 2 : Ba điểm cố định (Cm) m nên (C-3) : y = 17x – 2 II. Điểm có một vài đồ thị của họ đường cong đi qua Bài 1 : Cho họ đường cong (Cm) : y = . Tìm các điểm Oxy có đúng 2 đường của họ (Cm) đi qua Giải y = . (1) (2) (1) có đúng 2 nghiệm (2) có 2 nghiệm phân biệt m x hoặc các điểm cần tìm nằm trong góc nhọn tạo bởi y = -x và y = 3x Bài 2: Cho (Cm) : y = . CMR: mỗi điểm ở bên phải đường thẳng x = 1luôn có đúng 2 đường của (Cm) đi qua Giải Hàm số y(x – m) = mx2 - (m2 + m – 1)x + (m2 – m + 2) (1 – x)m2 + [x2 – x – 1 + y]m + [2 + x – xy] = 0 g(m) = (1 – x)m2 + [x(x – 1) – (1 – y)]m + [x(1 – y) + 2] = 0 x > 1 thì = [x(x – 1) – (1 – y)]2 + 4(1 – x).[x(1 – y) + 2] = [x(x – 1) + (1 – y)]2 + 8(x – 1) > 0 x > 1 Khi đó phương trình g(m) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Vậy mỗi điểm ở bên phải x = 1 luôn 2 đường của họ (Cm) đi qua Bài 3 : Có bao nhiêu đồ thị của họ (Cm) : y = x3 + 2(m – 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1) đi qua điểm A(a, b) cho trước . Biểu diễn kết quả bằng ý nghĩa hình học Giải A(a, b) (Cm) b = a3 + 2(m – 1)a2 + (m2 – 4m + 1)a – 2(m2 + 1) (a – 2)m2 + (2a2 – 4a)m + (a3 – 2a2 + a – b – 2) = 0 g(m) = (a – 2)m2 + 2a(a – 2)m + [a(a – 1)2 – (b + 2)] = 0 a) Nếu a – 2 = 0 a = 2 thì g(m) = 0 0m2 + 0m – b = 0 + Nếu thì g(m) = 0 đúng m A(2, 0) là điểm cố định của (Cm) + Nếu thì g(m) = 0 vô nghiệm A(2, b) với b 0 là điểm không có đồ thị nào của (Cm) đi qua b) Nếu a 2 thì = a2(a – 2)2 – (a – 2)[a3 – 2a2 + a – (b + 2)] + Nếu thì g(m) = 0 có 1 nghiệm kép m A(a, a-2) với a 2 là điểm có 1 đồ thị của (Cm) đi qua + Nếu (1) thì g(m) = 0 có 2 nghiệm m phân biệt A(a, b) thoả mãn (1) là điểm có 2 đồ thị của (Cm) đi qua + Nếu (2) thì g(m) = 0 vô nghiệm A(a, b) thoả mãn (2) là điểm không có đồ thị nào của (Cm) đi qua III. Điểm không có đồ thị nào của họ đồ thị đi qua Kỹ năng : + Biến đổi y = f(x, m) về phương trình ẩn m và ràng buộc điều kiện vô nghiệm + Phương trình Am + B = 0 vô nghiệm A = 0 và B 0 + Phương trình Am2 + Bm + C = 0 vô nghiệm + Tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua Bài 1: Cho họ đồ thị (Cm) : y = . Tìm trên Oy những điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua. Giải Điểm A(0, y) Oy là điểm không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua Phương trình y = vô nghiệm y(m2 + m + 1) = m2 – m + 1 hay (y – 1)m2 + (y + 1)m + (y – 1) = 0 vô nghiệm Bài 2 : Cho họ đồ thị (Cm) : y = . Tìm a để trên y = a có 1 điểm duy nhất mà không có đồ thị nào đi qua Giải Xét phương trình : a = g(m) = (a – 1)m2 + (2x + 4a + 1)m – [x2 – (a + 1)x – 5a] = 0 a) Nếu a = 1 thì g(m) = (2x + 5)m – (x2 – 2x – 5) = 0 vô nghiệm 2x + 5 = 0 và x2 – 2x – 5 0 x = K(, 1) b) Nếu a 1 thì g(m) = 0 vô nghịêm = (2x + 4a + 1)2 + 4(a – 1)[x2 – (a + 1) – 5a] < 0 u(x) = 4ax2 – 4(a2 – 4a – 2)x – (4a2 – 20a – 1) < 0 Nếu a = 0 thì u(x) = 8x + 1 < 0 x < -1/8 ( loại ) Nếu a0 thì đồ thị y = u(x) là 1 parabol nên BPT u(x) < 0 hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm nên không thoả mãn yêu cầu bài toán Kết luận : a = 1 và điểm cần tìm là K(, 1) Bài 3: Cho (Cm) : y = f(x) = . Tìm trên mặt phẳng toạ độ các điểm mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua Giải y = f(x) y(x – m) = (m – 2)x – m2 + 2m – 4 g(m) = m2 – [x + (y + 2)]m + x(y + 2) + 4 = 0 Các điểm M(x, y) là các điểm không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua g(m) = 0 vô nghiệm = [x + (y + 2)]2 – 4[x(y + 2) + 4] < 0 = [(y + 2) – x]2 – 42 < 0 = [y – (x – 6)][y – (x + 2)] < 0 x – 6 < y < x + 2 Bài 4: Cho (Cm) : y = f(x) = . Tìm trên mặt phẳng toạ độ các điểm mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua Giải y = f(x) m-x và y(x + m) = (3m + 1)x – m2 + m m -x và g(m) = m2 + (y – 1 – 3x)m + x(y – 1) = 0 Điểm M(x, y) là điểm không có đồ thị nào của (Cm) đi qua g(m) = 0 vo nghiệm m hoặc không có nghiệm kép m = -x Bài 5: Cho (Cm) : y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx + 6. CMR : trên parabol (P) : y = x2 + 14 có 2 điểm mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua Giải Xét phương trình : 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx + 6 = x2 + 14 g(m) = (18 – 3x2)m + (2x3 – 10x2 – 8 – y) = 0 Điểm M(x, y) là điểm mà không có đồ thị nào của g(m) = 0 đi qua g(m) = 0 vô nghiệm Vậy trên (P) có M1; M1 là 2 điểm không có (Cm) nào đi qua Bài 6: Cho (Cm) : y = mx3 – m2x2 – 4mx + 4m2 – 6. Tìm trên trục Ox các điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua Giải Điểm A(x, 0) Ox là điểm không có đồ thị nào của (Cm) đi qua mx3 – m2x2 – 4mx + 4m2 – 6 = 0 vô nghiệm m g(m) = (4 – x2)m2 + (x3 – 4x)m – 6 = 0 vô nghiệm m x = 2 hoặc